Introduction to differential equations

What a differential equation is and some terminology.

Chào mừng đến với video đầu tiên này, và trên thực tế đoạn video đầu tiên

trong danh sách bài học về phương trình vi phân.

Tôi biết tôi xúc động về điều này trước khi chúng tôi đã làm điều hòa

chuyển động, và tôi nghĩ rằng tôi có thể đã xúc động

ngày nó trong đối tượng khác.

Nhưng bây giờ, do yêu cầu của bạn, chúng tôi sẽ làm một toàn bộ

danh sách này.

Và đó là một điều khá hữu ích, bởi vì vi phân

phương trình là cái gì đó cho thấy trong một tập toàn bộ

lĩnh vực khác nhau.

Tôi đã được yêu cầu của một người bắt đầu từ một kinh tế

Chương trình tiến sĩ để làm điều này; Tôi đã được yêu cầu của một số người

những người đang đi vào vật lý, một số người đang đi vào

kỹ thuật.

Vì vậy, nó là một khu vực rộng rãi áp dụng của nghiên cứu.

Vì vậy, hãy chỉ bắt đầu, trước khi tôi tiếp tục đi

công cụ vô dụng.

Vì vậy các phương trình vi phân.

Vì vậy, câu hỏi đầu tiên là: những gì là một phương trình vi phân?

Bạn biết những gì một phương trình là.

Một phương trình vi phân là gì?

Vâng, một phương trình vi phân là một phương trình có liên quan đến

một chức năng không rõ và dẫn xuất của nó.

Vì vậy, những gì tôi có nghĩa bởi đó?

Vâng, chúng ta hãy nói rằng tôi đã nói rằng nguyên tố y plus y là bằng nhau

để x cộng với 3.

Ở đây, các chức năng không biết là y.

Chúng tôi có thể viết nó như y của x, hoặc chúng tôi có thể viết

Điều này là dy dx, đạo hàm của y đối với x cộng

y không xác định chức năng này là tương đương với x cộng với 3.

Chúng tôi cũng có thể viết nguyên tố f x cộng thêm f của x là

bình đẳng để x cộng với 3.

Tất cả những sẽ có là cách hợp lệ của văn bản này

chính xác cùng một phương trình vi phân.

Và những gì là thú vị ở đây, và làm thế nào đây là một khởi hành

từ những gì chúng tôi đã biết trước về phương trình chỉ cần thường xuyên

là - cho tôi viết một phương trình thường xuyên chỉ đến

nhắc nhở bạn những gì họ trông như thế.

Vì vậy một phương trình thường xuyên, nếu chúng tôi đã có một biến, sẽ xem xét

một cái gì đó như thế này.

Tôi không biết, x bình phương cộng với cô sin x là tương đương với

bậc hai của x.

Tôi chỉ cần làm mà.

Ở đây, giải pháp là một số, hoặc đôi khi nó có một

tập hợp các số điện thoại.

Đôi khi có là nhiều hơn một, phải không?

Nếu bạn có một đa thức, bạn có thể có nhiều hơn một

giá trị của x thỏa mãn phương trình này.

Ở đây, cho một phương trình vi phân, các

giải pháp là một chức năng.

Mục tiêu của chúng tôi là để tìm ra những gì chức năng của x, và ở đây tôi

viết f x rõ ràng, nhưng những gì chức năng của x rõ ràng

đáp ứng mối quan hệ này hoặc phương trình này.

Vì vậy, hãy để tôi cho bạn thấy những gì tôi có nghĩa là bằng cách đó.

Và tôi có cuốn sách phương trình vi phân của tôi từ trường đại học,

Vì vậy, tôi sẽ sử dụng khi chúng tôi đi.

Vì vậy, hãy nói rằng - tôi chỉ viết bây giờ.

Thấy, họ có này như là một phương trình vi phân.

Và tôi sẽ không hiển thị cho bạn nhất thiết phải làm thế nào để giải quyết chúng

chỉ cần chưa, vì chúng ta phải tìm hiểu một số thủ thuật đầu tiên. Nhưng tôi

Hãy suy nghĩ một nơi tốt để bắt đầu là chỉ để bạn hiểu những gì một

phương trình vi phân, do đó bạn không bị lẫn lộn với

phương trình truyền thống.

Vì vậy, họ có vi phân này [? đạo hàm.?]

y nguyên tố số nguyên tố.

Vì vậy các phái sinh thứ hai của y đối với x, cộng thêm 2

lần các phái sinh đầu tiên của y đối với x, trừ 3 y

là bằng 0.

Họ cung cấp cho chúng tôi các giải pháp ở đây và những gì họ muốn chúng tôi

làm cho thấy rằng đây là giải pháp.

Và tôi nghĩ rằng đây là một nơi tốt để chỉ cần ít

hiểu những gì một phương trình vi phân, và những gì của nó

có nghĩa là giải pháp.

Vì vậy, họ nói y1 số x là tương đương với e để trừ 3 x.

Vì vậy, họ cho rằng điều này là một giải pháp này

phương trình vi phân.

Vì vậy, hãy để tôi hiển thị cho bạn rằng đây là.

Vâng, nếu điều này là nhanh chóng. y1, những gì là y - Vâng, hãy để

Tôi chỉ cần viết y1.

Nguyên tố y1 của những gì?

Đạo hàm của điều này là gì?

Vâng, chỉ cần làm các rule chuỗi.

Đạo hàm của hàm toàn bộ đối với điều này

là một phần của nó, là chỉ e để trừ 3 x.

Và sau đó bạn đi bắt nguồn từ bên trong.

Vì vậy, đó là chỉ đạo hàm của bên ngoài, e

với 3 x trừ.

Và các phái sinh của các bên trong là trừ 3.

Và thứ hai đạo hàm của y1 là tương đương với--chúng tôi sẽ chỉ

mất đạo hàm của này, và đó là chỉ bằng cộng

9 - trừ 3 lần trừ 3--e để trừ 3 x.

Bây giờ, hãy xác minh rằng nếu chúng tôi thay thế y1 và của nó

dẫn xuất trở lại vào phương trình vi phân, mà nó

đúng.

Vì vậy, thủ tướng y nguyên tố, đó là điều này.

Vì vậy, chúng tôi nhận được chín e để trừ 3 x, cộng với thủ tướng chính 2y.

Cộng với thủ tướng y 2 lần.

Vâng, đây là số nguyên tố y.

Vì vậy 2 lần trừ 3 e trừ 3 x cộng-oh xin lỗi,

trừ-3 lần y.

Vâng, y là điều này.

Vì vậy, trừ đi 3 lần e để trừ 3 x.

Vâng, những gì hiện có bằng?

Chúng tôi nhận được 9 e để 3 x trừ, trừ 6 e để 3 x trừ,

trừ 3 e để trừ 3 x.

Vâng, những gì hiện có bằng?

Chúng ta có 9 của một cái gì đó trừ 6 của

một cái gì đó trừ 3 của một cái gì đó.

Vì vậy, mà chỉ bằng 0.

Nó không quan trọng của 0 bất cứ điều gì.

Vì vậy mà bằng 0.

Vì vậy, chúng tôi xác minh mà cho chức năng này, y1 là tương đương với e

với 3 x trừ, nó thỏa mãn phương trình vi phân.

Bây giờ đó là một cái gì đó thú vị ở đây, và bạn đã

loại đụng vào điều này với phương trình thường xuyên, là

Điều này có thể không phải là giải pháp duy nhất.

Trong thực tế chúng tôi sẽ tìm hiểu, có lẽ là một đoạn video hoặc hai, mà thường các

giải pháp là không chỉ là một chức năng.

Nó có thể là một lớp học của các chức năng mà thường

họ đang tất cả các loại của các chức năng tương tự, nhưng bạn có một

sự khác biệt của các hằng số.

Nhưng tôi sẽ cho bạn thấy rằng trong một giây.

Nhưng ở đây, họ thực sự thấy chúng tôi là một

giải pháp, điều này sẽ thực sự làm việc với, chúng tôi có thể

thử y2 phương trình của x là bằng, tốt, chỉ cần

đơn giản e để x.

Và chúng tôi có thể xác minh rằng, phải không?

Các phái sinh đầu tiên và thứ hai e để x là gì?

Vâng, họ đang chỉ e để x.

Do đó, hàm y2, thứ hai là chỉ e x cộng với 2

lần đầu tiên bắt nguồn từ là gì?

Tốt các phái sinh đầu tiên của e để x là vẫn còn e để x,

2 e để x, trừ 3 lần một chức năng.

Trừ 3e để x.

Vâng, 1 cộng với 2 trừ 3, cũng đã một lần nữa bằng 0.

Vì vậy, đây cũng là một giải pháp cho phương trình vi phân.

Bây giờ trước khi chúng tôi đi, trong kế tiếp tôi sẽ cho bạn thấy một số

vi phân khá đơn giản

phương trình để giải quyết.

Tôi nghĩ rằng đó là một thời gian tốt bây giờ, bây giờ mà bạn hy vọng có một

nắm bắt những gì một phương trình vi phân, và những gì của nó

giải pháp là.

Và giải pháp của nó không phải là một số, giải pháp của nó là một

chức năng, hoặc một tập hợp các chức năng,

hoặc một lớp học của các chức năng.

Nó là một thời điểm tốt để chỉ cần đi qua một chút chút

thuật ngữ.

Do đó, có hai phân loại lớn.

Vâng, trên thực tế, đó là một trong những đầu tiên lớn, bình thường và một phần

phương trình vi phân.

Tôi nghĩ rằng bạn có thể có thể đã đoán những gì mà có nghĩa là.

Một phương trình vi phân thường là những gì tôi đã viết.

Nó là một biến đối với một biến, hoặc một

chức năng với sự tôn trọng bạn, nói, x và dẫn xuất của nó.

Phương trình vi phân riêng phần chúng tôi sẽ nhận ra sau đó.

Mà đã phức tạp hơn.

Đó là khi một chức năng có thể là một chức năng của

biến nhiều hơn một.

Và bạn có thể có đạo hàm đối với x,

và y, và z.

Chúng tôi sẽ không lo lắng về điều đó ngay bây giờ.

Nếu chức năng của bạn và dẫn xuất của họ là một chức năng của

chỉ có một biến, sau đó chúng tôi đang làm việc với bình thường

phương trình vi phân.

Đó là những gì danh sách phát này sẽ đối phó với, bình thường

phương trình vi phân.

Bây giờ trong phương trình vi phân thông thường,

có hai cách phân loại, và

họ loại chồng chéo.

Bạn đã đặt hàng của bạn, vì vậy những gì là thứ tự của tôi

phương trình vi phân?

Và sau đó bạn có khái niệm này của cho dù đó là tuyến tính hoặc

phi tuyến tính.

Và tôi nghĩ rằng cách tốt nhất để con số này ra là chỉ để

viết xuống những ví dụ.

Vì vậy, hãy để tôi viết xuống một.

Và tôi nhận được điều này từ trường đại học của tôi

cuốn sách phương trình vi phân.

x bình phương lần thứ hai đạo hàm của y với sự tôn trọng

với x, cộng với x lần các phái sinh đầu tiên của y với sự tôn trọng

với x, cộng với 2y là tương đương với Sin x.

Vì vậy, câu hỏi đầu tiên ở đây là: lệnh là gì?

Tất cả đơn đặt hàng là bắt nguồn từ cao nhất mà tồn tại

trong phương trình của bạn.

Các phái sinh cao nhất của các chức năng

theo câu hỏi, phải không?

Giải pháp này là có là một y của x, có đáp ứng

phương trình này.

Và thứ tự là đạo hàm bậc cao nhất của chức năng đó.

Vâng, bắt nguồn từ cao nhất ở đây là bắt nguồn từ thứ hai.

Vì vậy, điều này đã đặt hàng 2.

Hoặc là bạn có thể gọi đây, một lệnh thứ hai bình thường

phương trình vi phân.

Bây giờ điều thứ hai chúng ta phải tìm ra: là tuyến tính này

hoặc đây có phải là một phương trình vi phân phi tuyến?

Vì vậy, một phương trình vi phân là tuyến tính nếu tất cả các chức năng

và dẫn xuất của nó là cơ bản, tốt cho lack of

một từ tốt hơn, tuyến tính.

Những gì tôi có nghĩa bởi đó?

Tôi có nghĩa là bạn không có một y bình phương, hoặc bạn không có một

Dy qua dx bình phương, hoặc bạn không có một lần y các

Thứ hai hàm số y.

Vì vậy, ví dụ này tôi chỉ viết ở đây, điều này là một lệnh thứ hai

phương trình tuyến tính, bởi vì bạn có đạo hàm thứ hai

các phái sinh đầu tiên, và y, nhưng họ đang không nhân

các chức năng hoặc các dẫn xuất.

Bây giờ nếu phương trình này đã - nếu tôi viết lại nó như x d bình phương,

các phái sinh thứ hai của y đối với x bình phương, là

bằng Sin x, và hãy nói rằng tôi đã đến quảng trường này.

Bây giờ, tất cả những bất ngờ, tôi có một phi tuyến tính

phương trình vi phân.

Đây là phi tuyến tính.

Đây là tuyến tính.

Bởi vì tôi bình phương, tôi nhân thứ hai

đạo hàm của y với sự tôn trọng--tôi nhân nó thời gian riêng của mình.

Một ví dụ khác của một không-linear phương là nếu tôi

viết y lần thứ hai đạo hàm của y với sự tôn trọng

x là tương đương với Sin x.

Đây cũng là phi tuyến, bởi vì tôi nhân sự

chức năng thời gian của nó bắt nguồn từ thứ hai.

Thông báo ở đây, tôi đã làm nhân công cụ lần thứ hai

phái sinh, nhưng nó đã biến x độc lập mà tôi

nhân.

Nhưng dù sao, tôi đã chạy ra khỏi thời gian, và cung cấp hy vọng cho

bạn một tốt ít khảo sát về những gì một

phương trình vi phân là.

Trong video tiếp theo, chúng tôi sẽ bắt đầu thực sự giải quyết chúng.

Gặp lại bạn sớm