Wprowadzenie do równań różniczkowych.

Czym jest równanie rózniczkowe i terminologia. W tłumaczeniu starałem się zachować spójność logiczną wykładu.

Witam w kolejnym filmiku, a właściwie

w pierwszym z serii równań różniczkowych.

Uczyłem tego już wcześniej kiedy analizowaliśmy ruch

harmoniczny i myślę że wykorzystywałem też równania różniczkowe

w innych przedmiotach.

Ze względu na waszą prośbę, zrobię jeszcze raz calą,

listę związaną z tym tematem.

Równania różniczkowe to bardzo przydatna rzecz, ponieważ

pojawiają się w całej gamie różnych

dziedzin.

Zostałem poproszony przez kogoś kto właśnie zaczyna doctorat z ekonomii,

żeby zrobić wprowadzenie do nich.

Przyda się wam to również w dziedzinie takiej jak fizyka,

czy też inżynieria.

Więc równania te wykorzystuje się w wielu dziedzinach nauki.

Więc zacznijmy...

Zanim zacznę zbaczać na manowce.

A więc RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

Pytanie brzmi, czym tak naprawdę są te równania różniczkowe?

Wiecie czym są równania.

Ale czym są równania różniczkowe?

Równanie różniczkowe to równanie, które zawiera

pochodną niewiadomej funkcji

Co przez to rozumieć?

Powiedzmy że, y prim plus y jest równe

x plus 3

Tutaj, naszą niewiadomą funkcją jest y.

Możemy to zapisać jako funkcje y od x, albo

dy dx jako pochodną funkcji y po dx plus

ta niewiadoma funkcja jest równe x plus 3

Ale również możemy zapisać jako pochodna funkcji od x plus funkcja f od x,

równa x plus 3.

Wszystkie te sposoby zapisu

są równoznaczne i przedstawiają to samo równanie różniczkowe.

Ale co interesujące,czym różni się to równanie

od wcześniej poznanych równań tradycyjnych?

Napiszmy normalne równanie żeby

przypomnieć wam jak ono wygląda.

Więc, jeżeli mamy jedną niewiadomą to jest to

coś takiego.

Powiedzmy, x do kwadratu plus cosinus x równa się

pierwiastek z x.

Tak sobie wymysliłem.

Rozwiązaniem jest liczba, albo

zbiór liczb.

Czasami jest więcej niż jedno, czyż nie?

Mając wielomian, możemy więc więcej niż jedno rozwiązanie,

tego równania.

Tutaj, dla równania różniczkowego

rozwiązaniem jest funkcja.

Naszym celem jest znaleźć tę funkcję. Tutaj,

napisałem f prim od x, ale pytanie jest jaka funkcja f od x

będzie rozwiązaniem tego równania.

Pozwólcie mi pokazać co mam na myśli.

Mam książkę z równaniami różniczkowymi ze studiów,

z której zamierzam korzystać robiąc ten wyklad.

Więc, powiedzmy...

W książce mają to jako równanie różniczkowe.

Nie zamierzam jeszcze pokazać wam jak je rozwiązać

ponieważ najpierw musimy się nauczyć paru sztuczek.

Myślę, ze to jest dobry punkt startowy, żeby zrozumieć

czym jest równanie różniczkowe. Nie pomylicie ich wtedy

z normalnymi równaniami.

Wiec, w ksiażce jest to równanie różniczkowe:

y prim prim

czyli druga pochodna y od x plus 2 razy

pierwsza pochodna y od x minus 3y

równa się 0.

Dają nam rozwiązanie i chcą żebyśmy pokazali,

że ta funkcja jest rozwiązaniem.

Myślę, że to jest5 dobry moment, żeby chociaż

zrozumieć czym jest równanie różniczkowe

i co jego rozwiązanie znaczy.

Więc mowią, że y1 od x jest równy e do potęgi minus 3x.

Mowią nam, że to jest rozwiązanie do

tego równania różniczkowego.

Wiec pozwólcie mi pokazać, że to prawda.

Napiszmy...

y1 prim

Czym jest y1 prime?

Co jest pochodną od y?

Musimy znaleść pochodna funkcji zlożonej.

Pochodną calej funkcji od minus 3x

jest e do potęgi minus 3x.

Teraz mnożysz to przez pochodną funkcji wewnętrnej.

To jest tylko pochodna funkcji zewnętrznej

e do potęgi minus 3x.

Pochodna funkcji wewnętrznej to minus 3.

Druga pochodna y1 jest równa...

weź pochodną tego i to jest równe

plus 9 e do potęgi minus 3x.

Teraz, zweryfikujmy, że jeżeli podstawimy funkcje y1

i jej pochodne do naszego równania różniczkowego to otrzymane

równanie będzie prawdziwe.

Y prim prim to jest to,

więc mamy 9 e do potęgi minus 3x plus 2y prim

plus 2y prim

To jest y prim.

2 razy minus 3 e do potęgi minus 3x

minus 3 y.

Y to jest to,

więc mamy 3 razy e do potęgi minus 3x.

Czemu to się równa?

Mamy 9 e do potęgi minus 3x, minus 6 e do potęgi minus 3x,

minus 3 do potęgi minus 3x.

Czemu to się równa?

Mamy 9 razy cos, minus 6 razy to samo,

minus 3 razy to samo.

To się równa 0.

Nie ma znaczenia...

To się równa 0.

Zweryfikowaliśmy więc, że funkcja y1 e do potęgi minus 3x

jest rozwiązaniem naszego równania różniczkowego.

Interesujące jest,

że...

to może nie jest jedyne rozwiązanie.

Wkrótce nauczymy się, może w następnych dwóch wykładach, że

rozwiązaniem jest nie tylko jedna funkcja.

Rozwiązaniem może by cała rodzina funkcji

podobnych do siebie, ale różniących się

stalą.

Pokażę wam to za sekundę.

Tutaj, pokazuja nam, że jest jeszcze inna funkcja,

ktora jest rozwiązaniem równania.

Spróbujmy y2 od x równe

e do potęgi x.

Moglibyśmy to zweryfikować, czyż nie?

Jaka jest pierwsza i druga pochodna od e do potęgi x?

Po prostu e do potęgi x.

Druga pochodna od y2 to po prostu e do potęgi 2 plus

2 razy pierwsza pochodna.

Pierwsza pochodna of e do potęgi x is e do potęgi x,

plus 2 e do potęgi x, minus 3 razy funkcja y2

czyli minus 3 do potęgi x.

1 plus 2 minus 3 znowu równa się 0.

Więc ta funkcja także jest rozwiązaniem naszego równania różniczkowego.

Teraz, zanim się zaglębimy w temat, pokaże wam

kilka prostych równań różniczkowych

do rozwiązania.

Myślę, że to dobry czas na to, po tym jak mam nadzieję,

że zaczynacie rozumieć czym jest równanie różniczkowe

i jego rozwiązanie.

Rozwiązaniem nie jest liczba, a fukcja,

grupa funkcji

albo rodzina funkcji.

Teraz jest dobry moment, żeby zapoznać się

z terminologią.

Są dwie duże klasyfikacje.

Wlaściwie pierwsza duża zawierająca zwyczajne i cząstkowe

równania różniczkowe.

Myślę, że wiecie co to znaczy.

To jest równanie różniczkowe zwyczajne.

Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie zawierające zmienną niezależną x,

nieznaną funkcję y oraz jej pochodne.

Równaniami różniczkowymi cząstkowymi zajmiemy się później.

Są bardziej skomplikowane.

Funkcja w nich może być funkcją więcej niż jednej

zmiennej niezależnej i

mogą występować pochodne

od x, y i z.

NIe będziemy się teraz nimi przejmować.

Jeżeli twoje funkcje i ich pochodne są funkcjami

tylko jednej zmiennej, to mamy wtedy do czynienia

z równaniem różniczkowym zwyczajnym.

To jest to czego ta playlista będzie dotyczyć,

równań różniczkowych zwyczajnych.

W równaniach różniczkowych zwyczajnych,

są dwa sposoby klasyfikacji, ktore

zachodzą na siebie.

Mamy rząd, więc czym jest rząd

naszego równania różniczkowego?

Mamy też podzial na liniowe

i nieliniowe równania.

Najlepiej można się nauczyć tych klasyfikacji

z przykladów.

Pozwólcie mi napisać jeden.

Biorę ten przyklad z mojej ksiażki

ze studiów o równaniach różniczkowych.

x do kwadratu razy druga pochodna od y po x,

plus x razy pierwsza pochodna od y po x,

plus 2y jest równe sinus x.

Pierwsze pytanie jest: Jaki jest rząd?

Rządem równania rózniczkowego jest najwyższa pochodna

w tym równaniu.

Najwyższa pochodna w naszym

równaniu.

Rozwiązaniem naszego równania będzie funkcja y od x,

ktora spelnia to równanie.

Rządem równania jest najwyższa pochodna tej funkcji.

Dobrze, najwyzsza pochodna jest tutaj druga pochodna,

więc nasze równanie jest rządu drugiego,

albo równaniem różniczkowym zwyczajnym

drugiego rządu.

Teraz, drugą rzeczą jaką musimy wywnioskowac jest

czy to jest równanie liniowe czy nieliniowe?

Równanie różniczkowe jest liniowe jeżeli wszystkie funkcje

i ich pochodne są...

liniowe:)

Co mam przez to na myśli?

Mam na myśli, że nie ma y podniesionego do kwadratu,

nie ma dy po dx do kwadratu albo nie ma

y razy druga pochodna.

W tym przykładzie, który podałem, mamy drugi rząd,

równanie liniowe, ponieważ mamy drugą pochodną,

pierwszą pochodną, y i nie są one pomnożone przez

funkcje albo jej pochodne.

Teraz, gdyby w tym równaniu napisać x do kwadratu,

druga pochodna of y po x do kwadratu

jest równe sinus x i podnieść to do kwadratu.

Nagle mamy...

nieliniowe równanie różniczkowe

To jest nieliniowe.

A to jest liniowe.

Ponieważ podniosłem do kwadratu

drugą pochodną od y po x.

Następnym przykładem nieliniowego równania jest

y pomnożone przez drugą pochodną od y po x

równe sinus x.

To też jest nieliniowe ponieważ pomnożylem

funkcje prze jej drugą pochodną.

Zauważ, żę pomnożylem tutaj przez drugą pochodną

ale to była zmienna niezależna x,

którą pomnożylem.

No, ale nasz czas uplynął, mam nadzieję, że dałem

wam przynajmniej wgląd w to, czym

jest równanie różniczkowe.

W następnym video, zaczniemy je rozwiązywać.

Do zobaczenia wkrótce.