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Dann lasst uns mal schauen,
ob wir dieses Produkt hier
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Dann lasst uns mal schauen,
ob wir dieses Produkt hier
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in einen quadratischen Ausdruck umformen können.
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in einen quadratischen Ausdruck umformen können.
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Die Standardform eines quadratischen Ausdrucks
sieht so aus:
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Die Standardform eines quadratischen Ausdrucks
sieht so aus:
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Ax² + Bx + C
Standardform eines quadratischen Ausdrucks
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Ax² + Bx + C
Standardform eines quadratischen Ausdrucks
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In die Schreibweise möchte ich das Produkt umformen.
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Bitte pausiert das Video hier
und versucht es erst einmal selbst!
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Bitte pausiert das Video hier
und versucht es erst einmal selbst!
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Nun lasst uns das zusammen durchgehen.
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Entscheidend beim Multiplizieren
von Binomen oder jeglichen Polynomen
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Entscheidend beim Multiplizieren
von Binomen oder jeglichen Polynomen
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ist das Distributivgesetz,
das wir alle nun gut kennen sollten.
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ist das Distributivgesetz,
das wir alle nun gut kennen sollten.
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Wir könnten folgendermaßen vorgehen:
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Wir könnten folgendermaßen vorgehen:
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Wir können den gesamten ersten Ausdruck
mit x und dann mit 7 multiplizieren.
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Wir können den gesamten ersten Ausdruck
mit x und dann mit 7 multiplizieren.
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Das heißt:
(x - 4) mal x + (x - 4) mal 7
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Das heißt:
(x - 4) mal x + (x - 4) mal 7
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Das schreiben wir nun auf.
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x (x - 4) + 7 (x - 4)
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x (x - 4) + 7 (x - 4)
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x (x - 4) + 7 (x - 4)
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x (x - 4) ist nur eine
andere Schreibweise für (x - 4) mal x
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x (x - 4) ist nur eine
andere Schreibweise für (x - 4) mal x
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Achtung jetzt, nochmal aufpassen!
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Achtung jetzt, nochmal aufpassen!
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Wir haben nun das Distributivgesetz
für (x - 4) (x +7) angewendet.
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Wir haben (x - 4) mit jedem einzelnen Term
der zweiten Klammer einzeln multipliziert.
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Wir haben (x - 4) mit jedem einzelnen Term
der zweiten Klammer einzeln multipliziert.
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Wir haben (x - 4) mit jedem einzelnen Term
der zweiten Klammer einzeln multipliziert.
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Nun sehen wir diese beiden
durch das + getrennten Terme.
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Nun sehen wir diese beiden
durch das + getrennten Terme.
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Diese Terme können wir nochmal vereinfachen,
indem wir nochmal ausmultiplizieren.
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Diese Terme können wir nochmal vereinfachen,
indem wir nochmal ausmultiplizieren.
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Links multiplizieren wir nach x aus und rechts nach 7.
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Links multiplizieren wir nach x aus und rechts nach 7.
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Auf gehts:
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Links:
x mal x = x²
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x mal - 4 = - 4x
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Zusammen also links:
x² - 4x
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Zusammen also links:
x² - 4x
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Auf der rechten Seite:
7 mal x = 7x und 7 mal - 4 = -28
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Auf der rechten Seite:
7 mal x = 7x und 7 mal - 4 = -28
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Auf der rechten Seite:
7 mal x = 7x und 7 mal - 4 = -28
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Auf der rechten Seite:
7 mal x = 7x und 7 mal - 4 = -28
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Fast geschafft!
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Das können wir noch ein wenig vereinfachen.
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Die beiden Terme 1. Grades
können wir zusammenfassen.
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Die beiden Terme 1. Grades
können wir zusammenfassen.
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Was ergeben - 4x + 7x ?
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Was ergeben - 4x + 7x ?
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Was ergeben - 4x + 7x ?
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Wir dürfen die Koeffizienten addieren
(Distributivgesetz, ausklammern)
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Wir dürfen die Koeffizienten addieren
(Distributivgesetz, ausklammern)
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Ich hoffe, durch die umständliche
Schreibweise wird die Regel nochmal klar.
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Ich hoffe, durch die umständliche
Schreibweise wird die Regel nochmal klar.
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Ich addiere die beiden Koeffizienten,
da ich das nach Distributivgesetz darf,
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Ich addiere die beiden Koeffizienten,
da ich das nach Distributivgesetz darf,
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Die anderen Terme behalte ich bei.
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Die anderen Terme behalte ich bei.
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Die anderen Terme behalte ich bei.
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Das lässt sich nun schön vereinfachen,
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das heißt .... Landeanflug meine Lieben!
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das heißt .... Landeanflug meine Lieben!
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Die beiden Koeffizienten addieren zu
- 4 + 7 = 3
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Insgesamt also:
x² + 3x - 28
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Insgesamt also:
x² + 3x - 28
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Insgesamt also:
x² + 3x - 28
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Damit sind wir auch schon fertig!
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Damit sind wir auch schon fertig!
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Lustigerweise bereits in genau
der gewünschten Form.
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Lustigerweise bereits in genau
der gewünschten Form.
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A = 1, B = 3, C = - 28
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A = 1, B = 3, C = - 28
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Lasst uns das Muster dahinter anschauen!
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Lasst uns das Muster dahinter anschauen!
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Beide x hatten den (gedachten) Koeffizienten 1
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Beide x hatten den (gedachten) Koeffizienten 1
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Durch Multiplizieren von x mal x
erhielten wir genau x².
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Ich unterstreiche das Nächste mal:
- 4 mal 7 ergab unsere -28, das C
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Ich unterstreiche das Nächste mal:
- 4 mal 7 ergab unsere -28, das C
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Ich unterstreiche das Nächste mal:
- 4 mal 7 ergab unsere -28, das C
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Ich unterstreiche das Nächste mal:
- 4 mal 7 ergab unsere -28, das C
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Die beiden Zahlen ergaben also C, hier - 28
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Wie kamen wir auf die 3x, den mittleren Term?
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Wie kamen wir auf die 3x, den mittleren Term?
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Schaut euch nochmal an,
wo die Zahlen dazu herkamen:
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3x ergab sich aus - 4x + 7x.
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Wir addierten diese - 4 und die 7,
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beide waren Koeffizienten von x,
daher durften wir das.
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Ich hoffe, ihr erkennt bereits
ein wenig das Muster dahinter!
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Ich hoffe, ihr erkennt bereits
ein wenig das Muster dahinter!
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Wenn in beiden Binomen als x-Term
nur x, also gedacht 1malx steht,
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Wenn in beiden Binomen als x-Term
nur x, also gedacht 1mal x steht,
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dann ergibt das als erstes:
(1)x mal (1)x = x²
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Dann ergibt das als erstes:
(1)x mal (1)x = x²
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Der konstante Term C
ist das Produkt der beiden Zahlen.
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Der konstante Term C
ist das Produkt der beiden Zahlen.
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Der Term 1. Grades (Bx)
ergibt sich aus der Summe der beiden Koeffizienten
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Der Term 1. Grades (Bx)
ergibt sich aus der Summe der beiden Koeffizienten
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Der Term 1. Grades (Bx)
ergibt sich aus der Summe der beiden Koeffizienten
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Wenn ihr das gut übt,
könnt ihr Binome viel schneller multiplizieren!
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Wenn ihr das gut übt,
könnt ihr Binome viel schneller multiplizieren!
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Wenn ihr das gut übt,
könnt ihr Binome viel schneller multiplizieren!
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Bitte vergesst dabei aber nie,
warum wir das so rechnen dürfen.
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Bitte vergesst dabei aber nie,
warum wir das so rechnen dürfen.
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Die Grundlage dafür ist das Distributivgesetz, das wir hier zweimal angewendet haben.
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Die Grundlage dafür ist das Distributivgesetz, das wir hier zweimal angewendet haben.
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