Tekstopgave - Overhaling

3 mennesker overhaler hinanden og bevæger sig med forskellige hastigheder.

.

Her er endnu en opgave, vi har fået fra Kortaggio.

Ligesom de andre er det her en interessant opgave.

Måske kan man se et mønster i måden,

vi løser de her opgaver på.

Det er pointen i det.

Vi skal lære at løse de her opgaver.

Hvad får vi at vide her?

Vi får at vide, at Alice er 100 meter fra Bill,

og Bill er 300 meter fra Chelsea.

Det er sjovt. Bill Clinton havde også et barn, der hed Chelsea.

Det kan dog også være,

at navnene er valgt ud fra, at de starter med a, b og c.

Lad os lige se på det igen.

Alice er altså 100 meter foran Bill.

Alice er 100 meter foran Bill,

og Chelsea er endnu længere til højre for Alice.

.

Lad os lave et diagram.

Vi har Alice her.

100 meter væk har vi Bill.

300 meter yderligere væk har vi Chelsea.

Afstanden her er 100 meter.

Den her afstand er 300 meter.

Vi får at vide,

at de kigger mod øst og står på samme linje.

Godt nok.

Vi siger, det her er øst.

De kigger alle den her vej

og står på samme linje.

De bevæger sig alle mod øst med en konstant hastighed.

Vi ved dog ikke,

om de bevæger sig med samme hastighed.

Hastigheden er dog konstant.

Det her kan være Alices hastighed.

Det her kan være Bills hastighed, og det her kan være Chelseas hastighed.

De bevæger sig altså alle med en konstant hastighed.

Om 6 minutter overhaler Alice Bill.

Hvad skal der altså ske?

Lad os bruge en anden farve

og skrive det her som en ligning.

Vi bruger grøn nu.

Om 6 minutter overhaler Bill Alice.

Hvad er den distance,

Alice bevæger sig på 6 minutter?

Det vil være lig med Alices hastighed gange 6.

Hun overhaler Bill.

Det vil sige, at hun bevæger sig 100 meter længere end Bill på den tid.

Hun har altså bevæget sig 100 mere mere end den distance,

Bill bevægede sig på 6 minutter.

Den afstand eller distance, Bill bevæger sig på 6 minutter,

er Bills hastighed gange 6.

Godt nok.

Det fortæller os, at på 6 minutter bevæger Alice sig

100 meter mere, end Bill gør på 6 minutter.

Det er ligningen her.

Den har vi udledt af den her information.

Vi får dog mere at vide.

Efter yderligere 6 minutter overhaler Alice Chelsea.

Det tager altså i alt 12 minutter,

før det sker.

12 minutter fra starten.

Det tager 6 minutter, før Alice overhaler Billl

og yderligere 6 minutter, før hun overhaler Chelsea.

Efter 12 minutter overhaler hun Chelsea.

Det kan vi skrive som afstanden, Alice bevæger sig

på 12 minutter er lig med.

Hun skal overhale Chelsea.

Det betyder, at hun er 400 meter hurtigere.

Hun bevægede sig 400 meter mere.

Afstanden Alice bevæger sig er altså 400 meter

mere end afstanden, Chelsea bevæger

sig på 12 minutter.

Husk, at afstand

er lig med hastighed gange tid.

På 12 minutter bevæger Chelsea

sig altså så meget her.

Det her er så meget, Alice bevæger sig.

Det er 400 mere end Chelsea.

Det er det, de 2 ligninger fortæller os.

Hvad skal vi så finde ud af?

Vi bliver spurgt om,

hvor mange minutter der går, før Bill overhaler Chelsea.

Hvor mange minutter tager det Bill at overhale Chelsea?

Lad os sige, at vi vil finde tiden i minutter. Det er en god start.

.

Lad os sige, at t er tiden.

Det her fortæller os, at Bills hastighed gange tiden

vil være lig med 300 mere end Chelsea hastighed gange tiden.

Han skal bevæge sig 300 meter mere end hende

på den samme tid.

Han skal bevæge sig 300 meter mere,

end Chelsea gør på 12 minutter.

Det er de, informationer vi har.

Vi skal finde tiden.

Lad os komme i gang.

Lad os løse den her ligning.

.

Hvis den her person

skal overhale den her person på 6 minutter,

skal hun bevæge sig 100

mere mere end ham.

På 12 minutter vil hun så bevæge sig

400 meter mere end Chelsea.

På t minutter vil Bill have

bevæget sig 300 meter mere end Chelsea.

Det er det, vi skal finde ud af.

Vi skal nu isolerer t. Lad os gøre det.

Hvad får vi?

Vi får vbt minus vct er lig med 300.

Vi trak Chelseas hastighed gange tid

fra begge sider af ligningen.

Vi kan faktorisere tiden ud, så lad os gøre det.

Vi får vb minus vc gange tid

er lig med 300.

Eller tiden er lig med 300 over vb minus vc.

Hvis vi på en eller anden måde

kan finde ud af, hvad det her er lig med, har vi løst opgaven.

Lad os se, om vi kan bruge den anden information.

Lad os se. Hvis vi isolerer vb her og vc her,

vil va'erne forhåbentlig gå ud med hinanden.

Det gør de nok,

ellers kan vi ikke rigtig løse opgaven.

Lad os gøre det.

Lad os omskrive den her ligning.

Lad os isolere vb,

altså Bills hastighed.

Lad os først trække 100 fra på begge sider.

Det gør vi.

Vi har altså Bills hastighed gange 6

er lig med 6 gange Alices hastighed minus 100.

Vi har trukket 100 fra på begge sider af lighedstegnet

og byttet rundt på siderne.

Lad os dividere begge sider med 6.

Vi har Bills hastighed er lig med Alices hastighed

minus 100 over 6.

100 over 6.

Godt nok.

Lad os se,

om vi kan gøre det samme med den her ligning.

Hvis vi trækker 400 fra på begge sider,

får vi 12 gange Chelseas hastighed er lig med

12 gange Alices hastighed minus 400.

Vi dividerer begge sider af ligningen med 12.

Vi får Chelseas hastighed er lig med

Alices hastighed minus 400 over 12.

Okay.

Nu kan vi substituere det her med vb

og det her med vc.

Så kan vi forhåbentlig få va'erne til at gå ud med hinanden.

Det ser ud, som om de gør det.

t, vores tid, altså den tid det tager Bill at overhale Chelsea,

er

lig med

300 over vb.

I stedet for vb kan vi skrive det her.

va minus 100 over 6 minus vc,

som vi kan skrive som det her.

Altså minus va minus 400 over 12.

Lad os lige

skifte farve.

t er lig med 300 over va minus 100 over 6,

som er det samme som 50 over 3.

Vi skal nu gange det her minustegn ind i parentesen.

Minus va plus 400 over 12.

400 over 12 er det samme som

200 over 6 eller 100 over 3.

Super.

Vi skriver plus 100 over 3.

De her 2 går ud med hinanden. va minus va er 0.

Vi står tilbage med t er lig med 300

over 100 over 3 minus 50 over 3.

VI kunne også skrive

minus 50 over 3 plus 100 over 3.

Ligegyldigt hvordan vi skriver det, giver det tilsammen 50 over 3.

Var det rigtigt?

Hvis vi dividerer både nævner og tæller med 4, får vi det her.

Det her er altså 100 over 3, og det her er 50 over 3.

Når vi skal dividerer med en brøk, er det jo det samme som at gange

med den omvendte.

300 gange 3 over 50 gange 1.

Nu kan vi lade nogle led gå ud,

så vi ikke skal gange med så store tal.

Når vi dividerer med 50,

får vi altså t er lig med 6

gange 3 over 1, som er 18.

Vores tidsenhed her er minutter.

Det var det.

Den her opgave var lidt kompliceret.

Det vigtige er dog at omsætte den information,

man får til algebra.

Når man gør det,

bliver det meget lettere at løse opgaven.

Generelt kan man sige,

at man skal tage de her opgaver trin for trin.

I så fald skal man nok finde

løsningen i sidste ende.

Igen mange tak

til Kortaggio for opgaverne.

.