Introduction to differential equations

What a differential equation is and some terminology.

Добро пожаловать! Это видео - первое

в списке видео по дифференциальным уравнениям.

Я знаю, что уже затрагивал эту тему раньше, когда мы рассматривали

гармоническое движение, и я полагаю, что мог уже упоминать

об этом в других уроках.

Но сейчас, по вашей просьбе, мы подготовили

целую серию видеоуроков на эту тему.

И это действительно полезное дело, поскольку

дифференциальные уравнения таковы, что они встречаются в целом ряде

различных областей.

Меня просил рассказать об этом кто-то, приступающий

к написанию диссертации по экономике; и те,

кто хотел разобраться в физике, и те, кто

хотели стать инженерами.

Итак, эта дисциплина имеет широкое применение.

Поэтому давайте уже начинать, чтобы я больше не

болтал о какой-то ерунде.

Собственно, дифференциальные уравнения.

И первый же вопрос: а что такое дифференциальное уравнение?

Что такое уравнение - вы знаете.

А что такое дифференциальное уравнение?

Ну, дифференциальное уравнение - это уравнение, в котором есть

неизвестные функция и её производные.

И что бы это значило?

Ну, давайте скажем, что игрек штрих плюс игрек равно

икс плюс три.

Здесь неизвестная функция - это игрек.

Мы могли бы записать её как игрек от икс, или же мы могли бы написать, что

дэ-игрек на дэ-икс, производная от игрек по икс плюс

эта неизвестная функция игрек равно икс плюс три.

Мы также можем писать эф-штрих от икс плюс эф от икс равно

икс плюс три.

Всё это является правильными способами записи

одного и того же дифференциального уравнения.

И что особенно интересно, и в чём заключается отличие

от того, что мы изучали раньше об обычных уравнениях,

так это то (давайте я запишу какое-нибудь обычное уравнение

просто, чтобы напомнить, как они выглядят).

Так вот, обычное уравнение, если у нас всего одна переменная, будет выглядеть

как-то вот так.

Ну, не знаю, икс-квадрат плюс косинус икс равно

квадратному корню из икс.

Ну вот что-то написал.

В данном случае решением является число, ну или какое-то

множество чисел.

Иногда ведь бывает много решений, правда?

Если у вас есть многочлен, то может быть больше одного

значения икса, которые удовлетворяют этому уравнению.

А здесь, в случае дифференциального уравнения,

решением будет функция.

И наша задача - выяснить, какая функция от икс (и тут я

даже напишу явно эф от икс); так вот, какая именно функция от икс

удовлетворяет этому соотношению или этому уравнению.

Давайте-ка я поясню, что я имею в виду.

Тут у меня есть как раз университетский учебник по дифференциальным уравнениям,

так что я буду его использовать в дальнейшем.

Ну давайте, что ли... Выпишу одно, например.

Видите, вот такое вот дифференциальное уравнение.

И я не вовсе собираюсь показывать вам, как их решать

прямо сейчас, потому что сначала нам нужно освоить несколько трюков. Но я

думаю, что это хороший пример, чтобы показать вам, что такое

дифференциальное уравнение, чтобы не путать его

с обычным уравнением.

Здесь есть производная

игрек два штриха.

Вторая производная от игрек по икс плюс два

умножить на первую производную от игрек по икс минус три игрек

равно нулю.

И здесь приводятся решения, и предлагается

проверить, что это и правда решения.

И мне кажется, что это хорошо иллюстрирует

что же такое дифференциальное уравнение, и что такое

его решения.

Например, игрек-один от икс равно е в степени минус три икс.

Утверждается, что это решение нашего

дифференциального уравнения.

Давайте проверим, что так оно и есть.

Ну, если так, то... игрек-один... хм, нужен игрек

игрек - это и есть игрек-один.

Тогда что такое игрек-один штрих?

Чему равна производная от этого?

Ну, используем правило производной от сложной функции.

Производная сложной функции по её

аргументу, это просто е в степени минус три икс.

А теперь берём производную аргумента.

Так что это просто производная сложной функции, е

в степени минус три икс.

И производная аргумента - это минус три.

И вторая производная y1 равен--мы просто

принять производная от этого и это просто равен плюс

9--минус 3 раза минус 3--e до минус 3 x.

Теперь давайте проверять, если мы заменить y1 и его

производные обратно в этом дифференциальное уравнение, что он

верно.

Так что y премьер премьер, это это.

Таким образом мы получаем девять e минус 3 x, плюс 2y премьер.

Плюс 2 раза y премьер.

Ну это y премьер.

Так 2 раза минус 3 e минус 3 x плюс--Ах простите,

минус--y 3 раза.

Ну y-это.

Так минус 3 раза e до минус 3 x.

Ну что это равны?

Мы получаем 9 e минус 3 x, минус 6 e до минус 3 x

минус 3 e до минус 3 x.

Ну что это равны?

У нас есть что-то минус 6 из 9

что-то минус 3 чего-то.

Так что просто равно 0.

Это не вопрос 0 независимо.

Таким образом, равен 0.

Таким образом мы проверили, что для этой функции для y1 равна e

минус 3 x он удовлетворяет этот дифференциальное уравнение.

Теперь есть что-то интересное здесь, и вы

вид коснулся на этом с регулярной уравнений, является то, что

Это не может быть единственным решением.

В действительности мы будем учиться, в может быть видео или два, что часто

решение не является просто функция.

Это может быть класса функций, где обычно

они все виды в ту же функцию, но у вас есть

Разница констант.

Но я покажу вам, в секунду.

Но здесь, они на самом деле показывают нам что есть еще один

решение, что это на самом деле будет работать с, мы могли бы

Попробуйте уравнение y2 x равно, ну, просто

простой e x.

И мы смогли проверить, правильно?

Что такое первой и второй производных e с x?

Ну они просто e к x.

Это просто e x плюс 2 вторая производная У2

времена первая производная является то, что?

Ну первая производная e с x по-прежнему e x,

2 e x, минус 3 раза функцию.

Минус 3e к x.

Ну, 1 плюс 2 минус 3, хорошо, что равняется 0 снова.

Так что это было также решение этого уравнения.

Теперь прежде чем мы продолжим, в следующем я покажу вам некоторые

довольно простой дифференциал

уравнения для решения.

Я думаю, это хорошее время, теперь, надеюсь у вас

понять, что дифференциальное уравнение и что ее

решение это.

И ее решение не ряд, ее решение является

функция или набор функций,

или класса функций.

Это хорошее время, чтобы просто пойти над немного

терминология.

Поэтому есть два больших классификаций.

Ну на самом деле есть один первый большой, обычные и частичное

Дифференциальные уравнения.

Я думаю, вы могли уже догадаться что это значит.

Обыкновенного дифференциального уравнения является то, что я написал.

Это одна переменная в отношении другой переменной, или один

работать с уважением вас, скажем, x и его производных.

Уравнений, которые мы получим позже.

Что еще более осложнило.

Вот когда функция может быть функцией

более чем одной переменной.

И вы можете иметь производной по x,

и y и z.

Мы не будем беспокоиться об этом прямо сейчас.

Если ваш функций и их производных являются функцией

только одна переменная, то мы имеем дело с обычной

Дифференциальное уравнение.

Вот этот список воспроизведения будет иметь дело с, обычные

Дифференциальные уравнения.

Теперь в обыкновенных дифференциальных уравнений,

есть два способа классификации, и

Они рода дублирования.

У вас есть ваш заказ, что такое порядок моих

Дифференциальное уравнение?

И тогда у вас есть это понятие ли это линейное или

-нелинейная.

И я думаю, лучший способ выяснить, это просто

Запишите примеры.

Поэтому позвольте мне записать один.

И я получаю это от моего колледжа

Книга дифференциальных уравнений.

x в квадрате времен второй производной y с уважением

x плюс x раз первая производная y с уважением

x плюс 2y равен синус x.

Таким образом, первый вопрос: что такое порядок?

Все порядок является высоким производной, что существует

в уравнении.

Высокая производная функции

под вопрос, правильно?

Решение это собирается быть y x, которая удовлетворяет

Это уравнение.

И порядок является высоким производная функции.

Ну высоким производная здесь является второй производной.

Так что это имеет порядок 2.

Или, как вы могли бы назвать это, второго порядка обычные

Дифференциальное уравнение.

Теперь вторая вещь, которую нам нужно выяснить: это линейная

или это нелинейное дифференциальное уравнение?

Так что дифференциальное уравнение линейной, если все функции

и его производные являются по существу, ну для отсутствия в

лучшего слова, линейные.

Что я имею в виду?

Я имею в виду вы не имеете y в квадрате, или вы не имеете

dy на dx в квадрате, или вы не имеете y раз

вторая производная y.

Поэтому в этом примере я просто написал здесь, это второго порядка

линейное уравнение, потому что у вас есть второй производной

первая производная и y, но они не вы умножить на

функция или производных.

Теперь, если это уравнение были--если я переписал его как x прямоугольной формы d,

вторая производная y относительно x квадрате,

равно синус x, а скажем, я был на площади это.

Теперь все внезапной, у меня не линейная

Дифференциальное уравнение.

Это-нелинейная.

Это линейная.

Потому что квадрате, я умноженными второй

Производная y с уважением--я умножить это раз сам.

Еще один пример линейное уравнение если я

Написал y раз вторая производная y с уважением

к x равен синус x.

Это также нелинейной, потому что я умножить

Функция раза второй производной.

Обратите внимание здесь, умножить вещи раз второй

производная, но он был независимой переменной x, что я

умножить.

Но в любом случае, я хватит времени, и мы надеемся, что дает

Вы хороший по крайней мере обзор того, что

Дифференциальное уравнение является.

В следующем видео мы начнем, на самом деле их решения.

До скорой встречи