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Proving that the Centroid is 2-3rds along the Median

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    我畫個任意三角形
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    並把三條中性線也畫出來
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    中性線EB 中性線FC和中性線AD
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    我們知道這三條中性線相交
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    在G點 我們叫它幾何中心
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    我要在這個影片裏證明給你們的是
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    幾何中心在每條中性線的二分之三處
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    或者說我們隨便從三個中性線裏選一個
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    比如EB
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    我想做的是證明EG
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    EG等於2倍的GB
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    所以無論這個長度是多少 另一個就是它的2倍
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    換句話說就是EG是
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    EB長度的三分之二 我們用這個邏輯來證明
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    我們可以用任意一條中性線來證明
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    幾何中心在中性線的三 分之二處
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    或者把中性線分成1比2的兩條線段
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    我們主要用三角形ABE來證明
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    三角形ABE就在這兒
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    我來畫條中性線
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    我來用相同的方法給它標色
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    我們畫的寬一點
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    看起來我們有兩個黃邊
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    所以它看起來就像這樣
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    就像這樣
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    然後幾何中心就在這兒 點G
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    這就是幾何中心 這條紅色的線經過A
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    然我畫得齊整一點
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    這條線通過A
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    這裡我們還有一條藍色的線 經過F
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    這條藍色的線經過F
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    讓我把所有點標成桔黃色
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    所以這個是E 這是B 這個是A
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    這裡的就是F
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    確保我們標記的都一樣
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    這個小標記就是那邊個的標記
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    這邊的兩個標記就在那兒
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    然後整個過程要證明的是
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    EG的長度是GB的兩倍
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    回想一下我們前幾個影片得到的結果
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    中性線把三角形等分成
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    6個面積一樣的小三角形
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    換句話說
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    每三個在同一層的小三角形
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    它們都是6個小三角形中的三個
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    所以它們的面積都相等
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    讓我們考慮這個三角形
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    三角形AGB
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    這個三角形AGB是同樣的三角形
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    讓我們和三角形對比
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    讓我們和三角形EAG對比
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    讓我們把這個三角形和
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    那邊那個原來圖中的三角形對比
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    它們有完全一樣的高
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    如果我們把EG當成底 或者說共同的底
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    它們沒有完全一樣的底
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    這個小三角形的底是E哦抱歉
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    小三角形的底是GB
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    大的藍色三角形的底是EG
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    但它們都是有相同的高 或者說頂垂直線
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    當你這樣畫的時候
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    所以在兩種情況下 它們的高就在這兒
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    我們知道的另一件事是
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    我們知道的另一件事
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    是藍色三角形EAG
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    是桔黃色三角形面積的二倍 我們怎麽知道的呢
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    是因爲它裏面有兩個這樣的三角形
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    換句話說 桔黃色三角形面積是X
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    你想讓我叫它A 呃 我已經用過A了
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    所以我設它爲X
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    那麽每個藍色三角形的面積都是X
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    或者說這整片藍色區域
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    這整片藍色區域面積是2X
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    所以你們看這兩個藍色三角形
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    我們知道面積是二分之一底乘高
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    所以低的一半就是EG的一半
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    我用綠色標記下
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    二分之一EG乘以高 這個黃色的高
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    就等於2X
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    就等於2X
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    我只是應用三角形面積公式
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    面積等於二分之一底乘高
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    讓我們用同樣的方法來算這個桔黃色三角形
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    一半 我往右移一下啊
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    二分之一GB乘以這個黃色的高
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    乘以高 等於X
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    等於X
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    如果等於X 我們可以用X代替
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    我們可以用X來代替整表達式
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    我們這麽做 等到一半
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    你們可能已經知道怎麽回事了
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    但是我不會跳過這步的
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    我們得到二分之一EG乘以H
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    等於2X
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    但是我不用X來表示
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    正如你們看到的 2乘以2乘以二分之一GB
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    乘以這個長度乘以小三角形的底
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    乘以H
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    現在我們化簡
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    我們得到2乘以二分之一就是
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    就是1 兩邊同時除以H
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    我們得到二分之一EG等於GB
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    或者說EG除以2等於
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    我們做了這麽多了 就接著用同樣的顏色吧
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    用同樣的顏色
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    我們可以寫成二分之一EG等於GB
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    等於二分之一GB搞定
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    這就說明GB是EG的一半
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    GB是EG的一半 比如說EG是2
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    GB就是1 如果EG是4 那麽GB就是2
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    所以我們證明了這個結果
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    現在我們回到最開始
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    這就是我們要證明的結果
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    我們把式子兩邊同時乘以2
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    把式子左邊乘以2我們得到EG
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    式子右邊乘以2 我們得到GB
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    所以我們證明了EG是GB的2倍
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    同理可以用在其他中性線上
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    來證明幾何中心
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    正好在中性線的三分之二處
Title:
Proving that the Centroid is 2-3rds along the Median
Description:

Showing that the centroid divides each median into segments with a 2:1 ratio (or that the centroid is 2/3 along the median)
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Video Language:
English
Duration:
06:56
David Chiu added a translation

Chinese, Traditional subtitles

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