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Benvenuti a questo primo video, il primo nella
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categoria delle equazioni differenziali.
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So che ho accennato a quest'argomento in passato, quando abbiamo trattato
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il moto armonico, e credo di averlo nominato
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anche durante altri argomenti.
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Ma ora, vista la vostra richiesta, faremo una
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completa carrellata sull'argomento.
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E devo dire che è piuttosto utile, perchè le
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equazioni differenziali sono utilizzate in un vasto
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insieme di campi.
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Questi video mi sono stati richiesti da chi
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sta iniziando il dottorato in economia, da chi sta iniziando
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fisica e da alcune persone che si stanno iscrivendo
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in ingegneria.
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Per cui, è un'area di studio largamente applicabile.
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Vediamo dunque di cominciare, prima che io continui
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a dire cose inutili.
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Quindi: Equazioni Differenziali.
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La prima domanda è: cos'è un'equazione differenziale?
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Voi tutti sapete cos'è un'equazione.
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Ma cos'è un'equazione differenziale?
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Beh, un'equazione differenziale è un'equazione in cui è coinvolta
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una funzione incognita e le sue derivate.
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Cosa voglio intendere con questo?
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Beh, mettiamo che io dica che y primo più y è uguale
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a x più 3.
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Qui la funzione incognita è y.
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Avremmo potuto scrivere y di x, o avremmo potuto scriverlo
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come dy dx, la derivata di y rispetto a x più
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la funzione incognita y è uguale a x più 3.
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Avremmo anche potuto scrivere f primo di x più f di x è
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uguale a x più 3.
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Tutte questi sono modi validi per scrivere
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la stessa identica equazione differenziale.
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E ciò che è interessante quì è come questo si discosti
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da quello che abbiamo imparato in precedenza dalle equazioni ordinarie
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ovvero-- lasciate che scriva una equazione ordinaria giusto per
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ricordarvi che aspetto abbiano.
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Per cui un'equazione ordinaria, con una variabile, assomiglierebbe
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a qualcosa del genere.
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Non so, x al quadrato più il coseno di x è uguale
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alla radice quadrata di x.
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Me la sono appena inventata.
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Qui, la soluzione è un numero, o qualche volta
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un insieme di numeri.
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Qualche volta ce n'è più di uno, vero?
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Se avete un polinomio, potete avere più di un
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valore di x che soddisfa l'equazione.
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Qui, in una equazione differenziale, la
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soluzione è una funzione.
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Il nostro obbiettivo è di capire quale funzione di x, e qui
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ho scritto f di x esplicitamente, ma quale funzione di x soddisfa
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esplicitamente la relazione all'interno dell'equazione.
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Lasciate che vi mostri cosa intendo dire.
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E sto prendendo il mio libro di equazioni differenziali del college,
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per cui userò questo durante le lezioni.
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Per cui diciamo che-- adesso scrivo.
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Vedete, loro usano questi esempi di equazioni differenziali.
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E non ho intenzione di mostrare necessariamente come risolverli
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proprio ora, perché per prima cosa dobbiamo imparare alcuni trucchi. Ma io
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penso che un buon punto di partenza è proprio farvi capire cosa sia
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un'equazione differenziale, in modo da non confondervi con
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le equazioni tradizionali.
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Quindi, abbiamo questa equazione differenziale
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y secondo.
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Ovvero la derivata seconda di y rispetto ad x, più 2
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volte la derivata prima di y rispetto a x, meno 3 y
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è uguale a 0.
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E nel libro danno le soluzioni, e quello che vogliono
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farci fare è dimostrare che queste sono effettivamente le soluzioni.
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E credo che questo sia un buono spunto per almeno
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capire che cosa sia una equazione differenziale, e cosa significa
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la sua soluzione.
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Così dicono che y1 è uguale a e alla meno 3x.
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E sostengono che questa è una soluzione
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a questa equazione differenziale.
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Lasciate che vi dimostri che è corretto.
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Beh, y1, che cosa è y -- ebbene,
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mi basta scrivere y1.
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Cos'è y1 primo?
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Qual è la derivata di questo?
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Basta applicare la regola della catena.
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La derivata dell'intera funzione, rispetto a questa
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sua parte è solo e alla meno 3x.
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E poi si prende la derivata della parte interna.
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Per cui il risultato è la derivata della parte esterna, e
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alla meno 3x.
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E la derivata della parte interna è meno 3.
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E la derivata seconda di y1 è pari a-- basta solo prendere
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la derivata di questo, e questo è solo uguale a più
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9-- meno 3 volte meno 3-- per e alla meno 3x.
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Ora, se sostituiamo y1 e le sue
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derivate all'interno di questa equazione differenziale, il risultato
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è vero.
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Quindi y secondo, che è questo.
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Così otteniamo nove e alla meno 3x, più 2y primo.
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Plus 2 volte y primo.
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Bene, questo è y primo.
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Quindi 2 volte meno 3 e alla meno 3x più-- oh, scusate,
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meno-- 3 volte y.
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Beh, y è questo.
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Quindi, meno 3 volte e alla meno 3x.
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Ebbene, a che cosa è uguale?
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Abbiamo 9 e alla meno 3x, meno 6 e alla meno 3x,
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meno 3 e alla meno 3x.
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Ebbene, a che cosa è uguale?
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Abbiamo 9 di qualcosa meno 6 di
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qualcosa meno 3 di qualcosa.
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Quindi, corrisponde a 0.
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Non importa che tipo di 0.
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Per cui è uguale a 0.
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Così abbiamo verificato che per questa funzione, se y1 è pari a e
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alla meno 3x, allora soddisfa questa equazione differenziale.
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Ora ciò che è interessante, e avete
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già affrontato questo tipo di problema nelle equazioni regolari, è che
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questa potrebbe non essere l'unica soluzione.
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Infatti impareremo, magari in un video o due, che spesso la
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soluzione non è solo una funzione.
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Potrebbe essere una classe di funzioni in cui di solito
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sono tutte un tipo di una stessa funzione, ma con
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diverse costanti.
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Ma queste ve le farò vedere a breve.
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Ma qui, in realtà ci mostrano che c'è un'altra
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soluzione, altrettanto funzionante, possiamo
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provare l'equazione y2 di x è uguale a, beh,
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semplicemente e alla x.
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E possiamo verificarlo, vero?
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Qual è la derivata prima e la derivata seconda di e alla x?
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Beh, sono solo e alla x.
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Per cui la derivata seconda di y2 è solo e alla x più 2 volte
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la derivata prima di che cosa?
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Beh, la derivata prima e alla x è ancora e alla x,
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2 e alla x, meno 3 volte una funzione.
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Meno 3e alla x.
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Beh, 1 più 2 meno 3, e che è uguale a 0 di nuovo.
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Quindi questa è stata anche una soluzione di questa equazione differenziale.
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Ora, prima di andare avanti, in quella successiva vi mostrerò alcune
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equazioni differenziali piuttosto semplici
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da risolvere.
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Penso che sia un buon momento, ora che probabilmente avete
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una buona comprensione di cosa sia una equazione differenziale e quale sia
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la sua soluzione.
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E la sua soluzione non è un numero, la sua soluzione è un
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funzione o un insieme di funzioni,
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o una classe di funzioni.
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È un buon momento per introdurre un po' di
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terminologia.
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Per cui, ci sono due grandi classificazioni.
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Beh in realtà, c'è una prima grande differenza, tra equazioni differenziali
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ordinarie e parziali.
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Penso che avrete già indovinato che cosa significa.
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Un'equazione differenziale ordinaria è quella che ho già scritto.
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Si tratta di una variabile rispetto ad un'altra variabile, o una
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funzione rispetto a, per dire, x e le sue derivate.
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Arriveremo in seguito alle equazioni differenziali parziali.
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Questo è più complicato.
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Ed è quando una funzione può essere una funzione di
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più di una variabile.
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E si può avere la derivata rispetto ad x,
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y e z.
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Ma non ci preoccuperemo di questo adesso.
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Se le vostre funzioni e le loro derivate sono una funzione di
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una sola variabile, allora abbiamo a che fare con una normale
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equazione differenziale.
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Questo è ciò di cui si parlerà in questa playlist, equazioni
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differenziali ordinarie.
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Ora, all'interno di equazioni differenziali ordinarie,
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ci sono due modi diversi di classificare e
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si sovrappongono abbastanza.
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Voi avete il vostro ordine, per cui qual'è l'ordine della mia
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equazione differenziale?
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E così sapete dire se è lineare o
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non-lineare.
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E penso che il modo migliore per capirlo è solo quello di
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scrivere degli esempi.
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Quindi fatemene scriverne uno.
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E li sto prendendo dal mio libro
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del college di equazioni differenziali.
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x al quadrato per la derivata seconda di y rispetto
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ad x, più x volte la derivata prima di y rispetto
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a x, più 2y è pari a seno di x.
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Quindi la prima domanda è: a che ordine appartiene?
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L'ordine è dato dalla più alta derivata esistente
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all'interno dell'equazione.
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La più alta derivata della funzione
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in questione, giusto?
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La soluzione di questo sarà una y di x che soddisfa
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questa equazione.
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E l'ordine è la più alta derivata di tale funzione.
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Beh, la più alta derivata qui è la derivata seconda.
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Quindi questa ha ordine 2.
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O come si potrebbe chiamare, una equazione differenziale ordinaria
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di secondo ordine.
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Ora la seconda cosa che dobbiamo capire: questa equazione è lineare
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o si tratta di un'equazione differenziale non-lineare?
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Per cui, una equazione differenziale è lineare se tutte le funzioni
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e le sue derivate sono essenzialmente, anche per mancanza di
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una parola migliore, lineari.
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Cosa voglio dire con questo?
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Voglio dire non avere una y al quadrato, o non avere un
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dy su dx al quadrato, o non avere una y per
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la derivata seconda di y.
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Quindi in questo esempio che ho appena scritto, abbiamo una equazione lineare
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di secondo ordine, perché c'è la derivata seconda,
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la derivata prima, e y, ma non sono moltiplicate per
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la funzione o le sue derivate.
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Ora, se questa equazione fosse-- se la riscrivo come x al quadrato, d,
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la derivata seconda di y rispetto a x al quadrato, è
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pari al seno di x, e diciamo che la elevo al quadrato.
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Ora, improvvisamente, ho un' equazione differenziale
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non-lineare.
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Questa è non-lineare.
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Questa è lineare.
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Perché io ho elevato al quadrato, ho moltiplicato la seconda
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derivata di y rispetto-- l'ho moltiplicata più volte per se stessa.
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Un altro esempio di una equazione non lineare è se io
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avessi scritto y volte la derivata seconda di y rispetto
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ad x è uguale a seno di x.
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Anche questa è non-lineare, perché ho moltiplicato
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la funzione per la sua derivata seconda.
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È importante notare che qui ho moltiplicato qualcosa per la derivata
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seconda, ma era la variabile indipendente x che
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è stata moltiplicata.
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Ma comunque, ho finito il tempo, e spero che questo
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vi abbia dato almeno una buona infarinatura di quello che è
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una equazione differenziale.
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Nel video seguente, cominceremo effettivamente a risolverle.
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A presto.
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Not Synced
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Not Synced
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Not Synced
