Въведение в диференциалните уравнения

What a differential equation is and some terminology.

Уважаеми зрители, радвам се че гледате първото видео

от поредицата за диференциални уравнения (ДУ).

Зная, че вече говорих по темата, когато обсъждахме хармонични движения във физиката,

и също така мисля, че споменах някои факти

и при други теми.

Сега обаче, поради големия интерес, ще направим

собствена поредица по темата.

Това е една наистина много полезна тема, тъй като

диференциалните уравнения намират приложение

в множество най–разнообразни области.

Бях помолен да направя тази поредица от докторант по икономика,

от хора които искат да учат

физика, както и от хора

с инженерни специалности.

Това показва, че диференциалните уравнения са специалност с широко приложение.

И така, нека започнем, преди да съм се разсеял съвсем

от странични безсмислени теми.

Диференциални уравнения.

Първият въпросе е: какво означава диференциално уравнение?

Знаете какво е уравнение.

Какво е тогава диференциално уравнение?

Диференциално уравнение е уравнение в което участват

неизвестна функция и нейните производни.

Какво имам предвид?

Да кажем, например, y прим плюс у е равно на

х плюс 3.

Тук, неизвестната функция е у.

Можем да напишем това като у от х, т.е. у(х), или също така можем да напишем

същото като dy dx, производната на у по х плюс

незвестната функция у е равно на х плюс 3.

Бихме могли също да напишем f прим от x плюс f от x

е равно на х плюс 3.

Всички тези означения са правилни начини да се запише

едно и също диференциално уравнение.

И което е интересно тук, и това е основната разлика

от това което научихме за стандартните уравнения

е че /нека напиша едно стандартно уравнение

за да ви припомня как изглеждат те/.

Едно стандартно уравнение, ако имаме само една променлива, би изглеждало

нещо като това.

Например, х на квадрат плюс косинус х е равно на

корен квадратен от x.

Това просто си го измислих.

Тук, решението е число, или понякога

множество от числа.

Понякога има повече от едно решение, нали така?

Ако имате полином, може да има повече от една

стойност на x, които удовлетворяват това уравнение.

Тук, за диференциалното уравнение

решението е функция.

Нашата цел е да разберете каква е тази функция на x,

и тук ще напиша изрично f от x, която

удовлетворява на ето това равенство или по друг начин казано това уравнение.

Нека ви покажа какво имам предвид.

Имам подръка моя учебник по диференциални уравнения от университета,

така че ще го използвам.

Така, че да речем, че--просто пиша сега.

вижте, те имат това като диференциално уравнение.

В това видео няма да ви покажа непременно как се решава

не сега, защото ние трябва да научим първо някои трикове. Но аз

мисля че добро място за начало е да научите отлично какво разбираме под

диференциално уравнение, и да не го бъркате с

традиционните стандартни уравнения.

И така, диференциалните уравнения имат производни.

y прим прим.

Това е втората производна на y по отношение на x, плюс 2

умножено по първия производната на y по отношение на x, минус 3 y

е равно на 0.

И в учебника ни дават примерни решения, и искат от нас просто

до докажем, че те наистина са решения.

И аз мисля, че това е добро място за старт така че да

разберете какво е диференциално уравнение и какво

означава решение на диференциално уравнение.

Така те казват y1 от x е равно на е /експонента/ на степен минус 3 пъти x.

Така те твърдят, че това е решение на нашето

диференциално уравнение.

Така че нека да ви покажа, че това е наистина е така.

Добре, ако това е така, нека y1 е решение, какво е y -

аз просто пиша y1.

Какво е y1 прим?

Коя е производна на това?

Ами просто прилагам закона за производна на съставна функция.

Производната на външната функция, по отношение на тази

част от нея (минус 3х), е просто експонента на степен към минус 3x.

И после да приемете производната на вътрешната функция.

Това е просто производната на външната функция, т.e.

експонента на степен минус 3 x.

И производната на вътрешната функция е минус 3.

И за втората производна на y1, е равно на -- ние ще само

вземи производната на производната и това е просто равно на плюс

9 /минус 3 по минус 3/ - експонента на степен минус 3x.

Сега нека да провери дали ако заместим y1 и неговите

производни обратно в това уравнение,

дали то важи.

Така y прим взимаме ето това.

Така получаваме девет експонета на степен минус 3 x, плюс 2y прим.

плюс 2 пъти y прим.

Е това е пък y прим.

Така че 2 пъти минус 3 експонета на степен минус 3x,

минус--3 пъти y.

Ами y е това.

Така минус 3 пъти експонента на степен минус 3 x.

Е какво дали това вярно?

Получаваме 9 експонента на степен минус 3 x, минус 6 експонента на степен минус 3 x,

минус 3 експонента на степен минус 3 x.

Е какво дали това равнява?

Имаме 9 от нещо минус 6 от

нещо минус 3 от нещо.

Така че е просто равно на 0.

Не зависи от х или от нещо друго.

Така че е равно на 0.

Така че ние проверихме, че за тази функция, за y1, което е равно на

експонента на степен минус 3x, диференциалното уравнение е удовлетоврено.

Сега има нещо интересно тук, и вие сте

срещали с това и при стандартните уравнения, това е, че

у1 може да не е единственото решение!

Всъщност вие ще научите, може би след едно две видеа, че много често

решението не е просто една функция.

Това може да бъде цял клас от функции, в който обикновено

всички функции са от един и същи вид,

но се различават с константи.

Но аз ще ви покажа след момент.

Тук, в учебника, те всъщност ни показват, че има и друго

решение, че това диференциално уравнение ще важи и с

y2 от x. Нека просто опитаме.

у2 просто е равно на експонета на степен x.

И ние може да проверим дали това е така, нали?

Какво е първата и втората производни на експонета на степен x?

Ами те са просто експонента на степен на x.

Така че втората производна на y2 е просто експонента на степен на x плюс 2

пъти първата производната /и тя е?/

Ами първата производна на експонента на степен на x е пак експонента на степен на x,

2 експонента на степен на x, минус 3 пъти функция.

Минус 3 експонента на степен на x.

Така, 1 плюс 2 минус 3, така, това отново е равно на 0.

Така че това /експонента на степен на x/ е решение на това уравнение.

Сега преди да продължим, в следващото видео аз ще ви покаже някои

доста лесни за решаване

диференциални уравнения.

Мисля, че сега добър момент, надявам се, че имате вече

представа за това какво диференциално уравнение

и какво е решението му.

Решение не е число, решението на диференциалнот уравнение е

функцията или набор от функции,

или клас от функции.

Това е подходящ момент да научим малко

терминология.

Има две основни класификации.

Първата класификация е между обикновените и частните

диференциални уравнения.

Мисля, че вече се досещате какво означава това.

Обикновено диференциално уравнение е това, което написах.

То има една променлива като функция на друга променлива,

да кажем на x, и нейните производни.

С частните диференциални уравнения ще се запознаем по-късно.

Те са по-сложни.

Частни диференциални уравнения имаме, когато функцията, която търсим, може да бъде функция на

повече от една променлива.

И така може да имаме производни по отношение на x,

и по y и по z.

Но не се тревожете, няма да се занимаваме с това в началото.

Ако вашите функции и техните производни са функция

само на една променлива, тогава говорим за обикновени

диференциални уравнения.

В тази поредица ще се занимаваме с обикновени

диференциални уравнения.

Измежду обикновените диференциални уравнения,

има два начина за класифициране, и

те донякъде се припокриват.

Първо, имаме ред на диференциалното уравниение, т.е. кой е реда на

диференциалното уравнение?

И освен това имате това има и понятието за линейно или

нелинейно диференциално уравнение

Мисля, че най-добрият начин да се разбере, е просто

да се напишат примери.

Така че нека напиша един пример.

И това научавам от моят учебник

по диференциални уравнения от университета.

x квадрат по втората производна на y по отношение

на x плюс x по първата производна на y по отношение

на x плюс 2y е равно на синус от x.

Така че първия въпрос тук е: от какъв ред е диференциалното уравнение?

Редът на диференциалното уравнение е най-високата производна, която присъства

във вашата формула.

Най-високата производна на функцията

под въпрос, нали?

Решение на това уравнение ще бъде y от x, функция която трябва да удовлетворява

това уравнение.

А редът е най-високата производна на тази функция.

Е най-високата производна тук е втората производна.

Така че редът е 2.

Или както можем да кажем

обикновенo диференциално уравнение от втори ред.

Сега вторoto нещо, което трябва да разберем:

линейно или не, е това диференциално уравнение?

Диференциално уравнение е линейно, ако всички функции

и неговите производни са по същество, добре поради липса на

по-добра дума, линейни.

Какво означава това?

Искам да кажа че в уравнението не участват y на квадрат, или

dy dx квадрат, или не участват с y по

втората производна на y.

Така този пример който написах тук, това е втори ред

линейно уравнение, защото имате втора производна,

първа производна и y, но те не се умножава по между си

т..е не се умножават по функцията или по производни на функцията.

Сега, ако това уравнение беше --ако го пренапиша като

втората производна на y по отношение на x на квадрат,

е равно на синус от x и да речем, че бях го вдигнал на квадрат.

Сега, внезапно, имам не-линейно

диференциално уравнение.

Това е не линейно.

Това е линейно.

Защото аз вдигнах на квадрат, аз умножих втората

производна на y по самата себе си.

Друг пример за не-линейно уравнение е ако

напиша y по втората производна на y по отношение

на x е равно на синус от x.

Това също е нелинейлно, защото аз умножавам

функцията по втората производна.

Обърнете внимание, умножих по втората

производна на у, а не по независима променлива x

което не би имало значение за линейноста на уравнението.

Хм, времето ми вече изтече, но се надявам че ви дадох

добър старт в изучаването на това, което

са диференциалните уравнение.

В следващото видео ще започнем действително с решаването им.

До скоро