-
Bun venit la primul tau video, de altfel chiar primul video
-
din playlistul pentru ecuatii diferentiale.
-
Stiu ca am mai atins acest subiect cand am vorbit despre miscarea
-
armonica si cred ca am mai vorbit
-
si la alte subiecte
-
Dar acum, la cererea voastra, vom face un intreg
-
playlist pentru asta.
-
Si asta este un lucru folositor, pentru ca ecuatiile
-
diferentiale sunt ceva ce apar in foarte multe
-
domenii de activitate
-
Am fost rugat de cineva care incepe un program de
-
doctorat sa fac asta;
Am fost rugat de multa lume din
-
domeniul fizicii, lume care se ocupa
-
de inginerie.
-
Asa ca este o arie aplicata la scara larga.
-
Asa ca sa incepem, inainte sa ma aventurez
-
prea mult in discutii inutile.
-
Deci ecuatii diferentiale.
-
Prima intrebare ar fi:
ce este o ecuatie diferentiala?
-
Stii ce este o ecuatie.
-
Ce este o ecuatie diferentiala?
-
Ei bine, o ecutatie diferentiala este
o ecuatie ce implica
-
o functie necunoscuta si derivatele sale.
-
Ce vreau sa spun cu asta?
-
Sa spunem ca y derivat plus y este egal
-
cu x plus 3.
-
Aici, functia necunoscuta este y.
-
Puteam sa o scriem ca y de x,
sau o puteam scrie
-
ca dy dx, derivata lui y in raport cu x plus
-
aceasta functie necunoscuta y
este egal cu x plus 3.
-
Puteam sa scriem si f derivat de x
plus f de x este
-
egal cu x plus 3.
-
Toate astea sunt moduri corecte de scriere
-
ale aceleasi ecuatii diferentiale.
-
Si ce este interesant aici si cum acesta
este un punct de plecare
-
de la ceea ce am invatat pana acum
despre ecuatii liniare
-
-- sa scriu o ecuatie liniara pentru
-
a iti aminti cum arata.
-
Asa ca o ecuatie liniara, daca avem
o singura variabila, ar arata
-
ceva de genul asta
-
Ceva de genul x patrat plus
cos de x este egal cu
-
radical de ordin 2 din x.
-
Am inventat-o.
-
Aici, solutia este un numar, sau uneori este
-
un set de numere.
-
Uneori sunt mai multe solutii, corect?
-
Daca aveti una polinomiala,
puteti avea mai multe
-
valori ale lui x care rezolva ecuatia.
-
Aici, pentru ecuatia diferentiala,
-
solutia este o functie.
-
Scopul nostru este sa descoperim
functia lui x, si aici am scris
-
f de x explicit, dar ce functie de x
-
rezolva aceasta relatie sau aceasta ecuatie.
-
Sa arat ce vreau sa spun cu asta.
-
Si am manualul de ecuatii diferentiale
din facultate
-
si il voi folosi.
-
Sa zicem -- acum doar scriu.
-
Uite, ei au asta ca ecuatie diferentiala.
-
Nu va voi arata neaparat cum se rezolva
-
inca, pentru ca trebuie sa invatam
mai intai niste trucuri.
-
Dar eu cred ca un punct bun de plecare este
sa intelegem ce este
-
o ecuatie diferentiala, pentru a
nu fi a nu le confunda
-
cu ecuatiile traditionale.
-
Asadar, ele au o [? derivata ?] diferentiala
-
y derivat derivat.
-
Asadar a doua derivare a lui y in raport cu x, plus
-
de doua ori prima derivata a lui y
in raport cu x, minus 3 y
-
este egal cu 0.
-
Si ne dau solutiile aici, si ce vor sa facem
-
este sa demonstram ca astea sunt solutiile.
-
Si cred ca asta este un loc bun ca macar
-
sa intelegem ce este o ecuatie diferentiala si
-
ce sunt solutiile sale.
-
Ei spun ca y1 de x este egal cu e la puterea 3x.
-
Ei pretind ca aceasta este o solutiei
-
a ecuatiei diferentiale.
-
Lasati-ma sa demonstrez ca asa este.
-
y1, care este y -- in fine, voi scrie
-
doar y1.
-
Care este y1 prim?
-
Care este derivata lui?
-
Ei bine, aplicam regula ...
-
Derivata intregii functii, in raport
cu aceasta parte a ei,
-
este doar e la puterea minus 3x.
-
Si apoi luam derivata a ceea ce este in interior.
-
Asa ca este doar derivata exteriorului,
-
e la -3x.
-
Si derivata interiorului este -3.
-
Si a doua derivare a lui y1 este egala cu --
-
doar vorm lua derivata lui,
si asta este egala cu plus 9 --
-
minus 3 ori minus 3 -- e la puterea -3x.
-
Acum sa verificam ca daca inlocuim pe y1
-
si derivatele sale inapoi in
ecuatia diferentiala,
-
relatia se pastreaza adevarata.
-
Asa ca y dublu derivat este asta.
-
Asa ca avem noua e la -3x, plus 2y derivat.
-
Plus 2 ori y derivat.
-
Ei bine, asta este y derivat.
-
Asa ca 2 ori -3e la puterea 3x plus -- a, scuze,
-
minus -- de 3 ori y.
-
Asa ca y este asta.
-
Deci minus 3 ori e la minus 3x.
-
Cu cine este asta egal?
-
Avem 9e la 3x minus 6e la minus 3x,
-
minus 3e la minus 3x.
-
Cu ce este asta egal?
-
Avem 9 ceva minus 6 ceva
-
minus 3 ceva.
-
Asta este egal 0.
-
Nu conteaza 0 ce.
-
Deci este egal cu 0.
-
Am verificat ca pentru functia asta, pentru y1 egal cu e
-
la minus 3x, se satisface ecuatia diferentiala.
-
Acum avem ceva interesant aici,
-
si va veti lovi de asta, este faptul ca
-
aceasta poate sa nu fie singura solutie.
-
De fapt veţi afla, poate peste un video sau doua,
ca de multe ori
-
soluţia nu este doar o funcţie.
-
Ar putea fi o clasă de funcţii, în cazul în care, de obicei
-
sunt tot felul de aceeaşi funcţie, dar aveţi o
-
diferenţa de constante.
-
Dar vă voi arăta că într-o secundă.
-
Dar aici, ei de fapt ne arată că există un alt
-
soluţie, că acest lucru va lucra de fapt, am putea
-
încercaţi y2 ecuaţia x este egală, ei bine, doar cu
-
e simplu la x.
-
Şi am putut verifica faptul că, chiar?
-
Ce este primul şi al doilea derivate de e la x?
-
Ei bine, acestea sunt doar e la x.
-
Deci a doua derivată a y2 este doar e la x, plus 2
-
ori prima derivata este ceea ce?
-
Ei bine primul derivat e la x este încă e la x,
-
2 e-x, minus o funcţie de 3 ori.
-
Minus 3e la x.
-
Ei bine, 1 plus 2 minus 3, ei bine, asta este egal cu 0 din nou.
-
Deci, acest lucru a fost, de asemenea, o soluţie la această ecuație diferențială.
-
Acum înainte de a merge, într-o viitoare vă voi arăta unele
-
destul de simplu diferentiale
-
ecuaţii pentru a rezolva.
-
Cred că este un moment bun acum, acum, că aveţi să sperăm că o
-
înţelege de ce o ecuație diferențială este, şi ceea ce sa
-
Soluţia este.
-
Şi soluţia ei nu este un număr, sale soluţie este un
-
funcţia, sau un set de funcţii,
-
sau o categorie de funcţii.
-
Este un moment bun pentru a du-te peste un pic de
-
terminologia.
-
Deci, există două clasificări mari.
-
Şi de fapt, există o prima mare, ordinare şi parţială
-
ecuatii diferentiale.
-
Cred că este posibil să fi ghicit deja ce înseamnă asta.
-
O ecuație diferențială ordinară este ceea ce am scris în jos.
-
Este o variabilă în raport cu o altă variabilă, sau una
-
funcţia cu respect vă, spun, x şi derivatele sale.
-
Ecuații cu derivate parțiale vom ajunge în mai târziu.
-
Care e mai complicat.
-
Asta e atunci când o funcţie poate fi o funcție de
-
mai multe variabile.
-
Şi tu poţi avea derivata în raport cu x,
-
şi y şi z.
-
Noi nu va griji care chiar acum.
-
În cazul în care funcţii şi derivatele lor sunt o funcţie de
-
numai o variabilă, apoi vom face cu un ordinar
-
ecuație diferențială.
-
Asta e ceea ce va face această listă de redare cu ordinare
-
ecuatii diferentiale.
-
Acum în ecuații diferențiale ordinare,
-
Există două modalităţi de clasificare, şi
-
Ei au un fel de suprapunere.
-
Aveţi comanda dvs., astfel încât ceea ce este de ordinul a mea
-
ecuație diferențială?
-
Si apoi au această noţiune dacă este liniară sau
-
non-linear.
-
Şi cred că cel mai bun mod de a figura acest lucru este doar pentru a
-
Notaţi exemple.
-
Aşa să-mi scrie unul.
-
Şi sunt obtinerea acest lucru la colegiu meu
-
carte de ecuatii diferentiale.
-
x pătrat ori a doua derivată a y cu respect
-
-x, plus x ori derivate prima y cu respect
-
-x, plus 2y este egal cu sinusul x.
-
Deci, prima intrebare aici este: care este ordinea?
-
Toate ordine este este cea mai mare care există
-
în ecuaţie.
-
Derivate mai mare a funcţiei
-
sub întrebare, dreapta?
-
Soluţie de acest lucru va fi o y de x, care satisface
-
această ecuaţie.
-
Şi ordinea este derivat cel mai înalt de această funcţie.
-
Ei bine, cea mai mare derivata aici este a doua derivată.
-
Deci, acest lucru a comenzii 2.
-
Sau ca ai putea apela acest lucru, un ordin al doilea ordinare
-
ecuație diferențială.
-
Acum al doilea lucru ne-am să dau seama: acest liniar
-
sau este aceasta o ecuație diferențială non-liniară?
-
Deci, o ecuaţie diferenţială este liniară dacă toate funcţiile
-
şi derivatele sale sunt, în esenţă, de asemenea pentru lack de
-
un cuvânt mai bun, liniar.
-
Ceea ce vreau sa spun de asta?
-
Vreau să spun nu aveţi o y pătrat, sau nu aveţi o
-
Dy peste dx pătrat, sau nu aveţi o y ori
-
a doua derivată a y.
-
Deci, acest exemplu am scris aici, aceasta este un al doilea ordin
-
Ecuație liniară, pentru că tu ai a doua derivată,
-
derivate prima, şi y, dar acestea nu sunt înmulţit cu
-
funcţia sau derivate.
-
Acum, dacă această ecuaţie au fost - dacă l-am rescris ca x d pătrat,
-
este a doua derivată a y în x pătrat,
-
egal cu sine x, şi să spunem că am fost să pătrat acest lucru.
-
Acum, toate brusc, am o non-liniară
-
ecuație diferențială.
-
Acest lucru este non-linear.
-
Acest lucru este liniară.
-
Deoarece am pătrat, am înmulţit al doilea
-
derivat de y cu respect--am înmulţit-l ori în sine.
-
Un alt exemplu o ecuație liniară este dacă am
-
y ori a scris a doua derivată a y cu respect
-
x este egal cu sinusul x.
-
Acest lucru este, de asemenea, non-liniară, deoarece am înmulţit
-
funcţia ori sa doua derivată.
-
Observa aici, a făcut să se multiplice chestii ori a doua
-
derivate, dar a fost independentă variabilă x care am
-
înmulţit.
-
Dar oricum, Ive a alerga afară de timp, şi, sperăm, care oferă
-
un bun cel puţin ancheta a ceea ce o
-
ecuație diferențială este.
-
În pagina următoare, vom începe de fapt rezolvarea ei.
-
ne vedem curând
