Horizontální a vertikální asymptoty funkcí

Mám tady graf funkce f(x)

a v tomto videu chci probrat,
zda bychom mohli načrtnout tento graf

pouhým pohledem na definici funkce
zadanou jako lomený výraz.

Máme tu 2x plus 10 lomeno 5x minus 15.

Dá se to udělat několika způsoby.

Nejprve se hodí vytipovat čísla,
která se snadno spočítají.

Například, co se stane,
když je x rovno 0?

Napíšeme f(0) rovná se...

Všechna x budou rovna 0,
takže nám zbyde 10 lomeno -15,

což je -10/15,
což jsou -2/3.

Můžeme to zakreslit.

Když x se rovná 0,
výsledná hodnota funkce je -2/3.

A ten bod vidíme,
udělám ho tmavší barvou,

vidíme ten bod přímo zde,
takže ho můžeme zakreslit.

Také se můžeme zeptat,
kdy je ta funkce rovna 0?

Ta funkce je rovna 0, když...

Jediná možnost, jak toho dosáhnout,
je vynulovat čitatel,

takže řešíme 2x plus 10 rovná se 0.

To nastane, když se 2x rovná -10.

Jen jsem z obou stran odečetl 10.

A když rovnici vydělím 2,
dostanu, že x rovná se -5.

A tento výsledek vídíte zde.

Když se x rovná -5,
funkce protíná osu x.

Máme dva body.

To ale nestačí,
abychom dostali tuto zajímavou křivku.

Můžete se zamyslet,
které další funkce mají takový tvar.

A teď se podívejme,
jak se funkce bude chovat v různých bodech.

Nejprve se podívejme,
kdy je tato funkce nedefinovaná

a jak se bude chovat,
když je nedefinovaná.

Tato funkce je nedefinovaná...

Jediné, co mě napadá,
je vynulovat jmenovatel.

Dělit nulou neumíme.
To není definováno.

Ta funkce bude nedefinovaná,
když 5x,

udělám to modrou,

když 5x minus 15 se rovná 0.

Přičtu k rovnici 15,
5x rovná se 15,

vydělím rovnici 5,
x rovná se 3.

Tehdy je funkce nedefinována.

Je několik možností, kdy může být
funkce v daném bodě nedefinována.

Může to vypadat takto.

Nakreslím sem nějaké osy.

Řekněme, že tady je 3.

A vaše funkce by mohla vypadat takto.

Může být definována...

Může se nějaké hodnotě blížit,

ale být nedefinována
přesně na hodnotě 3 a pak pokračovat.

Další možností je,
že v té hodnotě je vertikální asymptota.

Pokud je tam vertikální asymptota,
bude to vypadat asi takto.

Může takto mizet do nekonečna,

a pak přicházet z nekonečna
na této straně,

nebo může přijít ze záporného nekonečna.

Tak by vypadala vertikální asymptota.

Když se blížíme zleva,
graf se přibližuje k vertikále,

ale nikdy nedosáhne přesně hodnoty 3.

Řekneme to takto nebo tak,
že funkce není v hodnotě 3 definována.

Stejně tak když se blížíte zprava,

jen funkce v tomto případě klesá.
Téměř se z ní stane vertikála.

Blíží se k zápornému nekonečnu,

zatímco x se blíží k 3
v kladných hodnotách.

Ale jak to poznáme?

Když se podíváte sem,

když znáte ten graf předem,
řeknete si:

Tady se x rovná 10.
Spočítáme si to.

To je 1, 2, 3, 4, 5.

To máme po dvou,
takže hodnota 3 je zde.

Když se na ten graf podíváte,
máte-li ho před sebou,

vidíte, že je tam opravdu
vertikální asymptota.

Pouhým pohledem je zřejmé,
že bodem 3 prochází vertikální asymptota.

Tak si to zapíšeme.

Vertikální asymptota.

Asymptota v bodě x rovná se 3.

Ale jak byste to poznali?

Jak byste to poznali,
kdybyste ten graf neměli?

Kdybyste měli jen toto?

Víme, že pro 3 není definována.
Ale jak zjistíme,

že to není jen nespojitý bod,
ale opravdu vertikální asymptota?

Lze to zjistit několika způsoby.

Například zkoušet hodnoty blízké 3
a sledovat, co se stane.

S pomocí kalkulačky
můžeme vyzkoušet třeba hodnotu 3,01.

Napíšeme 2 krát 3,01 plus 10,
to je čitatel.

Ten vydělím hodnotou
5 krát 3,01 minus 15.

Dostaneme docela velké číslo.
Dost nám to vzrostlo.

Když zkusíme jít ještě blíž, čili
2 krát 3,001 plus 10 lomeno 5 krát 3,001,

zkoušíme x rovná se 3,001.
Nakonec minus 15

a dostáváme ještě větší číslo.

Jak se x blíží k hodnotě 3,
hodnota funkce rapidně roste.

Jakoby se blížila k nekonečnu.

To je jeden způsob jak poznat,

že alespoň z této strany
se blížíme ke kladnému nekonečnu.

Takže bychom mohli
nakreslit něco takového

a pak můžeme zkusit nižší hodnoty.

Vyzkoušíme nižší hodnoty, například...

Vlastně si sem nahraji předchozí výpočet
a změním 3,001 na 2,999.

2,999.

Jejda, vrátím se sem.

Máme 2,999 a dostaneme...

Teď jsme hluboko v záporných hodnotách,
blížíme se k zápornému nekonečnu.

Takže když to zkusíme,
napoví nám to,

že graf bude vypadat
v tomto místě takto.

To také navazuje na tyto dva body,
které už jsme probrali.

Teď se podívejme, co se stane,
když x bude nabývat velkých hodnot.

Jak kladných tak záporných.

Zdá se, že tam je
horizontální asymptota.

Pohledem na graf se zdá,
že existuje nějaká hodnota,

ke které,
když x nabývá velkých hodnot,

velkých kladných hodnot,

se bude hodnota funkce blížit,
seshora k této asymptotě.

Když x bude hodně záporné,

zdá se, že hodnota funkce se
té hodnotě bude blížit zespodu.

Ale jak by se to dalo poznat
pouhým pohledem na zápis?

Jedna z možností je zeptat se,

co se stane s hodnotou funkce,
když se x bude blížit k nekonečnu?

Zapíšu to.

Když se x blíží k nekonečnu,

k čemu se blíží f(x)?

Když x nabývá vyšších a vyšších hodnot,
těch 10 a -15 bude mít stále menší efekt.

Nejvíce rozhodující jsou
prvky nejvyššího řádu.

Dá se říci, že jak se x blíží nekonečnu,
hodnota f(x) se bude blížit 2x lomeno 5x,

což je 2 lomeno 5,
což jsou dvě pětiny.

Můžeme tedy říci,
že f(x) se blíží dvěma pětinám.

Když to budeme chtít
vidět v konkrétních obrysech,

představme si různé hodnoty x,
když se x bude stále zvyšovat.

Vezměme...

x a hodnota f(x).

Když x je 1,
f(x) bude 2 plus 10 lomeno 5 minus 15.

Zde přičtení 10 a odečtení
15 znamená hodně.

Ale když x bude 1000,

f(x) bude 2000 plus 10
lomeno 5000 minus 15.

Zde už jsou 2000 a 5000 rozhodující.

A když x bude řekněme 1 milión,

použiji modrou na zvýraznění,

tak f(x) bude 2 milióny,

2 milióny plus 10...

posunu to trochu doprava...

2 milióny plus 10
lomeno 5 miliónů minus 15.

Zde je těch 10 a 15 téměř bezvýznamných.

Představte si, že když x bude miliarda,
trilión nebo cokoliv většího,

těch 10 a -15 bude mít
menší a menší význam.

Jak se x blíží nekonečnu,
tyto hodnoty znamenají méně.

Rozhodující jsou prvky nejvyššího řádu,

takže f(x) se bude blížit 2x lomeno 5x,
což je 2/5.

Takže f(x) se blíží 2/5
a to je tato čára.

2/5 je totéž co 0,4.

Vidíme to v grafu,

f(x) se tomu blíží,
ale zcela se nepřiblíží.

Úplně se nepřiblíží,
blíží se víc a víc,

jak se x blíží k nekonečnu,
ale nedostane se tam,

protože tam vždy bude těch 10 a -15,
takže přesně na 2/5 se nedostaneme.

A totéž se stane,

když x bude nabývat stále
vyšších záporných hodnot.

Můžeme ty hodnoty přehodit do záporných.

Když toto bude -1,

toto bude -2, -5.

Když toto bude -1000,
toto bude -2000 lomeno -5000.

Když toto bude minus milión,
toto bude -2 milióny lomeno -5 miliónů.

Ale i v tomto případě
se f(x) blíží 2x lomeno 5x, což je 2/5.

Nebo můžeme říci, že se blíží -2/-5,
což je stále 2/5 a je to vidět přímo zde.

Taková funkce má potom
horizontální asymptotu,

horizontální asymptotu

v hodnotě y, což je ta vodorovná čára,

y se rovná 2/5.

Snad je z tohoto grafu vidět,

co jsou to vertikální a
horizontální asymptoty.

Kdybychom neměli ten graf,
mohli bychom říci,

že funkce není definována na hodnotě 3.

Vyzkoušeli bychom nějaké hodnoty
a z nich bychom viděli,

že se zřejmě blížíme
k zápornému nekonečnu,

jak se x blíží k -3 zleva.

A zřejmě se blížíme
ke kladnému nekonečnu,

jak se x blíží k -3 zprava.

Takže tam si můžeme
zaznačit ten modrý bod.

Můžeme zakreslit tyto dva body,
když se f(x) rovná 0 a když se x rovná 0,

a pak můžeme přemýšlet,
jak to bude vypadat,

když se x bude blížit
kladnému či zápornému nekonečnu,

a nakreslit tuto horizontální asymptotu.

A ze všech těchto informací

budeme potom schopni
nakreslit ten skutečný graf.