مقدمة في المعادلات التفاضلية

ما هي المعادلة التفاضلية والمصطلحات.

مرحباً بكم في الفيديو الأول
فعليا هو الفيديو الاول

حول المعادلات التفاضلية.

أعلم بأني تطرقت لذلك سابقاً عندما قمنا بالحركة التوافقية

و أعنقد بأنني تطرقت له

في مواضيع أخرى

و لكن الآن و حسب طلبكم
سنقدم سلسلة فيديوهات

حول هذا الموضوع.

و هو حقيقةً لأمرٌ مفيد، لأن المعادلات

التفاضلية تظهر لنا في العديد

من المجالات المختلفة

طُلب مني من قبل شخص يبدأ في الدكتوراة في علم الاقتصاد لأن أقوم بهذه الدروس

و طُلب مني من قبل آخرين

يدرسون علوم الفيزياء

و غيرهم يدرسون الهندسة

لذا، فإن المعادلات التفاضلية تعتبر مجالاً قابلاً للتطبيق على نحو واسع

إذن ، دعونا نبدأ قبل أن أخوض في أمور

لا طائل منها

حسنا ً
المعادلات التفاضلية

إذن، السؤال الأول هو : ما هي المعادلات التفاضلية ؟

تعلمون ما هي المعادلة

ما هي المعادلة التفاضلية؟

حسناً ، المعادلة التفاضلية هي معادلة تحتوي

على دالة مجهولة و اشتقاقاتها

ماذا أعني بذك؟

حسناً، دعونا نفترض أنني قلت أن
ص' + ص= س+ 3

ل س + 3

هنا الدالة المجهولة هي ص

كان بإمكاننا أن نكتبها ص ل(س) ، أو أن نكتبها بهذه الطريقة

وهذا ك dx dy، مشتقة y بالنسبة x زائد

y دالة غير معروفة هذا يساوي x زائد 3.

ونحن أيضا يمكن أن يكون كتابي و رئيس الوزراء من x بالإضافة إلى f x

يساوي x زائد 3.

كل هذه كانت طرق صالحة لكتابة هذا

معادلة تفاضلية نفس الدقيق.

والأمر المثير للاهتمام هنا، وكيف وهذا يشكل خروجاً

من ما تعلمناه قبل عن المعادلات العادية فقط

ذلك--واسمحوا لي أن اكتب معادلة عادية بمجرد

أذكركم بما أنها تبدو وكأنها.

لذا معادلة عادية، إذا كان لدينا متغير واحد، تبدو

شيء من هذا القبيل.

أنا لا أعرف، x التربيعية بالإضافة إلى جيب تمام x يساوي

الجذر التربيعي ل x.

أدلى به أن.

هنا، فإن الحل بعدد، أو في بعض الأحيان فقد

مجموعة من الأرقام.

في بعض الأحيان هناك من أكثر من واحدة، أليس كذلك؟

إذا كان لديك متعدد حدود، يمكن أن يكون أكثر من واحد

قيم x التي تفي بهذه المعادلة.

هنا، لمعادلة تفاضلية،

الحل دالة.

أن هدفنا معرفة ما هي وظيفة من x، وهنا أنا

كتب و x صراحة، لكن ما هي الدالة x صراحة

يفي بهذه العلاقة أو هذه المعادلة.

لذا اسمحوا لي أن تظهر لك ما أقصده بذلك.

ولدى بلدي كتاب المعادلات التفاضلية من الكلية،

حتى وأنا ذاهب إلى استخدام ذلك ونحن نمضي.

لذلك دعونا نقول أن--أنا مجرد كتابة الآن.

انظر، لديهم هذا كالمعادلات التفاضلية.

ولن تظهر لك بالضرورة كيفية حلها

فقط بعد، لأن علينا أن نتعلم بعض الخدع أولاً. ولكن أنا

أعتقد أن مكان جيد للبدء فقط حتى يمكنك فهم ما

معادلة تفاضلية، حتى لا تحصل على الخلط بينه وبين

المعادلة التقليدية.

لذا، يتعين عليهم هذا الفارق [؟ مشتق.؟]

رئيس الوزراء رئيس الوزراء y.

لذا المشتقة الثانية y بالنسبة x, بالإضافة إلى 2

الأوقات على أول مشتق من ص فيما يتعلق بالعاشر، ناقص 3 y

يساوي 0.

ويعطونا الحلول هنا، وماذا يريدون لنا أن

هل إظهار أن هذه هي الحلول.

وأعتقد أن هذا مكان جيد للتو على الأقل

فهم ما هي معادلة تفاضلية هو، وما لها

وسائل الحل.

هكذا يقولون y1 x يساوي (ه) x 3 ناقص.

حيث أنهم يدعون أن هذا حل لهذا

معادلة تفاضلية.

لذا اسمحوا لي أن تبين لكم أن هذا.

حسنا، إذا كان هذا قريبا. y1, ما هو y--حسنا، اسمحوا

لي مجرد كتابة y1.

ما برايم y1؟

ما هو المشتق من هذا؟

حسنا، لا مجرد قاعدة السلسلة.

مشتق وظيفة كاملة، فيما يتعلق بهذا

جزء منه، مجرد (ه) x 3 ناقص.

ومن ثم يمكنك اتخاذ مشتق الداخل.

ذلك أن مجرد مشتق ه الخارجي،

إلى x 3 ناقص.

ومشتق الداخل ناقص 3.

والثانية مشتقة من y1 يساوي--نحن سنقوم فقط

خذ المشتق من هذا، وهذا يساوي فقط زائد

9-ناقص 3 مرات ناقص 3-(ه) x 3 ناقص.

الآن، دعونا التحقق من ذلك إذا نحن استبدال y1 وبه

مشتقات مرة أخرى إلى هذه المعادلة التفاضلية، أنه

ويصدق.

حتى رئيس الوزراء y، وهذا وهذا.

حتى نحصل على تسع ه إلى الناقص 3 x، بالإضافة إلى رئيس الوزراء 2y.

بالإضافة إلى رئيس الوزراء ص 2 مرات.

حسنا، هذا هو رئيس الوزراء y.

حتى 2 مرات ناقص 3 ه إلى ناقص 3 x زائد-أوه عذراً،

ناقص-ص 3 مرات.

حسنا، هذا y.

لذا ناقص ه 3 مرات إلى x 3 ناقص.

حسنا، ما أن يساوي؟

نحصل على 9 (ه) x 3 ناقص، ناقص 6 (ه) x 3 ناقص،

ناقص 3 (ه) x 3 ناقص.

حسنا، ما أن يساوي؟

لدينا 9 من شيء ناقص 6 من

شيء ناقص 3 من شيء.

وبمجرد أن يساوي 0.

لا يهم من 0 أيا كان.

ذلك أن يساوي 0.

حتى يمكننا التحقق التي لهذه الدالة، y1 هو يساوي ه

إلى ناقص 3 x، فإنه يفي بهذه المعادلة التفاضلية.

الآن يوجد شيء للاهتمام هنا، وكنت قد

نوع من مست في هذا مع المعادلات العادية، التي

وهذا قد لا يكون الحل الوحيد.

وفي الواقع سوف نتعلم، ربما من شريط فيديو أو اثنين، التي غالباً ما

الحل ليس مجرد وظيفة.

يمكن أن يكون فئة من الوظائف حيث عادة

أنهم كل نوع لنفس الوظيفة، ولكن لديك

فرق ثوابت.

ولكن سوف تظهر لك أن في ثانية.

ولكن هنا، أنها في الواقع تبين لنا أن هناك شيء آخر

الحل، أن هذا سوف تعمل فعلا، مع أننا يمكن أن

جرب y2 المعادلة x يساوي، حسنا، فقط

بسيط ه x.

ونحن يمكن أن التحقق من ذلك، حق؟

ما هي المشتقات الأولى والثانية (ه) إلى x؟

حسنا، أنهم فقط (ه) x.

حتى المشتقة الثانية من y2 فقط (ه) x زائد 2

الأوقات الأولى مشتق ما؟

جيدا لا يزال المشتقة الأولى ه إلى س ه إلى العاشر،

2 (ه) س، ناقص 3 مرات دالة.

ناقص 3e إلى x.

حسنا، 1 زائد 2 ناقص 3، إضافة إلى أن يساوي 0 مرة أخرى.

لذا كان هذا أيضا التوصل إلى حل لهذه المعادلة التفاضلية.

الآن قبل أن نذهب، في المرحلة التالية سوف تظهر لك بعض

التفاضلية واضحة إلى حد ما

معادلات لحل.

أعتقد أنه وقت المناسب الآن، الآن بعد أن لديك نأمل أن

فهم ما هي معادلة تفاضلية هو، وما لها

الحل.

وليس لها حل عدد، وحل لها

وظيفة أو مجموعة من الوظائف،

أو فئة من الوظائف.

أن الوقت مناسب للذهاب فقط أكثر قليلاً من

المصطلحات.

حتى لا يكون هناك اثنين من التصنيفات الكبيرة.

حسنا في الواقع، هناك أول كبيرة واحدة، عادية وجزئية

المعادلات التفاضلية.

وأعتقد أن كنت قد سبق خمنت ماذا يعني ذلك.

معادلة تفاضلية عادية ما كتبت إلى أسفل.

متغير واحد فيما يتعلق بمتغير آخر، أو أنه واحد

الدالة مع احترام لك، أقول، x ومشتقاته.

المعادلات التفاضلية الجزئية أننا سنصل إلى وقت لاحق.

هذا وقد أكثر تعقيداً.

هذا عندما يمكن أن تكون دالة دالة من

متغير واحد أو أكثر.

ويمكن أن يكون مشتق فيما يتعلق بالعاشر،

و y، و z.

ونحن لن تقلق بشأن ذلك الآن.

إذا كانت دالة من الدالات الخاصة بك ومشتقاتها

متغير واحد فقط، فنحن نتعامل مع عادية

معادلة تفاضلية.

وهذا ما سوف تتعامل قائمة التشغيل هذه مع العادية

المعادلات التفاضلية.

الآن داخل المعادلات التفاضلية العادية،

هناك طريقتين لتصنيف، و

أنها نوع من التداخل.

لديك على النظام الخاص بك، فما هو الترتيب بلدي

معادلة تفاضلية؟

وثم لديك فكرة هذا هو هل الخطية أو

غير الخطية.

وأعتقد أن أفضل طريقة لهذا الخروج فقط للشكل

قم بتدوين أمثلة.

لذا اسمحوا لي أن كتابة واحد.

وأنا الحصول على هذا من دراستي

كتاب المعادلات التفاضلية.

x تربيع مرات مشتقة الثانية y مع الاحترام

إلى العاشر، بالإضافة إلى أوقات x على أول مشتق من ص مع الاحترام

إلى العاشر، بالإضافة إلى 2y تساوي جيب x.

السؤال الأول هنا هو: ما هو النظام؟

كل أمر هو مشتق أعلى موجود

في المعادلة الخاصة بك.

أعلى مشتقة الدالة

تحت السؤال الصحيح؟

أن الحل لهذا ستكون y ل x، الذي يفي

هذه المعادلة.

والنظام هو مشتق أعلى من تلك الوظيفة.

حسنا، هو مشتق أعلى هنا المشتقة الثانية.

وبهذا قد أمر 2.

أو كما يمكن استدعاء هذا، أمر ثان العادية

معادلة تفاضلية.

والشيء الثاني علينا الآن معرفة: هو هذا الخطي

أو هل هذا معادلة تفاضلية غير خطية؟

حتى معادلة تفاضلية خطية إذا كانت جميع الوظائف

ومشتقاته أساسا، وأيضا لعدم توفر ما يلي:

كلمة أفضل، خطية.

ماذا تعني بذلك؟

يعني أنا لم يكن لديك y تربيع، أو لم يكن لديك

تربيع دي على dx، أو لم يكن لديك أوقات y

الثاني مشتق من y.

وبهذا المثال فقط كتبت هنا، وهذا أمر ثان

معادلة خطية، لأنه لديك المشتقة الثانية،

المشتقة الأولى، و y، ولكن كنت لا مضروبة

الدالة أو المشتقات المالية.

الآن إذا كانت هذه المعادلة-إذا أعاد كتابة كما س د التربيعية،

المشتقة الثانية من y بالنسبة x تربيع،

يساوي جيب x، ونفترض أن كان لي ساحة هذا.

الآن، كل من المفاجئ، لدى غير الخطية

معادلة تفاضلية.

هذا غير الخطية.

هذا الخطية.

لأن أنا التربيعية، أنا ضرب الثاني

مشتق y مع الاحترام-أنا ضرب الأوقات نفسها.

مثال آخر لمعادلة غير خطية إذا أنا

وكتب y مرات مشتقة الثانية y مع الاحترام

x مساو لجيب x.

هذا أيضا غير الخطية، لأن أنا مضروبة

مرات الدالة المشتقة الثانية لها.

لاحظ هنا، أنا اضرب الأشياء مرات الثانية

مشتق، ولكنه كان المتغير x المستقلة التي

تضاعفت.

ولكن على أي حال، لقد كنت تشغيل الخروج من الوقت، ونأمل أن يعطي

كنت جيدة على الأقل إجراء مسح لما

معادلة تفاضلية.

في مقطع الفيديو التالي، سوف نبدأ في حلها فعلا.

أراك لاحقًا