微分方程简介

What a differential equation is and some terminology.

这是第一个视频课程

是微分方程课程播放列表中的第一个

我曾提及这个主题。当时我们讲的是谐波运动

我有可能

在其他主题中提到过“微分方程”

但现在，因为你们要求，我们会做一个

专门关于微分方程的完整播放列表

这是一个相当有用的东西

因为微分方程，会出现在许多

不同的领域

有个开始读经济学博士生要求我做这个主题

有些开始学习物理学的人要求我做这个

还有些开始学习工程学的人

要求我做这个主题

所以这是一个有着广泛应用的学习领域

因此，让我们开始吧

以免我持续说些无用的玩艺

所以微分方程

所以第一个问题是：什么是微分方程？

你知道什么是方程

什么是微分方程？

那么，微分方程是一个有关

一个未知函数及其导数的方程

所以，这是什么意思呢？

那么，比如说

y' + y = x + 3

这里，未知函数是y

我们也可以写为y(x)，或者写成 dy/dx

y相对x的导数

加上这个未知函数y等于x+3

我们也可以写成f'(x)+f(x)

= x+3

所有这些表达方式都是描写

同一个微分方程

有趣的是

如何从普通方程出发

让我写出一个普通方程

提醒你关于它们的样子

因此，一个普通方程，如果只有一个变量

看起来像这样

比如，x^2 + cosx

= √x

上面是我现编的

这里，方程的解是一个数字

或者是一系列数字

有时不止一个数字，对吗？

如果你有一个多项式，你可以有一个以上的

满足这个方程的x值。

这里，一个微分方程的解

是一个函数

我们的目标是要解出，x的什么函数，在这里我写成 f(x)

但是x的什么函数

满足这种关系或满足这个等式

因此，让我告诉你我的意思

我有我大学时的微分方程课本

所以我打算用它作为下面的参考

因此，让我们说 - 我正在写出来

看，他们有一个微分方程

我还不能向你展示如何解这个题

因为我们必须先学习一些技巧

但我认为现在正好开始让你了解什么是微分方程

以便你不会

与传统的方程混淆

因此，他们有这个微分方程

二阶导数 y"

相对于x的二阶导数y" 加上

2乘以相对于x的一阶导数y‘，再减去3y

等于0: y“+ 2y' -3y = 0

他们给我们这些解，以及他们想要我们做的是

展示这些是解

我觉得这里是个好地方让我们

了解微分方程是什么

以及什么是解

所以他们说: y1(x) = e^(-3x) 【这里^是指数符号】

因此他们说

这是这个微分方程的一个解

因此，让我告诉你，这是

那么，这里好像讲得有点快

我先写y1

什么是y1‘ ？

什么是这个的导数？

好，只做链式法则

整个函数的相对于x的导数的这一部分

就是 e^(-3x)

然后你算出里面部分的导数

因此，那就是 e^(-3x)

外面的导数

里面的导数是 -3

y1的二阶导数等于

我们取这个函数的导数，它正好等于

+9e^(-3x): +9 = -3乘以-3

现在，让我们验证，如果我们替代y1和它的导数

进入到这个微分方程

那么它是成立的

所以y”，就是这个

因此，我们得到9e^(-3x)+2y'

+ 2y'

那么，这就是y'

所以2(-3e^(-3x)) 加上- 哦对不起，

减去3y: -3y

好，y是这样

所以 -3e^(-3x)

那么，它等于什么？

我们得到9e^(-3x)，再减去6e^(-3x)

减去3e^(-3x)

那么，它等于什么？

我们有9倍的某某减去 6倍的某某

再减去3倍的某某

结果等于0

0什么不要紧。

因此，等于0。

因此，我们验证了，这个函数，y1=e^(-3x)

它满足这个微分方程

这里有一些有趣的事情

你在普通方程碰到过这个

就是这可能不是唯一的解

事实上，我们将在以后的视频中学习

往往解不只一个函数

它可以是一类函数

通常他们都是相同的函数

只是常数不一样

但我一会要告诉你

这里，它们实际上表明我们还有另一种解

这也可以工作

我们可以尝试x的方程

y2(x) = e^x

我们可以验证，对不？

什么是e^x的第一次和第二次导数？

那么，他们就是e^x

y2二阶导数是

e^x加上2乘以一阶导数是什么？

那么e^x的一阶导数仍然是e^x

2e^x，再减去3乘以函数

-3e^x

那么，1+2-3又是等于0

所以，这也是这个微分方程的一个解

现在，在我们继续之前，在下一个视频，我将向你展示一些

相当简单的微分方程

的解决过程

我认为现在这是一个很好的时间

希望你掌握了微分方程是什么

以及它的解是什么

它的解不是一个数字，它的解决方案

是一个函数，或一系列函数

或一类函数

这是一个很好的时间

来了解一下术语

这里有两个大分类。

实际上，有第一个大类

常微分方程和偏微分方程

我觉得您可能已经猜到是什么意思

常微分方程就是我上面写的

这是一个变量相对另一个变量

或一个函数相对于x，及其导数

偏微分方程，我们将后面介入

这较为复杂

这就是当一个函数可以

多个变量的函数

你可以有相对于x的导数

以及相对于y和z的函数

我们现在不用管这个

如果你的函数及其导数

是一个变量的函数，那么，我们正在处理

一个常微分方程

这就是此播放列表将涉及的

常微分方程

在常微分方程中

有两种方式进行分类

它们有点重叠

你有你的阶

所以我的微分方程的阶是什么？

然后，你有这样的分类

是线性还是非线性的

我认为弄清这一点的最好办法是

写下一些例子

因此，让我写下来。

我的来源是

我的大学微分方程课本

x平方乘以y对于x的二阶导数

+ x乘以y对于x的一阶导数

+ 2y = sinx

这里的第一个问题是：阶是什么？

所谓阶就是

你方程中最高的导数

本函数的最高导数

对不对？

这个方程的解将是y(x)

满足这个等式

阶是该函数的最高导数

那么，这里最高的导数是二阶导数

因此，阶为2

或者，正如你可以叫它

二阶常微分方程

现在的第二件事情，我们必须弄清楚：

这是一个线性还是非线性微分方程？

所以微分方程是线性的，如果所有的函数

及其导数

是线性的

我这个是什么意思？

我的意思是你没有y平方

或者你没有(dy/dx)平方

或你没有y乘以y的二阶导数

所以这个例子中，我只写到这里

这是一个二阶线性方程，因为你有二阶导数

一阶导数，和y，

但他们不是乘以该函数及其导数

现在，如果这个等式 - 如果我改写为x平方

乘以y的二阶导数 d^2y/dx^2

等于sinx，比如说，我取它的平方

现在，突然，我有了一个非线性

微分方程。

这是非线性的。

这是线性的。

因为平方，我乘以y的二阶导数

乘以它自己

非线性方程的另一个例子是

y乘以y的二阶导数等于sin(x)

y(x) y"(x) = sin (x)

这也是非线性的

因为我用该函数乘以它的二阶导数

注意在这里，我乘以二阶导数

用的是独立变量x

x乘以二阶导数

可是，我的时间到了

希望这个课程给了你一个

关于微分方程的简单概括

在接下来的视频中，我们将开始解这些方程

再见