미분방정식에 대한 소개

미분방정식이란 무엇인가, 그리고 몇가지 용어들

첫번째 비디오를 시작하신 것을 환영합니다.
실제로 이 비디오는 미분방정식 과목의

첫번째 비디오입니다

미분방정식은 "조화운동(harmonic motion)"을

배울때도 잠깐 이야기했었고

그 외에도 여러번 이야기 했던 것 같네요

어쨌든 지금, 여러분들의 요청에 의해,

우리는 미분방정식을 본격적으로 시작할 예정입니다

그리고 사실 미분방정식은 완전히 다른 분야들에서도

등장하는 그런 수학이기 때문에 배워놓으면

분명히 큰 도움이 될거에요

경제학 박사과정을 시작하는 사람도,

물리를 배우려는 사람도,

공학을 배우려는 사람도, 나한테 이 과목을

부탁했답니다

즉 다양하게 쓰이는 학문이라는 뜻이죠

이제 쓸데없는 이야기는 그만하고

시작할께요

미분방정식

첫번째 질문은: 미분방정식이란 무엇일까요?

여러분은 방정식이 무언지는 알겁니다

그러면 미분 방정식은 뭘까요?

미분방정식이란, 모르는 함수와 그 함수의 미분들을

항으로 가지고 있는 방정식입니다.

그게 무슨 말일까요?

자, y'+y=

x+3

여기, 우리가 모르는 함수 y 가 있습니다

이 식은 이렇게 변수 x 와 함수 y 로 쓸수도 있고

첫번째 항을 y 를 x 로 미분한 dy/dx 에

함수 y 를 더한 결과가 x+3 이라고 쓸수도 있죠

또 함수를 f(x) 형태로 써서 f'(x) 에 f(x) 를 더한 것이

x+3 과 같다고 할 수도 있습니다

이 모든 방법들이 다 정확히 똑같은 미분방정식을

서로 다르게 표현한 겁니다

흥미로운 점은, 이런 미분방정식의 출발이

우리가 방정식을 처음 배울때와 정확하게 같다는 점이에요

여기, 여러분들이 기억하도록 방정식을 하나

써보겠습니다

변수가 하나인 일반적인 방정식은 이렇게

쓸 수가 있어요

x 제곱 더하기 코사인 x 가

x 의 근과 같다고 해보죠

방금 만든 식이에요

이 식의 해는 어떤 숫자, 또는 숫자들의

집합일 거에요

답이 하나 이상일수도 있으니까요

다항식의 경우, 그 식을 만족하는 x 는

하나 이상이죠

여기 미분방정식에서는

해가 함수인거에요

따라서 우리의 목표는 어떤 함수가

여기 f(x) 라고 썼으니까, 어떤 f(x) 가

이 관계를, 또는 이 식을 만족하느냐를 찾는 것이죠

내가 무슨말을 하는지 보여줄께요

마침 내가 대학때 배운 미분방정식책이 있으니

그걸 그대로 사용하려고 해요

자 - 나는 그냥 쓰고 있어요

그 책에 이 식이 미분방정식의 예로 나와 있어요

이걸 어떻게 푸는지를 여러분에게 보여줄 필요는 아직 없지만,

왜냐하면, 그 전에 요령(trick)을 좀 배워야 하거든요

그래도 이걸 풀어보면 미분방정식이란게 무엇인지

알 수 있는 좋은 시작점이에요. 그리고 그냥 방정식이랑

혼동하지도 않게 될거구요

자 그책에 나와있는 미분방정식이에요

y''

즉 y 를 x 로 두 번 미분하고

거기에 2 곱하기 y 를 x 로 한 번 미분한 것을 더하고

3y 를 뺀 것을 0 이라고 해보죠

그리고 책에 해가 나와 있는데, 우리보고

그 해가 이 식을 만족함을 보이라고 하는군요

나도 이게 미분방정식과 그 해가 의미하는것이

무엇인지 이해할 수 있는 좋은 예제라고

생각해요

책에는 y1=e^{-3x} 를 해라고 하는 군요

즉 이 함수가 이 미분방정식을 만족한다는

뜻이지요

자 그렇다는 것을 내가 보여줄께요

자 쉬워요, 이렇게, 음

그냥 y1 으로 쓸께요

y1 을 미분하면 어떻게 되지요?

미분하면 어떻게 되나요?

미분의 연쇄법칙을 사용합시다

전체 함수를 저 윗부분을 가지고 미분하면

그대로 e^{-3x} 가 되고

이제 그 윗부분을 미분하면 되지요

전체함수의 미분은

e^{-3x} 구요

윗부분의 미분은 -3 이니 이렇게 되네요

그리고 y1 을 두 번 미분한 함수는

이 함수를 한 번 더 미분하면 되니까

-3 에 -3 을 곱한 결과인 9e^{-3x} 가 되네요

자 y1 과 이 미분들을 원래 식에 넣고

그 식이 만족되는지 한 번

봅시다

y'' 는 여기 있구요

즉 9e^{-3x} + 2y'

+2y'

y' 이 여기 있네요

즉 2 곱하기 3e^{-3x} 더하기, 아 실수

빼기 3y

y 는 여기 있죠

즉 -3e^{-3x}

자 어떻게 되나요?

이제 9e^{-3x} - 6e{-3x} - 3e^{3x}

가 됐네요

어떻게 되나요?

결국 9 - 6 - 3

이군요

그러니까 0 이죠

0 뒤에 곱해지는 건 중요하지 않죠

뭘 곱해도 0 이니까요

자 우리는 이 함수, y1 = e^{-3x} 가

이 미분방정식을 만족한다는 것을 확인했네요

여기서 재미있는 것은,

그리고 여러분이 그냥 방정식에서 배웠듯이

이 해가 유일한 해는 아니라는 거에요

사실 한두 비디오 강의 안에, 미분방정식의 해는

단순히 함수 하나가 아니라는 것을 알게될 거에요

보통 같은 함수에 상수차이만 나는

그런 함수들의 집합이 미분방정식의

해가 되지요

뭐 금방 보여줄 수 있이요

어쨌든 책에 다른 해가 나와 있으니

그리고 그게 실제로 식을 만족하는지

한번 y2 를 시도해보기로 하죠

y2=e^x

확인해 봐요, 알겠죠?

e^x 의 1차 도함수와 2차 도함수가 어떻게 되나요?

물론 e^x 그대로이죠

따라서 y2 의 2차 도함수는 그냥 e^x 이고

여기에 2 곱하기 1차 도함수가 뭐라구요?

1차 도함수도 그냥 e^x 구요

2e^x - 3e^x

-3e^x

자 1 + 2 - 3 은, 다시 0 이네요

따라서 e^x 도 이 미분방정식의 해가 되지요

자 더 진도를 나가기 전에, 아주 당연한

미분방정식을 하나

풀어보겠어요

내 생각에는 바로 지금이 여러분들이 미분방정식이

어떤건지, 그리고 그 해는 어떤건지 알 수 있는 좋은

순간이에요

그 해는 숫자가 아니에요, 미분방정식의 해는

함수, 또는 함수들의 집합이거나,

함수들의 class 입니다

자 이제 용어에 대해 이야기 해

봅시다

크게 두가지로 나눌 수가 있어요

사실, 더 큰 분류가 있긴 한데, 그러니까 상미분 방정식과

편미분 방정식이죠

아마 뭘 이야기하는지 알거에요

상미분 방정식은 여기 내가 써놓은 것들이죠

하나의 변수가 다른 하나의 변수로부터 결정되는 거죠

또는 함수를 x 로만 미분한 경우죠

편미분 방정식은 나중에 다룰거에요

그건 좀 복잡하죠

그러니까 함수가 하나의 변수만을 가지는게 아니라

여러개의 변수를 가지는 거에요

그러니까 x 로 미분한 항도 있고 y 나 z 로 미분한

항도 있는 거죠

그걸 지금 걱정할 필요는 없어요

우리가 가진 함수와 그 미분들이 오직 하나의 변수만을

가진다면, 우리는 상미분방정식을 다루고

있는거에요

그게 이 비디오가 다룰거구요,

상미분 방정식

그래서 상미분방정식 중에도 이를

둘로 나눌 수가 있어요, 사실

약간 겹치기도 하지요

일단 차수 라는용어가 있어요, 즉 이 미분방정식의 차수는

얼마인지,

그리고 이 미분방정식이 선형인지 비선형인지 말할

수가 있지요

물론 이를 이해하는 가장 좋은 방법은 예제들을

보는 거죠

자 여기에 미분방정식 하나를 써볼께요

이것도 내가 대학때 배운 미분방정식 책에

나오는 거에요

x 제곱 곱하기 y 의 x 에 대한 이차미분

더하기 x 곱하기 y 의 x 에 대한 1차 미분

더하기 2y 는 sin x 와 같다

자 첫번째 질문은 차수는 얼마인가 하는거죠

그리고 답은, 그 미분방정식에서 가장 미분을 많이 한 항이

몇 번 했는지를 보는거죠

즉 가장 미분이 많이 된 함수를 묻는 거에요

그렇죠?

그리고 이 미분방정식의 해는 변수x 를 가지는 y 가

되겠죠

그리고 차수는 그 y 가 가장 많이 미분된 횟수구요

이 식에서는 두번 미분된 항이 가장 많이 미분된 항이니

차수는 2가 되는거에요

이 식을 이렇게도 부를 수 있죠 '이차 상미분 방정식'

이라구요

자 이제 또 생각해야 할 것은, 이 식이

선형 미분방정식이냐 비선형 미분방정식이냐 하는 거에요

그러니까 미분방정식의 모든 함수 y 와 그 y 의 미분들이

선형이라면 미분방정식이 선형이 되는 거에요.

.

그게 무슨말이냐 하면,

미분방정식안에 y 의 제곱 또는 dy/dx 의 제곱

또는 y 곱하기 y 의 이차미분과 같은 항이

없는거죠

따라서 내가 여기 쓴 이 식은 이차 선형 상미분 방정식이죠

왜냐하면 y의 이차미분 항이 있고

일차미분, 그리고 y 가 있는데 각각이 서로 곱해져 있지

않으니까요

자 이 식이 만약, 이렇게 다시 쓴다면 x 제곱 곱하기

y의 x 에 대한 2차 미분

이 sin x 와 같다, 그리고 여기 2차 미분을 제곱하죠

그러면 갑자기 이식은 비선형 미분 방정식이 되는

거에요

이게 비선형이죠

이게 선형이구요

제곱을 했기 때문에, 즉 y 의 2차미분에

y 의 2차 미분을 다시 곱한거죠

비선형 방정식의 또다른 예는

y 곱하기 y 의 x 에 대한 2차 미분 이 sin x 와

같다 는 식이죠

이것도 비선형이에요, 왜냐하면 함수 y 에다

y 의 2차 미분을 곱했으니까요

잘 보세요, 여기 2차 미분에 뭔가를 곱했었죠

그런데 여기에 곱해진 건 독립변수인 x

였어요

어쨌든, 이제 시간이 다 됐으니, 지금까지 한 걸로

미분방정식이란게 대충 어떤건지 알게 되었으면

좋겠네요

다음 비디오에는 실제로 미분방정식을 풀어볼거에요

기대해도 좋아요