< Return to Video

หัวข้อ: บทนำสู่ differential equations (สมการอนุพันธ์)

  • 0:01 - 0:04
    ยินดีต้อนรับสู่วิดีโอแรก และอันทีจริงนี่เป็นวิดีโอแรก
  • 0:04 - 0:07
    และรายการของเรื่อง differential equations
  • 0:07 - 0:10
    ผมรู้ว่าผมพูดถึงเรื่องนี้มาก่อนตอนที่เราทำเรื่อง
  • 0:10 - 0:11
    การเคลื่อนที่ฮาร์มอนิก และผมอาจทำเรื่องนี้
  • 0:11 - 0:12
    ในวิชาอื่นมาแล้วก็ได้
  • 0:12 - 0:16
    แต่ตอนนี้ เนื่องจากคุณขอมา เราจะทำเป็นรายการ
  • 0:16 - 0:17
    ทั้งหมดไว้ตรงนี้
  • 0:17 - 0:20
    และนี่เป็นวิชาที่มีประโยชน์ทีเดียว เพราะ differential equations
  • 0:20 - 0:27
    ปรากฏอยู่ใน
  • 0:27 - 0:28
    สาขาต่าง ๆ มากมาย
  • 0:28 - 0:30
    ผมได้รับคำขอร้องจากคนที่เริ่มเรียนปริญญาเอกด้าน
  • 0:30 - 0:33
    เศรษฐศาสตร์ให้ทำวิดีโอนี้ขึ้นมา และก็ได้จากคนที่
  • 0:33 - 0:36
    กำลังจะเรียนฟิสิกส์ บางคนกำลังจะ
  • 0:36 - 0:36
    เรียนวิศวกรรม
  • 0:36 - 0:40
    มันจึงเป็นวิชาที่ประยุกต์ใช้กับเรื่องต่าง ๆ ได้มาก
  • 0:40 - 0:43
    ดังนั้นเรามาเริ่มกัน ก่อนที่ผมจะพูดแต่
  • 0:43 - 0:44
    เรื่องไม่เป็นสาระ
  • 0:44 - 0:45
    เอาล่ะ differential equations
  • 0:45 - 0:48
    คำถามแรกคือว่า: differential equation คืออะไร
  • 0:48 - 0:50
    คุณคงรู้ว่าสมการ (equation) คืออะไร
  • 0:50 - 0:52
    แล้ว differential equation ล่ะ
  • 0:52 - 0:56
    อืม differential equation คือสมการที่เกี่ยวกับ
  • 0:56 - 0:58
    ฟังก์ชันไม่รู้ค่ากับ derivative ของมัน
  • 0:58 - 0:59
    แล้วมันหมายความยังไงกันแน่
  • 0:59 - 1:10
    ทีนี้, สมมุติว่าผมบอกว่า y ไพรม์บวก y เท่ากับ
  • 1:10 - 1:13
    x บวก 3
  • 1:13 - 1:15
    ฟังก์ชันไม่ทราบค่าคือ y
  • 1:15 - 1:18
    เราอาจเขียนมันเป้น y ของ x, หรือเราอาจเขียน
  • 1:18 - 1:25
    เป็น dy dx, อนุพันธ์ของ y เทียบกับ x บวก
  • 1:25 - 1:29
    ฟังก์ชันไม่ทราบค่า y นี่ เท่ากับ x บวก 3
  • 1:29 - 1:35
    เรายังสามารถเขียนเป็น f ไพรม์ของ x บวก f ของ x
  • 1:35 - 1:37
    เท่ากับ x บวก 3
  • 1:37 - 1:40
    ทั้งหมดนี่ล้วนเป็นวิธีที่ใช้ได้ในการเขียน
  • 1:40 - 1:42
    สมการอนุพันธ์อันเดียวกัน
  • 1:42 - 1:46
    และสิ่งที่น่าสนใจตรงนี้, และนี่เริ่มไปจาก
  • 1:46 - 1:49
    สิ่งที่เราเคยเห็นมาก่อนเกี่ยวกับสมการทั่วไปคือว่า
  • 1:49 - 1:51
    -- ขอผมเขียนสมการธรรมดาลงไปเพื่อ
  • 1:51 - 1:52
    ให้คุณจำได้ว่าเป็นยังไงนะ
  • 1:52 - 1:55
    สมการทั่วไป, หากเรามีตัวแปรเดียว, จะ
  • 1:55 - 1:56
    เป็นแบบนี้
  • 1:56 - 2:02
    ไม่รู้สิ, x กำลังสอง บวก โคไซน์ของ x เท่ากับ
  • 2:02 - 2:04
    สแควร์รูทของ x
  • 2:04 - 2:05
    ผมตั้งมันขึ้นมามั่ว ๆ
  • 2:05 - 2:08
    ตรงนี, คำตอบเป็นตัวเลข, บางครั้งเป็น
  • 2:08 - 2:09
    เซตของตัวเลข
  • 2:09 - 2:10
    บางครั้งมันมีมากกว่าหนึ่งคำตอบ, จริงไหม?
  • 2:10 - 2:12
    หากคุณมีพหุนาม, คุณอาจมีค่า x มากกว่าหนึ่งค่า
  • 2:12 - 2:15
    ที่เป็นไปตามสมการ
  • 2:15 - 2:18
    ตรงนี้, สำหรับสมการอนุพันธ์
  • 2:18 - 2:20
    คำตอบเป็นฟังก์ชัน
  • 2:20 - 2:25
    เป้าหมายเราคือหาว่าฟังก์ชันของ x ใด, ในที่นี้
  • 2:25 - 2:28
    ผมเขียน f ของ x ออกมาเลย, แต่ฟังก์ชันของ x
  • 2:28 - 2:33
    ต้องเป็นไปตามความสัมพันธ์ หรือสมการนี้
  • 2:33 - 2:35
    ขอผมแสดงให้คุณดูว่าผมหมายถึงอะไร
  • 2:35 - 2:38
    ผมมีหนังสือสมการอนุพันธ์จากมหาวิทยาลัย,
  • 2:38 - 2:41
    ผมจะใช้มันเมื่อเราไปเรื่อย ๆ
  • 2:41 - 2:44
    งั้นสมมุติว่า -- ผมจะเขียนลงไปนะ
  • 2:44 - 2:48
    ลองดู, เขามีนี่เป็นสมการอนุพันธ์
  • 2:48 - 2:51
    และผมจะไม่ได้แสดงวิธีการแก้ในตอนนี้
  • 2:51 - 2:54
    เพราะเราต้องเรียนกลเม็ดบางอย่างก่อน แต่ผม
  • 2:54 - 2:57
    ว่าวิธีเริ่มที่ดีคือ คุณต้องเข้าใจว่า
  • 2:57 - 3:00
    สมการอนุพันธ์คืออะไร, คุณจะได้ไม่สับสน
  • 3:00 - 3:01
    กับสมการดั้งเดิม
  • 3:01 - 3:04
    งั้น, เขามีดิฟเฟอเรนเชียลนี่
  • 3:04 - 3:06
    y ไพรม์ ไพรม์
  • 3:06 - 3:10
    คืออนุพันธ์อันดับสองของ y เทียบกับ x, บวก 2
  • 3:10 - 3:16
    คูณอนุพันธ์อันดับแรกของ y เทียบกับ x, ลบ 3 y
  • 3:16 - 3:18
    เท่ากับ 0
  • 3:18 - 3:21
    แล้วเขาบอกคำตอบเราตรงนี้, เขาอยากให้เรา
  • 3:21 - 3:22
    แสดงว่านี่คือคำตอบ
  • 3:22 - 3:24
    และผมว่านี่คือจุดที่ดีที่อย่างน้อย
  • 3:24 - 3:27
    เราเข้าใจว่าสมการอนุพันธ์คืออะไร และคำตอบ
  • 3:27 - 3:28
    ของสมการหมายถึงอะไร
  • 3:28 - 3:34
    งั้นเขาบอกว่า y1 ของ x เท่ากับ e กำลัง ลบ 3x
  • 3:34 - 3:36
    แล้วเขาบอกว่า นี่คือคำตอบของ
  • 3:36 - 3:37
    สมการอนุพันธ์นี้
  • 3:37 - 3:39
    งั้นขอผมแสดงให้คุณดูว่ามันเป็น
  • 3:39 - 3:45
    ที่นี่, หากนี่คือ y1 แล้ว y คืออะไร -- ทีนี้
  • 3:45 - 3:46
    ผมเขียน y1 นะ
  • 3:46 - 3:47
    y1 ไพรม์คืออะไร?
  • 3:47 - 3:49
    อนุพันธ์ของนี่คืออะไร?
  • 3:49 - 3:51
    เราก็ใช้กฎลูกโซ่
  • 3:51 - 3:55
    อนุพันธ์ของฟังก์ชันทั้งหมด เทียบกับ
  • 3:55 - 3:58
    ส่วนนี้, ก็แค่ e กำลัง ลบ 3x
  • 3:58 - 4:00
    แล้วคุณก็หาอนุพันธ์ของตัวใน
  • 4:00 - 4:02
    นั่นก็แค่อนุพันธ์ของตัวนอก, e
  • 4:02 - 4:03
    กำลังลบ 3x
  • 4:03 - 4:08
    แล้วอนุพันธ์ของตัวใน เท่ากับ ลบ 3
  • 4:08 - 4:13
    และอนุพันธ์อันดับสองของ y1 เท่ากับ -- เราก็แค่
  • 4:13 - 4:15
    หาอนุพันธ์ของอันนี้, และนั่นเท่ากับ บวก
  • 4:15 - 4:19
    9 -- ลบ 3 คูณ ลบ 3 -- e กำลังลบ 3x
  • 4:19 - 4:24
    ทีนี้, ลองทดสอบดูว่า หากเราแทน y1 กับอนุพันธ์
  • 4:24 - 4:28
    ของมันลงในสมการอนุพันธ์นี้, มันจะเป็น
  • 4:28 - 4:29
    จริงไหม
  • 4:29 - 4:31
    งั้น y ไพรม์ ไพรม์, มันคือนี่
  • 4:31 - 4:39
    เราได้ e กำลังลบ 3x, บวก 2y ไพรม์
  • 4:39 - 4:41
    บวก 2 คูณ y ไพรม์
  • 4:41 - 4:43
    ทีนี้, นี่คือ y ไพรม์
  • 4:43 - 4:50
    งั้น 2 คูณลบ 3 e กำลังลบ 3x บวก -- โอ้ โทษที,
  • 4:50 - 4:52
    ลบ -- 3 คูณ y
  • 4:52 - 4:53
    ทีนี้, y คือนี่
  • 4:53 - 4:58
    ลบ 3 คูณ e กำลังลบ 3x
  • 4:58 - 5:00
    แล้วนั่นเท่ากับอะไร?
  • 5:00 - 5:09
    เราได้ 9 e กำลังลบ 3x, ลบ 6 e กำลังลบ 3x,
  • 5:09 - 5:12
    ลบ 3 e กำลังลบ 3x
  • 5:12 - 5:13
    แล้วนั่นเท่ากับอะไร?
  • 5:13 - 5:15
    เราได้ 9 ของอะไรสักอย่าง ลบ 6 ของ
  • 5:15 - 5:16
    อะไรสักอย่าง ลบ 3 อะไรสักอย่าง
  • 5:16 - 5:17
    นั่นเลยเท่ากับ 0
  • 5:17 - 5:20
    มันไม่สำคัญ ว่า เป็น 0 อะไร
  • 5:20 - 5:21
    มันเท่ากับ 0
  • 5:21 - 5:27
    เราเลยสรุปได้ว่า ฟังก์ชันนี้, สำหรับ y1 เท่ากับ
  • 5:27 - 5:31
    e กำลัง 3x, เป็นไปตามสมการอนุพันธ์
  • 5:31 - 5:33
    ทีนี้ มีสิ่งที่น่าสนใจตรงนี้, และคุณอาจเห็น
  • 5:33 - 5:35
    นี่ในสมการปกติ, ว่า
  • 5:35 - 5:38
    นี่อาจไม่ใช่คำตอบเดียว
  • 5:38 - 5:43
    ที่จริง, เราจะเรียนว่า, ในวิดีโอหน้าหรืออีกสองอัน, ว่าหลายครั้ง
  • 5:43 - 5:44
    คำตอบไม่ได้มีแค่ฟังก์ชันเดียว
  • 5:44 - 5:46
    มันอาจเป็นคลาสของฟังก์ชันที่ดู
  • 5:46 - 5:50
    เป็นฟังก์ชันคล้าย ๆ กัน แต่คุณมี
  • 5:50 - 5:51
    ค่าคงที่ต่างกัน
  • 5:51 - 5:52
    ผมจะแสดงให้ดูในไม่ช้า
  • 5:52 - 5:54
    แต่ตรงนี้, เขาแสดงให้เราดูว่ามันมีคำตอบอื่นอีก
  • 5:54 - 5:58
    นั่นคือที่ที่เราจะลอง, เราอาจ
  • 5:58 - 6:04
    ลอง y2 เท่ากับ, แค่
  • 6:04 - 6:06
    e กำลัง x
  • 6:06 - 6:08
    และเราจะตรวจสอบมัน, จริงไหม/
  • 6:08 - 6:10
    อนุพันธ์อันดับแรกกับอันดับสองของ e กำลัง x คืออะไร?
  • 6:10 - 6:11
    พวกมันก็แค่ e กำลัง x
  • 6:11 - 6:16
    อนุพันธ์อันดับสองของ y2 ก็แค่ e กำลัง x บวก 2
  • 6:16 - 6:23
    คูณอนุพันธ์อันดับแรกคืออะไร?
  • 6:23 - 6:25
    อนุพันธ์อันดับแรกของ e กำลังก็ยังเป็น e กำลัง x,
  • 6:25 - 6:28
    2 e กำลัง x, ลบ 3 คูณฟังก์ชัน
  • 6:28 - 6:30
    ลบ 3 e กำลัง x
  • 6:30 - 6:34
    ทีนี้, 1 บวก 2 ลบ 3, ทีนี้ มันเท่ากับ 0
  • 6:34 - 6:42
    นี่ก็ยังเป็นคำตอบของสมการอนุพันธ์
  • 6:42 - 6:45
    ก่อนที่เราจะไปต่อ, ในวิดีโอหน้า, ผมจะแสดง
  • 6:45 - 6:46
    วิธีแก้สมการอนุพันธ์ที่ตรงไปตรงมา
  • 6:46 - 6:49
    แบบนี้
  • 6:49 - 6:51
    ผมว่ามันเป็นเวลาที่ดี, ที่คุณจะเข้าถึง
  • 6:51 - 6:55
    ว่าสมการอนุพันธ์คืออะไร, และคำตอบ
  • 6:55 - 6:55
    คืออะไร
  • 6:55 - 6:58
    และคำตอบไม่ใช่ตัวเลข, คำตอบของมัน
  • 6:58 - 7:00
    เป็นฟังก์ชัน หรือเซตของฟังก์ชัน
  • 7:00 - 7:01
    หรือคลาสของฟังก์ชัน
  • 7:01 - 7:03
    นี่เป็นเวลาที่ดีที่จะพูดถึง
  • 7:03 - 7:04
    คำศัพท์สักหน่อย
  • 7:04 - 7:07
    มันมีการแบ่งประเภทเป็นสองประเภทใหญ่ ๆ
  • 7:07 - 7:10
    ที่จริง มันมีอันใหญ่สุด, สมการอนุพันธ์ทั่วไป
  • 7:10 - 7:11
    กับอนุพันธ์ย่อย
  • 7:11 - 7:13
    ผมว่าคุณคงเดาได้ว่ามันหมายถึงอะไร
  • 7:13 - 7:15
    สมการอนุพันธ์ทั่วไป (ordinary differential equation) คือสิ่งที่ผมได้เขียนไป
  • 7:15 - 7:20
    มันมีตัวแปรเดียว เทียบกับอีกตัวแปรนึง หรือฟังก์ชันเดียว
  • 7:20 - 7:22
    เทียบกับอย่างเช่น x กับอนุพันธืของมัน
  • 7:22 - 7:24
    สมการอนุพันธ์ย่ยอ (Partial differential equations) เราจะพูดถึงทีหลัง
  • 7:24 - 7:25
    มันซับซ้อนกว่ามาก
  • 7:25 - 7:28
    นั่นคือตอนที่ฟังก์ชันเป็นฟังก์ชัน
  • 7:28 - 7:29
    ที่มีมากกว่าหนึ่งตัวแปร
  • 7:29 - 7:31
    คุณจะได้อนุพันธ์เทียบกับ x,
  • 7:31 - 7:32
    กับ y, กับ z
  • 7:32 - 7:34
    เราจะไม่พูดถึงมันตอนนี้
  • 7:34 - 7:37
    หากฟังก์ชันและอนุพันธ์ของมันเป็นฟังก์ชัน
  • 7:37 - 7:39
    ของตัวแปรเดียว, เราจะเรียกมันว่า
  • 7:39 - 7:39
    สมการอนุพันธ์ทั่วไป
  • 7:39 - 7:45
    นั่นคือสิ่งที่รายการนี้จะยุ่งด้วย, สมการอนุพันธ์
  • 7:45 - 7:50
    ทั่วไป
  • 7:50 - 7:54
    ทีนี้ ภายใต้สมการอนุพันธ์ทั่วไป,
  • 7:54 - 7:56
    เราแบ่งมันได้เป็นสองประเภท, และ
  • 7:56 - 7:57
    มันมีส่วนทับกัน
  • 7:57 - 8:00
    คุณมีอันดับ, แล้วอันดับในสมการอนุพันธ์
  • 8:00 - 8:01
    คืออะไร?
  • 8:01 - 8:06
    แล้วคุณยังมีการจำแนกว่ามันเป็นเชิงเส้นหรือ
  • 8:06 - 8:08
    ไม่เป็นเชิงเส้น
  • 8:08 - 8:11
    ผมว่าวิธีที่ดีที่สุดในการคิด คือเขียน
  • 8:11 - 8:12
    ตัวอย่างออกมา
  • 8:12 - 8:16
    ขอผมเขียนลงไปนะ
  • 8:16 - 8:18
    ผมเอานี่มาจากหนังสือเรียน
  • 8:18 - 8:20
    สมการอนุพันธ์ในมหาวิทยาลัยผม
  • 8:20 - 8:26
    x กำลังสองคูณ อนุพันธ์อันดับสองของ y เทียบกับ x
  • 8:26 - 8:33
    บวก x คูณอนุพันธ์อันดับแรกของ y เทียบกับ x
  • 8:33 - 8:41
    บวก 2y เท่ากับไซน์ของ x
  • 8:41 - 8:43
    คำถามคือว่า: อันดับคืออะไร?
  • 8:43 - 8:47
    ตรงนี้ อันดับคือ อนุพันธ์อันดับสูงสุดที่มี
  • 8:47 - 8:49
    ในสมการคุณ
  • 8:49 - 8:50
    อนุพันธ์สูงสุดของฟังก์ชัน
  • 8:50 - 8:51
    ที่สนใจ, จริงไหม?
  • 8:51 - 8:56
    คำตอบของนี่จะเป็น y ของ x, ที่
  • 8:56 - 8:57
    เป็นไปตามสมการนี้
  • 8:57 - 9:00
    และอันดับ คือ อนุพันธ์อันดับสูงสุดของฟังก์ชันนั้น
  • 9:00 - 9:04
    อนุพันธ์อันดับสูงสุดตรงนี้ คือ อนุพันธ์อันดับสอง
  • 9:04 - 9:06
    ดังนั้นนี่มีอันดับเป็น 2
  • 9:09 - 9:12
    หรือคุณอาจเรียกนี่ว่า, สมการอนุพันธ์ทั่วไป
  • 9:12 - 9:13
    อันดับสอง
  • 9:13 - 9:16
    ทีนี้ อย่างที่สองที่เราต้องหา คือ มันเป็นสมการอนุพันธ์
  • 9:16 - 9:19
    เชิงเส้น หรือไม่เชิงเส้่น?
  • 9:19 - 9:24
    สมการอนุพันธื เป็นเชิงเส้น หากฟังก์ชัน
  • 9:24 - 9:28
    กับอนุพันธ์ของมันนั้น, ไม่มีคำไหนดีกว่านี้
  • 9:28 - 9:29
    แล้ว, เป็นเชิงส้น
  • 9:29 - 9:30
    แล้วผมหมายความว่ายังไง?
  • 9:30 - 9:33
    ผมหมายถึง คุณไม่มี y กำลังสอง หรือคุณไม่มี
  • 9:33 - 9:37
    dy ส่วน dx กำลังสอง, หรือคุณไม่มี y คูณ
  • 9:37 - 9:38
    อนุพันธ์อันดับสองของ y
  • 9:38 - 9:43
    ดังนั้นตัวอย่างที่ผมเพิ่งเขียนไป, นี่เป็นสมการเชิงเส้น
  • 9:43 - 9:47
    อันดับสอง, เพราะคุณมีอนุพันธ์อันดับสอง
  • 9:47 - 9:50
    อนุพันธ์อันดับหนึ่ง และ y, แต่มันไม่ได้คูณด้วย
  • 9:50 - 9:51
    ฟังก์ชันหรืออนุพันธ์
  • 9:51 - 10:00
    ทีนี้หากสมการนี่ -- หากผมเขียนมันเป็น x กำลังสอง d
  • 10:00 - 10:06
    อนุพันธ์อันดับสองของ y เทียบกับ x กำลังสอง
  • 10:06 - 10:11
    เท่ากับไซน์ของ x, และสมมุติว่าผมยกกำลังสองนี่
  • 10:11 - 10:14
    ในทันใด, ผมได้สมการอนุพันธ์
  • 10:14 - 10:15
    แบบไม่เชิงเส้นแล้ว
  • 10:15 - 10:16
    นี่ไม่เป็นเชิงเส้น
  • 10:16 - 10:17
    นี่เป็นเชิงเส้น
  • 10:17 - 10:21
    เพราะผมยกกำลังสอง, ผมคูณอนุพันธ์
  • 10:21 - 10:25
    อันดับสองของ y เทียบกับ -- ผมคูณมันด้วยตัวมันเอง
  • 10:25 - 10:28
    ตัวอย่างอีกอันของสมการแบบไม่เชิงเส้น คือ หากผมเขียน
  • 10:28 - 10:35
    y คูณอนุพันธ์อันดับสองของ y เทียบกับ
  • 10:35 - 10:38
    x เท่ากับไซน์อขง x
  • 10:38 - 10:42
    นี่ก็ไม่เชิงเส้น, เพราะผมคูณ
  • 10:42 - 10:44
    ฟังก์ชันกับอนุพันธ์อันดับสองของมัน
  • 10:44 - 10:46
    สังเกตตรงนี้, ผมคูณเจ้านี่กับอนุพันธ์
  • 10:46 - 10:49
    อันดับสอง, แต่มันคือตัวแปรอิสระ x ที่ผม
  • 10:49 - 10:50
    คูณ
  • 10:50 - 10:53
    ช่างเถอะ, ผมหมดเวลาแล้ว, หวังว่านั่นคง
  • 10:53 - 10:55
    ช่วยให้คุณเห็นว่าสมการ
  • 10:55 - 10:56
    อนุพันธืคืออะไร
  • 10:56 - 11:00
    ในวิดีโอหน้า, เราจะเริ่มแก้มันจริง ๆ แล้ว
  • 11:00 - 11:01
    แล้วพบกันครับ
Title:
หัวข้อ: บทนำสู่ differential equations (สมการอนุพันธ์)
Description:

สมการอนุพันธ์คืออะไร และคำศัพท์ที่เกี่ยวข้อง
more » « less
Video Language:
English
Duration:
11:02
conantee edited Thai subtitles for Introduction to differential equations
conantee added a translation

Thai subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.