微分方程式の紹介

微分方程式の紹介とその用語

微分方程式の

1番目のビデオへようこそ。

調和振動についてのビデオや、

他の課題のビデオで

少し触れました。

ここでは、

一連のビデオで紹介します。

微分方程式は、とても便利です。

いろいろな異なった分野で

使用されています。

経済学の大学院の生徒や

物理学の学部生や

エンジニアリングの学生達から
このビデオの作成の依頼がきています。

エンジニアリングの学生達から
このビデオの作成の依頼がきています。

いろいろな分野で必要とされています。

では、とりあえず、

始めましょう。

最初の質問は

微分方程式とはなんでしょう？

方程式を知っていますね。

では、微分方程式はなんでしょう？

微分方程式は、未知の関数とその導関数に関する

等式です。

どう意味でしょう？

例えば、

y’＋y＝x＋３としましょう。

未知の関数はyです。

yを　y（x）と書くことができます。

これは、dy／dx、yのxに関する導関数で、

これらを足したものは、x＋３に等しくなります。

f’（x）＋f（x）＝x＋３とも

書き換えられます。

これらは、同じ微分方程式の

異なった記述です。

ここで、興味深い点は、

通常の等式とは異なります。

ここに通常の等式を書いてみます。

いいですか？

変数が一つの通常の等式は

このようなものです。

x＾２＋cosX＝

√xです。

これは単なる例です。

答えは、ある数値

あるいは、複数の数値です。

複数の答えは存在することもあります。

多項式では、

xを満たす数値が複数存在し得ます。

微分方程式は

答えは関数です。

このxの関数を見つけることが、

答えで、この式を

xで表現できるようにします。

説明します。

大学で使用される微分方程式の本があるので

それを使用しましょう。

ここに書きます。

この微分方程式があるとします。

この解き方はここでは書きません。

これを解くには、まず習っておくことがあります。

ここでは、何が微分方程式かを説明します。

通常の等式と

区別しましょう。

この導関数、

y’’は何でしょうか？

xに関する２次の導関数＋

２（xに関する１次の導関数）−３yは

０に等しいです。

これに、答えが与えられています。

これが答えであることを証明しましょう。

これは、微分方程式を

理解するのに

有効と思います。

y１（x）＝e ＾（ー３x）

これがこの微分方程式の

答えとされています。

これがなんだか見てみましょう。

y１を書き

y１です。

では、y１’は何でしょう？

この導関数です。

ルールに従って行うと

この関数の導関数は、

この部分に対し、e ＾（ー３x）です。

この内部の導関数を取ると

その外側の導関数で

e ＾（ー３x）で、

内部の導関数は−３です。

２次導関数は、

この導関数で、これは

＋９e ＾（ー３x）で、

これらを元の微分方程式にいれ、

これが満たされるか

見てみましょう。

y’’はこれです。

９e ＾（ー３x）＋２y’

２＊y’

これは、y’です。

２＊−３e ＾（ー３x）＋

３＊y

yはこれです。

−３＊e ＾（ー３x）

これは何に等しいですか？

９e ＾（ー３x）−６e ＾（ー３x）ー

−３e ＾（ー３x）

どうなりましょうか？

９で、−６で、

−３です。

これは、０に等しいです。

０で掛けると

０です。

この関数で、満たされます。

y＝e ＾（ー３x）で、この式が満たされます。

ここで、面白いことは、

通常の方程式から見ると、

複数の答えがあり得るでしょう？

以前のビデオで触れたように複数の答えが可能です。

しばしば、答えは関数のみではありません。

関数のクラスであり得ます。

同じ関数で、異なった定数項を

持ち得ます。

いいですか？

では、異なった答えをみて見ましょう。

これは、いいですか？

y２（x）＝xです。

y２（x）＝xです。

証明しましょう。

e ＾xの２次導関数は何ですか？

e ＾xです。

y２の２次導関数はe ＾xで、

それに、２掛ける１次導関数は？

e ＾xの１次導関数は、e ＾x

２e ＾x−３e ＾xは

２e ＾x−３e ＾xは

１＋２−３は０です。

これは、この微分方程式の解です。

次に、

簡単な微分方程式を

解いてみましょう。

微分方程式の意味が分かってきたと

思います。

いいですか？

微分方程式の答えは数値ではなく

関数、または複数の関数です。

関数、または複数の関数です。

すこし、用語について

説明します。

２つのクラスがあります。

常微分方程式と

偏微分方程式があります。

この意味が分かりますか？

常微分方程式はここに書かれたものです。

ある変数が他の１つの変数に依存します。

または、xについてのその導関数です。

偏微分方程式は、より複雑で

後で説明します。

これは、関数が

１つ以上の変数の関数の場合です。

xとyとzについての導関数が

あり得る場合です。

これは後で習いましょう。

関数が１つの変数の関数の場合は、

常微分方程式と

呼びます。

このビデオでは、

常微分方程式を扱います。

常微分方程式にも

２つのクラスがあります。

それらは、重複しています。

次数があります。

この微分方程式の次数は何ですか？

そして、線形か非線形かで

分けられます。

これを説明するに

例を書いてみましょう。

一つ書きます。

これは、大学の微分方程式の本から

引用します。

X＾２掛けるyのxに関する２次導関数＋

x掛けるyのxに関する１次導関数＋

２y＝sinXです。

この式では、何次ですか？

式内の最も高い次数で示されます。

式内の最も高い次数で示されます。

ここで最も高い次数は

何ですか？

この答えは、この式を満たす

y（x）です。

次数は最高次の導関数で

ここでは、２次です。

これは２次です。

これは２次常微分方程式と言えます。

これは２次常微分方程式と言えます。

２つ目に、これが

線形か非線形か見てみましょう。

線形の場合は、すべての関数と

導関数が

線形です。

どういう意味でしょう？

つまり、y＾２や、

（dy／dx）＾２、また、

y＊y’’が存在しません。

ここでの例は

２次の線形常微分方程式です。

最高の次数が２で、

関数同士あるいは導関数の乗算がありません。

この式は、書き換え

X＾２（d２y／d２x）＾２＝sinXとすると、

これが2乗されているので

非線形の

微分方程式になります。

これは、非線形です。

これは、線形です。

ここでは、２次導関数が2乗されているので、

非線形です。

他の非線形の例は

y＊（d２y／d２x）＝＝sinXです。

y＊（d２y／d２x）＝＝sinXです。

これも非線形です。

この関数が導関数で掛けられています。

ここでは、２次の導関数が掛けられていますが、

これは、独立した変数で掛けています。

これは、独立した変数で掛けています。

時間がなくなってきました。

微分方程式が何か分かりましたか？

微分方程式が何か分かりましたか？

次のビデオで解き方を習いましょう。

次のビデオで解き方を習いましょう。