-
Välkommen till den här första videon och faktiskt den första videon
-
i spellistan om differentialekvationer.
-
Jag vet att jag talat om detta förut när vi sysslade med harmoniska
-
rörelser och jag tror jag kan ha nämnt
-
det inom andra ämnen.
-
Men nu, eftersom att ni önskat det, ska vi göra en hel
-
spelista om detta.
-
Och det är en ganska användbar sak, eftersom att differentialekvationer
-
är något som dyker upp i en hel rad
-
olika områden.
-
Jag har fått frågan från någon som doktorerar
-
i ekonomi; Jag har fått frågan från folk
-
som studerar fysik, folk som studerar till
-
ingenjörer.
-
Så det är ett brett kunskapsområde.
-
Låt oss börja, innan jag fortsätter med
-
onödig information.
-
Så, differentialekvationer.
-
Den första frågan är: Vad är en differentialekvation?
-
Du vet vad en ekvation är.
-
Vad är en differentialekvation?
-
En differentialekvation är en ekvation som involverar
-
en okänd funktion och dess derivator.
-
Vad menar jag med det?
-
Låt oss säga att y prim plus y är lika
-
med x plus 3
-
Här är den okända funktionen y.
-
Vi skulle kunna skriva det som y av x, eller så hade vi kunnat skriva
-
det som dy dx, derivatan av y med avseende på x plus
-
den okända funktionen y, lika med x plus 3.
-
Vi hade också kunna skriva f prim av x plus f av x
-
lika med x plus 3.
-
Alla dessa sätt är korrekta sätt att skriva
-
exakt samma differentialekvation.
-
Det intressanta här, och hur det skiljer
-
sig från vad vi lärt oss om vanliga ekvationer
-
är att-- låt mig skriva ner några vanliga ekvationer bara
-
för att påminna dig om hur de ser ut.
-
Så en vanlig ekvation, om vi har en variabel, skulle se
-
ut något sånthär.
-
Jag vet inte, x i kvadrat plus cosinus av x är lika med
-
roten ur x.
-
Jag hittade bara på det där.
-
Här är lösningen ett tal, eller ibland är det
-
en serie tal.
-
Ibland finns det mer än en, eller hur?
-
Om du har ett polynom så kan du ha mer än ett
-
värde på x som satisfierar ekvationen.
-
För en differentialekvation
-
är lösningen en funktion.
-
Vårt mål är att lista ut vilken funktion av x, och här skrev jag
-
f av x utryckligen, men vilken funktion av x som entydigt
-
satisfierar det här förhållandet eller den här ekvationen.
-
Låt mig visa vad jag menar med det.
-
Jag har har min differentialekvationsbok från högskolan
-
så jag kommer använda den framöver.
-
Låt oss säga att-- Jag skriver bara nu.
-
De har det här som en differentialekvation.
-
Jag ska inte nödvändigtvis visa hur man löser dem
-
riktigt ännu, eftersom att vi behöver lära oss några trick först. Men jag
-
tror att ett bra sätt att börja är att bara förstå vad en
-
differentialekvation är, så du inte blandar ihop dem med
-
de traditionella ekvationerna.
-
Så, de har den här differential...
-
y bis.
-
Så den andra derviatan av y, med avseende på x, plus 2
-
gånger förstaderivatan av y med avseende på x, minus 3 y
-
är lika med 0.
-
De ger oss lösningarna här och vad de vill att vi ska
-
göra är att visa att dessa är lösningar.
-
Jag tror det är ett bra sätt att åtminstone
-
förstå vad en differentialekvatione är och vad dess
-
lösning innebär.
-
Så de säger att y1 av x är lika med e upphöjt till minus 3x.
-
De hävdar att detta är en lösning till
-
differentialekvationen.
-
Låt mig bevisa att det är sant.
-
Om detta är y1, vad är y-- eller
-
vi skriver bara y1.
-
Vad är y1 prim?
-
Vad är derivatan av det här?
-
Vi använder bara kedjeregeln.
-
Derivatan av hela funktionen, med avseende på den
-
här biten är bara e upphöjt till minus 3x.
-
Sedan tar du den inre derivatan.
-
Så det är bara den yttre derivatan, e
-
upphöjt till minus 3x.
-
Och den inre derivatan är minus 3.
-
Andraderivatan av y1 är lika med-- vi
-
tar bara derivatan av det här, och det är bara lika med plus
-
9-- minus 3 gånger minus3-- e upphöjt till minus 3x.
-
Nu ska vi se att om vi substituerar y1 och dess
-
derivator tillbaka in i differentialekvationen, att det
-
är sant.
-
Så y bis, är det här.
-
Vi får nio e upphöjt till minus 3x, plus 2 y prim.
-
Plus 2 gånger y prim.
-
Det här är y prim.
-
Så två gånger minus 3 e upphöjt till minus 3x plus-- ursäkta,
-
minus-- 3 gånger y.
