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Willkommen zum ersten Video, eigentlich zum ersten Video
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in der Playlist über Differenzialgleichungen (DGLs).
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Ich weiß, dass ich das schon mal
angesprochen habe als wir harmonische
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Bewegungen gemacht haben, und Ich glaube
ich habe das auch angeschnitten
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bei anderen Themen.
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Aber jetzt, weil ihr angefragt habt, machen wir eine ganze
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Playlist darüber.
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Und es ist wirklich eine nützliche Sache, weil Differenzial-
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gleichungen etwas sind, die in einer ganzen Reihe von verschiedenen
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Feldern auftauchen.
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Ich wurde gefragt von jemanden, der anfängt ein Doktorprogamm
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in Wirtschaftswissenchaften zu machen; ich wurde auch von einigen Leuten gefragt,
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die Physik machen wollen und einige, die
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Ingineurswesen machen wollen.
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Es ist also ein weit anwendbares Studiengebiet.
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Also lass uns anfangen, bevor ich noch weiter über
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unnützes Zeug rede.
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Also, die Differenzialgleichungen.
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Also, die erste Frage ist: was ist eine Differenzialgleichung?
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Du weißt, was eine Gleichung ist.
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Was ist aber eine Differenzialgleichung?
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Nun ja, eine Differenzialgleichung ist eine Gleichung, die
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eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen enthält.
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Was meine ich damit?
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Naja, angenommen ich sage, dass y Strich plus y
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ist gleich x plus 3.
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Hier ist die unbekannte Funktion y.
(Und die Ableitung davon ist y Strich).
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Wir hätten das auch schreiben können als y von x, oder als
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als dy dx, die Ableitung von y nach x plus
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dieser unbekannten Funktion y ist gleich x plus 3.
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Wir hätten das auch schreiben können als f Strich von x plus f von x
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ist gleich x plus 3.
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All das sind Möglichkeiten ein und die selbe
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Differenzialgleichung aufzuschreiben.
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Und was hier interessant ist und was anders ist
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von dem, was wir vorher über normale Gleichungen gelernt haben,
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ist, dass -- ich schreibe mal eine normale Gleichung auf nur
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um dich dran zu erinnern wie die aussehen.
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Also eine normale Gleichung, wenn wir eine Variable haben, würde
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zum Beispiel so aussehen.
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Keine Ahnung, zum Beispiel x Quadrat plus den Cosinus von x
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ist gleich der Wurzel von x.
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Das habe ich mir gerade ausgedacht.
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Hier ist die Lösung eine Zahl, oder manchmal ist
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es eine Menge von Zahlen.
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Manchmal gibt es mehr als eine Zahl als Lösung, stimmts?
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Wenn du ein Polynom hast, könntest man mehr als nur
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einen Wert von x haben, der die Gleichung erfüllt.
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Hier, für eine Differenzialgleichung, ist die
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Lösung eine Funktion.
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Unser Ziel ist es, herauszufinden welche Funktion von x, und hier habe ich
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f von x explizit geschrieben, also welche Funktion von x explizit
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dieser Beziehung bzw. Gleichung genügt.
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Lass mich dir zeigen, was ich damit meine.
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Ich habe mein Buch über Differenzialgleichungen von meinem College hier,
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ich werde also das benutzen.
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Also, sagen wir mal, -- Ich schreibs erstmal auf.
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Sieh, das hier ist eine Differenzialgleichung.
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Und ich zeige dir noch nicht, wie man die löst, weil
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dafür müssen wir erst ein paar Tricks lernen. Aber ich
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denke das ist ein guter Anfang, damit du verstehst was eine
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Differenzialgleichung ist und nicht durcheinander kommst mit
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den normalen Gleichungen.
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Also die haben hier diese Differenzialgleichung
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y Strich Strich.
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Also die zweite Ableitung von y nach x, plus 2
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mal der ersten Ableitung von y nach x, minus 3 y
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ist gleich 0.
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Und die geben uns hier die Lösungen und was sie von uns wollen ist,
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dass wir zeigen, dass das auch wirklich die Lösungen sind.
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Und ich denke, dass das ein guter Anfang ist um
wenigstens
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zu verstehen was eine Differenzialgleichung ist und was die
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Lösung bedeutet.
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Sie sagen also, dass y1 von x ist gleich e hoch minus 3x.
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Sie behaupten, dass das die Lösung für
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die Differenzialgleichung ist.
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Ich zeig dir jetzt, dass das stimmt.
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y1, was ist y -- warte, ich schreibe
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erstmal y1.
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Was ist y Strich?
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Was ist die Ableitung davon?
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Naja, wende einfach die Kettenregel an.
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Die Ableitung dieser ganzen Funktion, bezogen auf
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diesen Teil davon, ist einfach e hoch minus 3x.
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Und dann nimmst du die innere Ableitung.
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Das ist also die äußere Ableitung,
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e hoch minus 3x.
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Und die innere Ableitung ist minus 3.
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Die zweite Ableitung von y' ist gleich -- wir nehmen
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einfach die Ableitung davon und das ist dann
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plus 9 (minus 3 mal minus 3) mal e hoch minus 3x
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Jetzt müssen wir zeigen, dass wenn wir y1 und
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die Ableitungen davon in die Differenzialgleichung zurücksubstitutieren (einsetzen)
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wir eine wahre Aussage erhalten.
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Also, y Strich Strich ist das.
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Damit bekommen wir 9 e hoch minus 3x, plus 2y Strich.
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Plus 2 mal y Strich.
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Das hier ist y Strich.
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Es ist also 2 mal minus 3 e hoch minus 3x plus - oh sorry,
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minus -- 3 mal y.
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Also, das ist y.
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Also ist das minus 3 mal e hoch minus 3x.
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Was ergibt das?
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Wir kriegen 9 e hoch minus 3x, minus 6 hoch minus 3x,
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minus 3 e hoch minus 3x.
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Was ergibt das?
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Wir haben 9 von irgendwas minus 6 von
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irgendwas minus 3 von irgendwas.
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Das ist also einfach 0.
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Das hier ist also egal.
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Es ergibt also 0.
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Wir haben also für diese Funktion gezeigt, dass für y1 gleich
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e hoch minus 3x is die Differenzialgleichung erfüllt ist.
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Hier gibt es etwas interessantes,das hatten wir so in der Art
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schon mal mit normalen Gleichungen:
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das hier könnte nicht nur die einzige Lösung sein.
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Tatsächlich werden wir lernen,in den nächsten Videos, dass häufig
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die Lösung nicht nur eine Funktion ist.
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Die Lösung kann eine ganze Klasse von Funktionen sein,
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wobei das meistens immer die gleichen Funktionen sind,
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allerdings mit unterschiedlichen Konstanten.
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Das zeige ich gleich.
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Aber hier sagen sie noch, dass es noch eine andere
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Lösung gibt. Wir könnten die Gleichung lösen mit
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y2 von x ist gleich, naja, einfach
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e hoch x.
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Und wir können das beweisen, stimmts?
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Was ist die erste und zweite Ableitung von e hoch x?
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Naja, das ist einfach e hoch x.
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Die zweite Ableitung von y2 ist also einfach e hoch x plus
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2 mal der ersten Ableitung...
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Die erste Ableitung ist auch e hoch x,
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2 e hoch x, minus 3 mal der Funktion,
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minus 3 e hoch x.
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Also, 1 plus 2 minus 3, das ist einfach wieder 0.
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Das ist also eine Lösung dieser Differenzialgleichung.
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Bevor wir weitermachen - im nächsten Video werde ich dir
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ein paar einfach zu lösende
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Differenzialgleichungen zeigen.
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Ich denke jetzt ist ein guter Zeitpunkt, jetzt wo du hoffentlich
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eine Idee davon hast, was eine Differenzialgleichung
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und eine Lösung von dieser ist.
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Und die Lösung ist keine Zahl, die Lösung ist
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eine Funktion oder eine Menge von Funktionen
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oder eine Klasse von Funktionen.
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Jetzt ist also ein guter Zeitpunkt um ein
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bisschen Terminologie zu machen.
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Es gibt zwei große Klassifikationen.
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Also eigentlich gibt es eine große Einteilung in gewöhnliche und partielle
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Differenzialgleichungen.
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Ich glaube du hast bereits erraten, was das bedeutet.
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Eine gewöhnliche Differenzialgleichung ist das, was ich aufgeschrieben habe.
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Also eine Variable in Bezug auf eine andere Variable
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oder eine Funktion abhängig von, sagen wir mal, x und den Ableitungen von x.
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Zu partiellen Differenzialgleichungen komme wir später.
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Das ist komplizierter.
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Das ist wenn eine Funktion eine Funktion von
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mehr als einer Variable sein kann.
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Und dann kann man Ableitungen nach x
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und y und z haben.
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Darüber müssen wir uns erst mal keine Sorgen machen.
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Wenn deine Funktionen und ihre Ableitungen eine
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Funktion von nur einer Variable sind, dann haben wir es mit einer
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gewöhnlichen Differenzialgleichung zu tun.
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Diese Playlist wird sich mit
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gewöhnlichen Differenzialgleichungen befassen.
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Innerhalb der gewöhnlichen Differenzialgleichungen
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gibt es zwei Arten der Einteilung
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und diese überschneiden sich auch.
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Du hast die Ordnung, also welche Ordnung hat
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meine Differenzialgleichung?
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Und dann hat man den Begriff linear
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und nicht-linear.
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Ich denke der beste Weg das zu verstehen ist
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einfach Beispiele aufzuschreiben.
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Lass mich also was aufschreiben.
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Das hier ist von meinem College
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Buch über Differenzialgleichungen.
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x Quadrat mal der zweiten Ableitung von y
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nach x, plus x mal der ersten Ableitung von y nach x
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plus 2y ist gleich Sinus von x.
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Erste Frage: was ist die Ordnung?
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Die Ordnung ist einfach die höchste Ableitung,
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die es in deiner Gleichung gibt.
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Die höchste Ableitung dieser zu
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untersuchenden Funktion.
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Die Lösung hiervon wird ein y von x sein,
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welches die Gleichung erfüllt.
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Und die Ordnung ist die höchste Ableitung von dieser Funktion..
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nun ja, die höchste Ableitung ist hier die zweite Ableitung.
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Also hat das hier die Ordnung 2
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Oder man könnte das auch nennen: eine gewöhnliche
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Differenzialgleichung zweiter Ordnung.
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Die zweite Sache, die wir rauskriegen müssen: ist das
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eine lineare oder nicht-lineare Differenzialgleichung?
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Eine Differenzialgleichung ist linear, wenn alle Funktionen
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und ihre Ableitungen ... eben linear sind.
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Mir fällt gerade kein besseres Wort ein.
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Was meine ich damit?
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Ich meine damit, dass du kein y Quadrat oder kein
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dy über dx quadriert hast. Oder du hast kein y mal
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der zweiten Ableitung von y.
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Dieses Beispiel, das ich aufgeschrieben habe, ist also eine
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lineare Gleichung zweiter Ordnung, weil du hast die zweite Ableitung,
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die erste Ableitung und y, aber diese werden nicht multipliziert
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mit der Funktion oder Ableitungen dieser.
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Wenn diese Gleichung -- wenn ich das neu schreiben würde als x Quadrat mal
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der zweiten Ableitung von y nach x
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ist gleich Sinus von x, und wenn ich das hier noch quadriere.
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Dann, auf einmal, haben wir eine nicht-lineare
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Differenzialgleichung.
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Das hier ist nicht-linear.
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Das hier ist linear.
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Weil ich quadriert habe, also diese zweite Ableitung
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mit sich selbst multipliziert habe.
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Ein anderes Beispiel für eine nicht-lineare Gleichung ist,
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wenn ich y mal der zweiten Ableitung von y nach x
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ist gleich Sinus x schreibe.
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Das hier ist also nicht-linear, weil ich die Funktion
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mit ihrer zweiten Ableitung multipliziert habe.
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Beachte hier: hier habe ich etwas mit der zweiten Ableitung
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multipliziert, aber hier habe ich mit der unabhängigen
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Variabel x multipliziert.
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Wie auch immer, ich habe keine Zeit mehr und hoffentlich hat das hier
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dir wenigstens einen guten Überblick gegeben
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was eine Differenzialgleichung ist.
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Im nächsten Video werden wir lernen sie auch wirklich zu lösen.
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Bis bald.
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Not Synced
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Not Synced
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Not Synced
