-
-
Bem-vindo a este vídeo primeiro, e na verdade o primeiro vídeo
-
na playlist em equações diferenciais.
-
Eu sei que eu falei sobre isso antes, quando fizemos movimento
-
harmonico, e eu acho que eu poderia ter tocado
-
sobre ela em outros assuntos.
-
Mas agora, por causa de seus pedidos, faremos uma playlist
-
completa sobre este assunto.
-
E isso é uma coisa bastante útil, porque equações
-
diferenciais é algo que aparece em um conjunto de
-
campos diferentes.
-
Tenho sido solicitado por alguém que está começando um programa de PhD
-
em economia para fazer isso, eu tenho sido solicitado por algumas pessoas
-
que estão indo para a física, a algumas pessoas que estão indo para
-
engenharia.
-
Então é uma área amplamente aplicável de estudo.
-
Então vamos começar, antes de eu continuar com
-
coisas inúteis.
-
Assim, as equações diferenciais.
-
Assim, a primeira pergunta é: o que é uma equação diferencial?
-
Você sabe o que é uma equação.
-
O que é uma equação diferencial?
-
Bem, uma equação diferencial é uma equação que envolve
-
uma função desconhecida e seus derivados.
-
Então o que quero dizer com isso?
-
Bem, digamos que eu disse que y-linha mais y é igual
-
x mais 3.
-
Aqui, a função desconhecida é y.
-
Poderíamos ter escrito como y de x, ou que poderia ter escrito
-
isso como dy dx, a derivada de y em relação a x mais
-
esta função desconhecida y, é igual a mais 3.
-
Também poderia ter escrito f linha de x mais f de x é
-
igual a mais 3.
-
Todas estas teriam sido formas válidas de escrever esta
-
equação diferencial.
-
E o que é interessante aqui, e como esta é uma partida
-
a partir do que aprendemos antes sobre equações regulares,
-
é que - deixe-me escrever uma equação regulares apenas para
-
lembrá-lo como elas se parecem.
-
Assim, uma equação regular, se tivéssemos uma variável, ficaria
-
algo como isto.
-
Eu não sei, x ao quadrado mais o cosseno de x é igual a
-
a raiz quadrada de x.
-
Eu só fiz isso.
-
Aqui, a solução é um número, ou às vezes é uma
-
Série de números
-
Às vezes há mais de um, certo?
-
Se você tiver um polinômio, você poderia ter mais de um
-
valor de x que satisfaz essa equação.
-
Aqui, em uma equação diferencial, a
-
solução é uma função.
-
Nosso objetivo é descobrir qual a função de x, e aqui eu
-
escrevi f de x explicitamente, mas que função de x explicitamente
-
satisfaz esta relação ou essa equação.
-
Então deixe-me mostrar o que quero dizer com isso.
-
E eu tenho o meu livro de equações diferenciais da faculdade,
-
então eu vou usar ele durante nossa jornada.
-
Então, digamos que - Eu só estou escrevendo agora.
-
Veja, eles têm isso como uma equação diferencial.
-
E eu não mostrarei-lhes, necessariamente, como resolvê-la
-
ainda, porque temos que aprender alguns truques em primeiro lugar. Mas eu
-
acho que um bom lugar para começar é só você entender o que é uma
-
equação diferencial, assim você não se confunde com
-
a equação tradicional.
-
Então, eles têm esse derivativo
-
y-linha-linha
-
Assim, a segunda derivada de y em relação a x, mais 2
-
vezes o primeiro derivado de y com respeito a x, y menos 3y
-
é igual a 0.
-
E eles nos dão as soluções aqui, e o que eles querem de nós
-
é mostrarmos que estas são soluções.
-
E eu acho que este é um bom lugar para apenas, pelo menos,
-
entender o que é uma equação diferencial, o que sua
-
solução significa.
-
Então eles dizem y1 de x é igual a e elevado a menos 3x.
-
Então, eles afirmam que esta é uma solução desta
-
equação diferencial.
-
Então deixe-me mostrar a você que isso é.
-
Bem, se isto é assim. y1, o que é y - bem, vamos
-
me basta escrever y1.
-
O que é y1-linha?
-
Qual é a derivada desta parte?
-
Bem, basta fazer a regra da cadeia.
-
A derivada de toda a função, com relação a esta
-
parte dela, é apenas e ao menos 3x.
-
E então você toma a derivada do interior.
-
Então, isso é apenas o derivado do lado de fora, e
-
ao menos 3x.
-
E a derivada do interior é menos 3.
-
E a segunda derivada de y1 é igual a - vamos
-
tomar a derivada desta, e que é apenas igual a mais
-
9 - menos 3 vezes menos 3 - e ao menos 3x.
-
Agora, vamos verificar que se substituirmos y1 e seus
-
derivados de volta para esta equação diferencial, que
-
se confirma como verdade.
-
Então y-linha-linha, que é isso.
-
Então, nós temos nove e ao menos 3x, além de 2y-linha.
-
Mais 2 vezes y-linha.
-
Bem, isto é y-linha.
-
Assim, duas vezes menos 3 e ao menos 3x mais - oh desculpe,
-
menos - três vezes y.
-
Bem, y é isso.
-
Assim, e menos 3 vezes e ao menos 3x.
-
Bem, o que significa que são iguais?
-
Ficamos com 9 e ao menos 3x, menos 6 e 3x ao menos,
-
menos e 3 para o 3x menos.
-
Bem, o que significa que são iguais?
-
Temos 9 de algo menos 6 dos
-
algo menos 3 de algo.
-
De modo que apenas é igual a 0.
-
Não importa o que de 0.
-
De modo que é igual a 0.
-
Assim, verificou-se que para esta função, por y1 é igual e
-
ao menos 3x, satisfaz esta equação diferencial.
-
Agora há algo interessante aqui, e você
-
tocou nesse o assunto com equações regular, é que
-
isso pode não ser a única solução.
-
Na verdade nós vamos aprender, talvez em um vídeo ou dois, que muitas vezes a
-
solução não é apenas uma função.
-
Poderia ser uma classe de funções onde normalmente
-
elas são todas do mesmo tipo de função, mas você tem um
-
diferença de constantes.
-
Mas eu vou lhe mostrar isso em um segundo.
-
Mas aqui, eles realmente nos mostram que há uma outra
-
solução, que isso irá realmente trabalhar com, poderíamos
-
tente o y2 equação de x é igual a, bem, apenas
-
e simples para o x.
-
E pudemos verificar que, certo?
-
Qual é a primeira e segunda derivadas de e para o x?
-
Bem, eles são apenas e ao x.
-
Assim, a segunda derivada de y2 é apenas e ao mais 2 x
-
vezes a primeira derivada é o quê?
-
Bem, a primeira derivada de e para o x e ainda está à x,
-
2 e à x, menos 3 vezes por função.
-
3e menos para o x.
-
Bem, 1 mais 2 menos 3, bem que é igual a 0 novamente.
-
Portanto, esta também foi uma solução para esta equação diferencial.
-
Agora, antes de prosseguir, na próxima eu vou mostrar-lhe algumas
-
diferencial bastante simples
-
equações para resolver.
-
Eu acho que é um bom momento agora, agora que você espera ter um
-
compreensão do que uma equação diferencial é, e quais as suas
-
solução é.
-
E seu número não é uma solução, sua solução é um
-
função, ou um conjunto de funções,
-
ou uma classe de funções.
-
É um bom momento para simplesmente passar por cima um pouco de
-
terminologia.
-
Portanto, há duas classificações grande.
-
Bem, na verdade, há um grande problema em primeiro lugar, ordinárias e parciais
-
equações diferenciais.
-
Eu acho que você já deve ter adivinhado o que isso significa.
-
Uma equação diferencial ordinária é o que eu escrevi.
-
É uma variável em relação a outra variável, ou um
-
função em relação a você, digamos, x e seus derivados.
-
Equações diferenciais parciais vamos entrar mais tarde.
-
Isso é mais complicado.
-
Que é quando uma função pode ser uma função de
-
mais de uma variável.
-
E você pode ter a derivada com respeito a x,
-
e y, e z.
-
Nós não vamos preocupar com isso agora.
-
Se as suas funções e seus derivados são uma função de
-
apenas uma variável, então estamos lidando com um simples
-
equação diferencial.
-
Isso é o que essa lista vai tratar, ordinária
-
equações diferenciais.
-
Agora dentro de equações diferenciais ordinárias,
-
há duas formas de classificar e
-
que tipo de sobreposição.
-
Você tem o seu fim, então o que é o fim da minha
-
equação diferencial?
-
E então você tem essa noção de se é linear ou
-
não-linear.
-
E eu acho que a melhor maneira de descobrir isso é só para
-
escreva exemplos.
-
Então deixe-me escrever um.
-
E eu estou recebendo este da minha faculdade
-
equações diferenciais livro.
-
x ao quadrado vezes a segunda derivada de y em relação
-
para x, x vezes mais o primeiro derivado de y em relação
-
de x, além de 2a é igual ao seno de x.
-
Assim, a primeira pergunta aqui é: qual é a ordem?
-
Toda a ordem é é a mais alta derivada que existe
-
na sua equação.
-
A maior derivada da função
-
em questão, certo?
-
A solução deste vai ser ay de x, que satisfaz
-
esta equação.
-
E a ordem é a mais alta derivada da função.
-
Bem, a maior derivada aqui é a segunda derivada.
-
Portanto, este tem 2 ordem.
-
-
Ou como você poderia chamar isso, uma segunda ordem ordinária
-
equação diferencial.
-
Agora a segunda coisa que temos de descobrir: é este linear
-
ou isso é uma equação diferencial não-linear?
-
Assim, uma equação diferencial é linear se todas as funções
-
e seus derivados são essencialmente, assim por falta de
-
uma palavra melhor, linear.
-
O que quero dizer com isso?
-
Quer dizer que você não tem um y quadrado, ou você não tem um
-
dy/dx ao quadrado, ou você não tem um y vezes a
-
derivada segunda de y.
-
Portanto, este exemplo, eu só escrevi aqui, esta é uma equação linear
-
de segunda ordem, porque você tem a segunda derivada,
-
a primeira derivada, e y, mas eles não são multiplicados por
-
a função ou os derivados.
-
Agora, se essa equação for - se eu reescrevesse ela como x d ao quadrado,
-
a segunda derivada de y com respeito a x ao quadrado, é
-
igual ao seno de x, e digamos que eu fosse para esta praça.
-
Agora, de repente, eu tenho uma equação diferencial
-
não-linear.
-
Isso é não-linear.
-
Este é linear.
-
Porque eu elevei ao quadrado, eu multipliquei a segunda
-
derivada de y com respeito - Eu multiplicado vezes em si.
-
Outro exemplo de uma equação não-linear é se eu
-
escrevi y vezes a segunda derivada de y em relação
-
de x é igual ao seno de x.
-
Este também é não-linear, porque eu multiplico a função
-
vezes a sua derivada segunda.
-
Observe aqui, eu multipliquei coisas vezes o segundo
-
derivado, mas foi a variável independente x que eu tinha
-
multiplicado.
-
Mas de qualquer maneira, eu estou sem tempo, e espero que isso de a
-
você, pelo menos, um levantamento do que é uma
-
equação diferencial é.
-
No vídeo seguinte, vamos começar realmente resolvê-los.
-
Ate mais tarde.
-
