Introduction to differential equations

What a differential equation is and some terminology.

這是第一個影片課程

是微分方程課程播放列表中的第一個

我曾提及這個主題。當時我們講的是諧波運動

我有可能

在其他主題中提到過“微分方程”

但現在，因爲你們要求，我們會做一個

專門關於微分方程的完整播放列表

這是一個相當有用的東西

因爲微分方程，會出現在許多

不同的領域

有個開始讀經濟學博士生要求我做這個主題

有些開始學習物理學的人要求我做這個

還有些開始學習工程學的人

要求我做這個主題

所以這是一個有著廣泛應用的學習領域

因此，讓我們開始吧

以免我持續說些無用的玩藝

所以微分方程

所以第一個問題是：什麽是微分方程？

你知道什麽是方程

什麽是微分方程？

那麽，微分方程是一個有關

一個未知函數及其導數的方程

所以，這是什麽意思呢？

那麽，比如說

y' + y = x + 3

這裡，未知函數是y

我們也可以寫爲y(x)，或者寫成 dy/dx

y相對x的導數

加上這個未知函數y等於x+3

我們也可以寫成f'(x)+f(x)

= x+3

所有這些表達方式都是描寫

同一個微分方程

有趣的是

如何從普通方程出發

讓我寫出一個普通方程

提醒你關於它們的樣子

因此，一個普通方程，如果只有一個變量

看起來像這樣

比如，x^2 + cosx

= √x

上面是我現編的

這裡，方程的解是一個數字

或者是一係列數字

有時不止一個數字，對嗎？

如果你有一個多項式，你可以有一個以上的

滿足這個方程的x值。

這裡，一個微分方程的解

是一個函數

我們的目標是要解出，x的什麽函數，在這裡我寫成 f(x)

但是x的什麽函數

滿足這種關係或滿足這個等式

因此，讓我告訴你我的意思

我有我大學時的微分方程課本

所以我打算用它作爲下面的參考

因此，讓我們說 - 我正在寫出來

看，他們有一個微分方程

我還不能向你展示如何解這個題

因爲我們必須先學習一些技巧

但我認爲現在正好開始讓你了解什麽是微分方程

以便你不會

與傳統的方程混淆

因此，他們有這個微分方程

二階導數 y"

相對於x的二階導數y" 加上

2乘以相對於x的一階導數y‘，再減去3y

等於0: y“+ 2y' -3y = 0

他們給我們這些解，以及他們想要我們做的是

展示這些是解

我覺得這裡是個好地方讓我們

了解微分方程是什麽

以及什麽是解

所以他們說: y1(x) = e^(-3x) 【這裡^是指數符號】

因此他們說

這是這個微分方程的一個解

因此，讓我告訴你，這是

那麽，這裡好像講得有點快

我先寫y1

什麽是y1‘ ？

什麽是這個的導數？

好，只做連鎖律

整個函數的相對於x的導數的這一部分

就是 e^(-3x)

然後你算出裏面部分的導數

因此，那就是 e^(-3x)

外面的導數

裏面的導數是 -3

y1的二階導數等於

我們取這個函數的導數，它正好等於

+9e^(-3x): +9 = -3乘以-3

現在，讓我們驗證，如果我們替代y1和它的導數

進入到這個微分方程

那麽它是成立的

所以y”，就是這個

因此，我們得到9e^(-3x)+2y'

+ 2y'

那麽，這就是y'

所以2(-3e^(-3x)) 加上- 哦對不起，

減去3y: -3y

好，y是這樣

所以 -3e^(-3x)

那麽，它等於什麽？

我們得到9e^(-3x)，再減去6e^(-3x)

減去3e^(-3x)

那麽，它等於什麽？

我們有9倍的某某減去 6倍的某某

再減去3倍的某某

結果等於0

0什麽不要緊。

因此，等於0。

因此，我們驗證了，這個函數，y1=e^(-3x)

它滿足這個微分方程

這裡有一些有趣的事情

你在普通方程碰到過這個

就是這可能不是唯一的解

事實上，我們將在以後的影片中學習

往往解不只一個函數

它可以是一類函數

通常他們都是相同的函數

只是常數不一樣

但我一會要告訴你

這裡，它們實際上表明我們還有另一種解

這也可以工作

我們可以嘗試x的方程

y2(x) = e^x

我們可以驗證，對不？

什麽是e^x的第一次和第二次導數？

那麽，他們就是e^x

y2二階導數是

e^x加上2乘以一階導數是什麽？

那麽e^x的一階導數仍然是e^x

2e^x，再減去3乘以函數

-3e^x

那麽，1+2-3又是等於0

所以，這也是這個微分方程的一個解

現在，在我們繼續之前，在下一個影片，我將向你展示一些

相當簡單的微分方程

的解決過程

我認爲現在這是一個很好的時間

希望你掌握了微分方程是什麽

以及它的解是什麽

它的解不是一個數字，它的解決方案

是一個函數，或一係列函數

或一類函數

這是一個很好的時間

來了解一下術語

這裡有兩個大分類。

實際上，有第一個大類

常微分方程和偏微分方程

我覺得您可能已經猜到是什麽意思

常微分方程就是我上面寫的

這是一個變量相對另一個變量

或一個函數相對於x，及其導數

偏微分方程，我們將後面介入

這較爲複雜

這就是當一個函數可以

多個變量的函數

你可以有相對於x的導數

以及相對於y和z的函數

我們現在不用管這個

如果你的函數及其導數

是一個變量的函數，那麽，我們正在處理

一個常微分方程

這就是此播放列表將涉及的

常微分方程

在常微分方程中

有兩種方式進行分類

它們有點疊置

你有你的階

所以我的微分方程的階是什麽？

然後，你有這樣的分類

是線性還是非線性的

我認爲弄清這一點的最好辦法是

寫下一些例子

因此，讓我寫下來。

我的來源是

我的大學微分方程課本

x平方乘以y對於x的二階導數

+ x乘以y對於x的一階導數

+ 2y = sinx

這裡的第一個問題是：階是什麽？

所謂階就是

你方程中最高的導數

本函數的最高導數

對不對？

這個方程的解將是y(x)

滿足這個等式

階是該函數的最高導數

那麽，這裡最高的導數是二階導數

因此，階爲2

或者，正如你可以叫它

二階常微分方程

現在的第二件事情，我們必須弄清楚：

這是一個線性還是非線性微分方程？

所以微分方程是線性的，如果所有的函數

及其導數

是線性的

我這個是什麽意思？

我的意思是你沒有y平方

或者你沒有(dy/dx)平方

或你沒有y乘以y的二階導數

所以這個例子中，我只寫到這裡

這是一個二階一次方程，因爲你有二階導數

一階導數，和y，

但他們不是乘以該函數及其導數

現在，如果這個等式 - 如果我改寫爲x平方

乘以y的二階導數 d^2y/dx^2

等於sinx，比如說，我取它的平方

現在，突然，我有了一個非線性

微分方程。

這是非線性的。

這是線性的。

因爲平方，我乘以y的二階導數

乘以它自己

非一次方程的另一個例子是

y乘以y的二階導數等於sin(x)

y(x) y"(x) = sin (x)

這也是非線性的

因爲我用該函數乘以它的二階導數

注意在這裡，我乘以二階導數

用的是獨立變量x

x乘以二階導數

可是，我的時間到了

希望這個課程給了你一個

關於微分方程的簡單概括

在接下來的影片中，我們將開始解這些方程

再見