Introductie van differntiaalvergelijkingen

Wat is een differentiaalvergelijking en wat terminologie.

Welkom bij deze eerste video, de eerste video

in de playlist over differentiaalvergelijkingen.

Ik weet dat we dit aangestipt hebben bij harmonische

bewegingm en ik denk dat ik het heb aangestipt

bij andere onderwerpen.

Maar nu, op verzoek, gaan we een hele

afspeellijst hier aan wijden.

Dat is goed bruikbaar, want differentiaal-

vergelijkingen zie je in een groot aantal

verschillende gebieden terug.

Iemand die aan een studie economie begint

vroeg me om dit te doen, sommige mensen

die natuurkunde gaan doen vroegen me dit

en sommigen die in de bouwkunde gaan.

Het is dus een breed studiegebied.

Dus laten we beginnen, voordat ik doorga over

onzinnige dingen.

Differentiaalvergelijkingen dus

De eerste vraag is: wat is een differentiaalvergelijking?

Je weet wat een vergelijking is,

Wat is een differentiaalvergelijking?

Een differentiaalvergelijking is een vergelijking waarbij

een onbekende functie en zijn afleidingen betrokken zijn.

Wat bedoel ik daarmee?

Nou, laten we zeggen dat y accent plus y gelijk is

aan x plus 3.

De onbekende functie hier is y.

We hadden het kunnen schrijven als y of x, of we hadden dit kunnen schrijven

als dy dx, de afleiding van y rekening houdend met x plus

deze onbekende functie y is gelijk aan x plus 3.

We hadden ook kunnen schrijven f accent van x plus f van x

is gelijk aan x plus 3.

Dit zijn allemaal geldige schrijfwijzen om

precies dezelfde differentiaalvergelijking te schrijven.

En dat is interessant, hoe is dit een vetrekpunt

van wat we eerder geleerd hebben over gewone vergelijkingen

Laat me een normale vergelijking noteren

om je eraan te herinneren hoe dat eruitziet.

Een normale vergelijking, als we één variabele hebben,

zou er ongeveer zo uit zien.

x kwadraat plus de cosinus van x is gelijk aan

de wortel van x.

Dat heb ik net verzonnen.

De oplossing hier is een cijfer, of soms een

stel cijfers.

Soms is er meer dan één, toch?

Als je een polynoom hebt, kan je meerdere

waarden van x hebben die de vergelijking oplossen.

Op deze plek, voor een differentaalvergelijking,

is de oplossing een functie.

Ons doel is om uit te zoeken welke functie van x

en hier heb ik expliciet f van x geschreven, maar welke functie van x

lost expliciet deze relatie op voor deze vergelijking.

Ik laat je zien wat ik daarmee bedoel.

En ik heb mijn differentaalvergelijkingenboek van de middelbare school,

dus dat ga ik onderweg gebruiken,

Dus laten we zeggen dat--ik schrijf even

Kijk, ze hebben dit als differntiaal vergelijking,

En ik ga je nog niet laten zien hoe je ze op moet lossen,

want we moeten eerst een paar trucs leren.

Ik denk dat een goed vertrekpunt is dat je begrijpt wat een

differentiaalvergelijking is, zodat je niet in de war raakt met

de traditionele vergelijking.

Dus, ze hebben deze differentiaal

y accent accent

Dus de tweede afgeleide van y naar x

plus twee keer de eerste ageleide van y naar x

min 3 y is gelijk aan 0.

En ze geven ons de oplossingen hier, en wat ze willen

dat wij doen is laten zien dat dit oplossingen zijn.

Ik denk dat dit een goede plek is om tenminste te

begrijpen wat een differentiaalvergelijking is,

en wat de oplossing betekent,

Dus ze zeggen y1 van x is gelijk aan e tot de macht -3x.

Dus ze claimen dat dit een oplossing is

van deze differentiaalvergelijking.

Ik laat je zien wat dat is,

y1, tja laat me

y1 opschrijven.

Wat is y1 accent?

Wat is de afgeleide hiervan?

Nou, volg gewoon de kettingregel.

De afgeleide van de hele functie

is alleen e tot de macht min 3x,

En dan neem je de afgeleide van het binnenste.

Dus dat is alleen de afgeleide van het buitenste

e to de macht -3x.

En de afgeleide van het binnenste is min 3.

En de tweede afgeleide van y1 is gelijk aan

--we nemen alleen de afgeleide hiervan, en dat is gelijk aan 9--

min 3 keer min 3 e tot de macht 3x.

Laten we nu controleren dat als we y1 substitueren en zijn

afgeleiden terug herleiden naar de differentiaalvergelijking,

dat het klopt.

Dus y accent accent, dat is deze.

Dus we krijgen negen e tot de macht 3x, plus 2y accent.

Plus twee keer y accent.

Dit is y accent.

Dus twee keer min 3e tot de macht min 3x

plus--oh, sorry,min-- drie keer y.

Nou, y is dit.

Dus min 3 keer e tot de macht -3x,

Nou, waar is dat aan gelijk?

We krijgen 9 e tot de macht 3x, min 6e tot de macht min 3 x,

min 3e tot de macht 3x.

Nou, waar is dat gelijk aan?

We hebben 9 keer iets

min 6 keer iets, min 3 keer iets.

Dus dat is gelijk aan 0.

Maakt niks uit van nul wat dan ook.

Dus dat is gelijk aan 0.

Dus we hebben gecontroleerd dat voor deze functie, voor y1 dat gelijk is aan

e tot de macht min 3x, de differentiaalvergelijking klopt.

Nu is er hier iets interessants, en dat hebben we

enigszins aangestipt bij normale vergelijkingen,

dat dit mogelijk niet de enige oplossing is,

We zullen leren, misschien in een stuk of twee video's. dat

de oplossing vaak niet alleen een functie is.

Het kan een klasse van functies zijn waar ze gewoonlijk

allemaal ongeveer dezelfde functie zijn, maar er een

verschil in constantes is,

Maar dat laat ik je straks zien,

Maar hier laten ze ons zien dat er een andere

oplossing is, dat gaat werken met,

we kunnen de vergelijking proberen y2 van x is gelijk aan

simpel e tot de macht x.

En dat zouden we kunnen controleren, toch?

Wat is de eerste en de tweede afgeleide van e tot de macht x?

Nou, ze zijn e tot de macht x.

Dus de tweede afgeleide van y2 is e tot de macht x

plus 2 keer de eerste afgeleide is wat?

Nou, de eerste afgeleide van e tot de macht x is nog steeds e tot de macht x,

2 e tot de macht x, min 3 keer een functie.

min 3e tot de macht x.

Nou, 1 plus 2 min 3, nou dat is weer gelijk aan 0.

Dus dit was ook een oplossing voor deze differentiaalvergelijking.

Voordat we doorgaan, laat ik je in de volgende show

een paar eenvoudige differentiaal-

vergelijkingen zien om op te lossen.

Ik denk dat dit een goed moment is, nu je hopelijk

een idee hebt wat een differentiaalvergelijking is,

en wat de oplossing is,

En de oplossing ervan is geen cijfer, de oplossing is

een functie, of een set van functies,

of een klasse van functies,

Het is tijd om een beetje terminologie

door te nemen.

Dus, er zijn twee grote classificaties,

Nou ja, er is een grote eerste, normale en gedeeltelijke

differentiaalvergelijkingen.

Ik denk dat je al geraden hebt wat dat betekent,

Een normale differentiaalvergelijking is wat ik heb opgeschreven.

Het bevat één variabele met een ander, of

een functie met, zeg x en zijn afgeleiden.

Gedeeltelijke differentiaalvergelijkingen zullen we later oppakken.

Dat is ingewikkelder.

Dat is wanneer een functie een functie kan zijn

van meer dan één variabele.

En dan kan je de afgeleide hebben tot x,

en y, en z.

Maar daar maken we ons nu nog geen zorgen over,

Als je functies en hun afgeleiden een functie zijn

van maar één variabele, hebben we te maken met een

normale differentiaalvergelijking.

Dat is waar deze afspeellijst over gaat,

gewone differentiaalvergelijkingen.

Nu heb je binnen de normale differentiaalvergelijkingen,

twee manieren van classificeren,

en ze overlappen enigszins.

Je hebt de orde, dus wat is de orde van mijn

differentiaalvergelijking?

En dan heb je nog het begrip of het lineair

of non-lineair is.

En ik denk dat de beste manier om dit uit te zoeken

gewoon een aantal voorbeelden opschrijven is.

Dus laat ik er een opschrijven.

En ik haal dit uit mijn middelbare school

diferentiaalvergelijkingen boek.

x kwadraat maal de tweede afgeleide van y tot x

plus x maal de eerste afgeleide van y tot x

plus 2y is gelijk aan de sinus van x.

Dus de eerste vraag is: wat is de orde?

De orde zit in de hoogste afgeleide die in

je vergelijking bestaat.

De hoogste afgeleide van de functie

waar het over gaat, toch?

De oplossing hiervan wordt een y tot x die

deze vergelijking oplost.

En de orde is de hoogste afgeleide van die functie.

Nou, de hoogste afgeleide hier is de tweede afgeleide.

Dus deze heeft orde 2.

Of, je zou het een "gewone" differentiaalvergelijking

van de tweede orde kunnen noemen.

Het tweede ding dat we moeten uitzoeken: is dit een lineaire

of een non-lineaire differentiaalvergelijking?

Een differentiaalvergelijking is dus lineair als alle functies

en hun afgeleiden in essentie, nou ja,

bij gebrek aan een beter woord, lineair zijn.

Wat bedoel ik daarmee?

Ik bedoel je hebt geen y kwadraat,

of je hebt geen dy over dx kwadraat,

of je hebt geen y maal de tweede afgeleide van y.

Dus dit voorbeeld dat ik hier heb opgeschreven,

dit is een tweede orde, lineaire vergelijking, want je hebt de tweede afgeleide,

de eerste afgeleide, en y, maar ze worden niet vermenigvuldigd

met de functie van de afgeleiden.

Als nou de vergelijking --- als ik het zou herschrijven als x kwadraat, d

de tweede afgeleide van y tot x kwadraat,

is gelijk aan de sinus van x, en laten we zeggen dat ik hier een kwadraat van maak.

Nu heb ik plotseling een non-lineaire

differentiaalvergelijking.

Dit is non-linair.

Dit is lineair.

Omdat ik gekwadrateerd heb, heb ik de tweede

afgeleide van y vermenigvuldigd, ik heb het vermenigvuldigd met zichzelf.

Een ander voorbeeld van een non-lineaire vergelijking is

als ik zou schrijven: y maal de tweede afgeleide van y tot x

is gelijk aan de sinus van x.

Dit is ook nonlinair, omdat ik de functie heb vermenigvuldigd

met zijn tweede afgeleide.

Let op, ik heb vermenigvuldigd "iets" maal de tweede afgeleide

maar het was de onafhankelijke variabele x

die ik heb vermenigvuldigd.

Maar hoe dan ook, de tijd is op, en hopelijk geeft het je

een goed idee over wat een

differentiaalvergelijking is.

In de volgende video, gaan we beginnen met daadwerkelijk oplossen.

Tot gauw