< Return to Video

Линейна алгебра: Детерминанта на горна триъгълна матрица

  • 0:00 - 0:04
    Да кажем, че имаме една
    матрица, в която всички елементи
  • 0:04 - 0:07
    под главния диагонал са нули.
  • 0:07 - 0:09
    Ще започна... нека
    да започнем с пример
  • 0:09 - 0:12
    с матрица 2 х2 .
  • 0:12 - 0:18
    Имаме елементите a, b, 0 и d.
  • 0:18 - 0:21
    Вместо с тук имаме 0,
    така че всичко под
  • 0:21 - 0:23
    главния диагонал е нула.
  • 0:23 - 0:25
    Каква ще бъде детерминантата
    на тази матрица?
  • 0:25 - 0:28
    Да я наречем матрицата А.
  • 0:28 - 0:36
    Детерминантата ще бъде
    равна на (a по d) минус (b по 0).
  • 0:36 - 0:38
    Това е нула, така че
    няма нужда да го пишем.
  • 0:38 - 0:40
    Равна е на а по d.
  • 0:40 - 0:42
    Нека да имаме и
    друга матрица.
  • 0:42 - 0:43
    Да я означим като
    матрицата В.
  • 0:43 - 0:49
    Нека тя да е матрица 3 х 3.
  • 0:49 - 0:54
    Нека елементите ѝ да са
    а, b, c,
  • 0:54 - 0:57
    тук имаме нула.
  • 0:57 - 1:00
    После – да кажем, че тук
    имаме d, e и после друга нула,
  • 1:00 - 1:05
    друга нула тук и f.
  • 1:05 - 1:10
    Повтарям, всички елементи
    под главния диагонал са нули.
  • 1:10 - 1:11
    Каква е детерминантата
    на тази матрица?
  • 1:11 - 1:14
    Научихме преди няколко
    видеа, че винаги можем
  • 1:14 - 1:16
    да изберем реда или стълба,
    който има най-много нули.
  • 1:16 - 1:18
    Това опростява ситуацията.
  • 1:18 - 1:22
    Да намерим детерминантата
    с помощта на този стълб ето тук.
  • 1:22 - 1:29
    Детерминантата на В е равна
    на а по детерминантата на подматрицата,
  • 1:29 - 1:33
    получена като зачеркнем
    реда и стълба на елемента а.
  • 1:33 - 1:41
    а по детерминантата на
    [d;e;0;f] и после минус
  • 1:41 - 1:45
    0 по неговата подматрица.
  • 1:45 - 1:47
    Можем да съкратим – или
    по детерминантата на
  • 1:47 - 1:49
    неговата подматрица,
    без този ред и този стълб.
  • 1:49 - 1:53
    Получаваме [b;c;0;f].
  • 1:53 - 1:58
    После имаме плюс 0 по...
    зачеркваме този ред
  • 1:58 - 2:03
    и този стълб,
    получаваме [b;c;d;e].
  • 2:03 - 2:05
    Очевидно тези двете
    ще бъдат нули.
  • 2:05 - 2:08
    Тези две матрици не
    ме интересуват –
  • 2:08 - 2:10
    няма да търсим техните
    детерминанти.
  • 2:10 - 2:12
    Тези два члена ще бъдат
    нули, защото
  • 2:12 - 2:13
    умножаваме по нула.
  • 2:13 - 2:16
    Остава ни "а" по
    детерминантата на това,
  • 2:16 - 2:19
    и тази детерминанта е
    много лесна за намиране.
  • 2:19 - 2:21
    Ще имаме... ще бъде
    равна просто на
  • 2:21 - 2:25
    "а" по детерминантата на тази подматрица,
    която е (d по f) минус (0 по е).
  • 2:25 - 2:28
    Значи това е d по f.
  • 2:28 - 2:31
    Детерминантата на
    В е равна на а по d по f.
  • 2:31 - 2:35
    Обърни внимание, че
    детерминантата на А е само а и d.
  • 2:35 - 2:36
    Може би виждаш
    някаква закономерност.
  • 2:36 - 2:41
    И в двата случая имаме
    нули под главния диагонал, нали?
  • 2:41 - 2:43
    Това е главният диагонал
    ето тук.
  • 2:43 - 2:45
    Когато намерихме детерминантите
    на матриците,
  • 2:45 - 2:52
    детерминантите се оказаха
    просто произведение на
  • 2:52 - 2:55
    елементите по
    главния диагонал.
  • 2:55 - 2:57
    Ако ти се струва, че това
    е обща тенденция,
  • 2:57 - 2:59
    това наистина е така.
  • 2:59 - 3:02
    Можем да го покажем
    за общия случай.
  • 3:02 - 3:04
    Да разгледаме
    общия случай.
  • 3:04 - 3:12
    Нека да имаме матрица А,
    която е равна на а11,
  • 3:12 - 3:14
    после а22.
  • 3:14 - 3:16
    Тук ще има 0.
  • 3:16 - 3:20
    И после продължаваме
    надолу до аnn.
  • 3:20 - 3:24
    В този ред всичко
    ще бъде 0, освен
  • 3:24 - 3:25
    последния стълб.
  • 3:25 - 3:27
    Всичко това са нули.
  • 3:27 - 3:32
    Значи всичко под главния
    диагонал са нули, както тука,
  • 3:32 - 3:36
    но това е общият случай
    на матрица n x n.
  • 3:36 - 3:40
    Всичко тук горе –
    това не трябва да са нули.
  • 3:40 - 3:44
    Това е а12 и така нататък
    чак до а1n.
  • 3:44 - 3:47
    Това е а2n.
  • 3:47 - 3:47
    Продължаваме надолу.
  • 3:47 - 3:51
    Всички елементи под
    главния диагонал
  • 3:51 - 3:53
    трябва да са нули.
  • 3:53 - 3:54
    За да намерим детерминантата
    на матрицата А, трябва
  • 3:54 - 3:56
    да направим същото
    като тук.
  • 3:56 - 4:02
    Можем да използваме
    първия стълб ето тук.
  • 4:02 - 4:08
    Детерминантата на
    матрицата А е равна на това –
  • 4:08 - 4:12
    а11 по детерминантата
    на неговата подматрица.
  • 4:12 - 4:18
    Това е а22, и продължава
    до а2n.
  • 4:18 - 4:24
    После имаме а33 и така до ann.
  • 4:24 - 4:29
    После всички елементи
    тук долу са нули.
  • 4:29 - 4:32
    Повтарям, това отново
    е пример, в който
  • 4:32 - 4:36
    всички елементи под
    главния диагонал са нули.
  • 4:36 - 4:38
    Каква е детерминантата
    на тази матрица?
  • 4:38 - 4:41
    Тук може да попиташ:
    "Ами останалата част от този ред?"
  • 4:41 - 4:43
    Останалите елементи от този
    ред са просто нули,
  • 4:43 - 4:44
    точно както ето тук.
  • 4:44 - 4:47
    0 по детерминантата на
    неговата подматрица, после
  • 4:47 - 4:49
    имаме минус и плюс.
  • 4:49 - 4:51
    0 по детерминантата
    на неговата подматрица и т.н.
  • 4:51 - 4:55
    Само трябва да внимаваме
    с този член ето тук.
  • 4:55 - 4:57
    Същата логика можем
    да приложим тук.
  • 4:57 - 5:02
    За да намерим детерминантата,
    можем да използваме този ред.
  • 5:02 - 5:05
    Детерминантата ще е равна на...
  • 5:05 - 5:09
    нека да го запиша –
    да не забравяме нашето а11.
  • 5:09 - 5:14
    Детерминантата на това
    ще е а22 по
  • 5:14 - 5:15
    детерминантата на
    неговата подматрица.
  • 5:15 - 5:17
    Зачеркваме неговия ред
    и неговия стълб, и ни остава
  • 5:17 - 5:22
    а33 чак до ann.
  • 5:22 - 5:26
    Всичко тук е различно
    от нула, значи е а3n.
  • 5:26 - 5:30
    После всичко под диагонала,
    отново, това са само нули.
  • 5:30 - 5:32
    Всичко тук долу са само нули.
  • 5:32 - 5:35
    Това е още един пример
    на това, което се нарича
  • 5:35 - 5:36
    горна триъгълна матрица.
  • 5:36 - 5:37
    Ще го запиша.
  • 5:37 - 5:41
    Всяка матрица от този вид, където
    имаме нули под главния диагонал,
  • 5:41 - 5:53
    се нарича горна
    триъгълна матрица.
  • 5:53 - 5:56
    И продължаваме да повтаряме
    процеса отново и отново.
  • 5:56 - 5:58
    Ако продължим по този
    начин отново и отново,
  • 5:58 - 6:02
    сега ще получим, че детерминантата е равна на
    а33 по детерминантата на неговата подматрица.
  • 6:02 - 6:05
    Всеки следващ път подматрицата
    става все по-малка и по-малка.
  • 6:05 - 6:12
    Така евентуално стигаме до
    а11 по а22 по...
  • 6:12 - 6:23
    и така до а с индекс (n – 2)
    по тази матрица 2 х 2.
  • 6:23 - 6:30
    Това ще е равно на а(n – 1) по аn.
  • 6:30 - 6:33
    Това е равно на а с индекс (n – 1)(n – 1),
    после а с индекс (n – 1)n.
  • 6:33 - 6:35
    След това тук ще има нула.
  • 6:35 - 6:37
    Това е просто долният десен ъгъл
    на оригиналната матрица,
  • 6:37 - 6:40
    само това ще ни остане.
  • 6:40 - 6:42
    А каква е детерминантата
    на това?
  • 6:42 - 6:44
    Това е просто произведението
    на тези две неща.
  • 6:44 - 6:47
    Тя е просто това по
    това минус това, по това,
  • 6:47 - 6:49
    но това е просто нула.
  • 6:49 - 6:56
    Така детерминантата на А
    става а11 по а22 и така нататък
  • 6:56 - 7:02
    до аnn, или
    произведението на
  • 7:02 - 7:04
    всички елементи
    по главния диагонал.
  • 7:04 - 7:07
    Което е много важно, защото
  • 7:07 - 7:09
    наистина опростява
    намирането на детерминанта,
  • 7:09 - 7:12
    когато по друг начин би било
    трудно да се намери
  • 7:12 - 7:12
    детерминантата на
    дадена матрица.
  • 7:12 - 7:15
    Представи си, че това е
    матрица 100 х 100.
  • 7:15 - 7:17
    Сега можем просто да умножим
    елементите по диагонала.
  • 7:17 - 7:20
    Само да се уверим,
    че всичко е ясно,
  • 7:20 - 7:22
    ще покажа един пример.
  • 7:22 - 7:27
    Да намерим детерминантата
    на матрицата 7, 3, 4, 2,
  • 7:27 - 7:29
    и тук имаме нули.
  • 7:29 - 7:35
    Това е –2, 1 и ,
    тук нула – извинявам се,
  • 7:35 - 7:36
    тук не ми трябва нула.
  • 7:36 - 7:37
    Не трябва да има нула тук.
  • 7:37 - 7:40
    6, 7... всъщност може
    да има нула тук, но
  • 7:40 - 7:42
    не е задължително
    да има нула тук.
  • 7:42 - 7:45
    Тук е 0 и тук е 0.
  • 7:45 - 7:46
    Ето така.
  • 7:46 - 7:46
    Значи това е
  • 7:46 - 7:49
    горна триъгълна матрица –
    ако искаме да намерим нейната
  • 7:49 - 7:53
    детерминанта, само трябва
    да умножим тези елементи тук.
  • 7:53 - 7:59
    Детерминантата е равна на
    7 по –2, по 1, по 3.
  • 7:59 - 8:05
    Значи 7 по –6, което
    е равно на –42.
  • 8:05 - 8:07
    Това беше много лесно.
Title:
Линейна алгебра: Детерминанта на горна триъгълна матрица
Description:

Детерминанта на горна триъгълна матрица

Гледай следващия урок: https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/matrix_transformations/determinant_depth/v/linear-algebra-simpler-4x4-determinant?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=LinearAlgebra

Пропусна предишния урок?
https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/matrix_transformations/determinant_depth/v/linear-algebra-determinant-after-row-operations?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=LinearAlgebra

Кан Академия е организация с нестопанска цел и с мисията да предоставя свободно образователни материали на световно ниво за всеки и навсякъде. Предлагаме тестове, въпроси, видео уроци и статии върху голям набор от академични дисциплини, включително математика, биология, химия, физика, история, икономика, финанси, граматика, предучилищно образование и други. Ние предоставяме на учителите инструменти и данни, така че да могат да помогнат на учениците си да развият уменията, навиците и нагласите за успех в училище и извън него. Кан Академия е преведена на дузина езици и 100 милиона души по целия свят използват платформата на Кан Академия всяка година. За повече информация, посети bg.khanacademy.org, присъедини се към нас във Фейсбук, или ни следвай в Twitter на @khanacademy. И запомни, можеш да научиш всичко.

Безплатно. За всички. Завинаги.
#YouCanLearnAnything

Абонирай се за канала Линейна алгебра на Кан Академия: https://www.youtube.com/channel/UCGYSKl6e3HM0PP7QR35Crug?sub_confirmation=1
Абонирай се за Кан Академия България: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademybulgarian
Абонирай се за Кан Академия: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
08:07

Bulgarian subtitles

Revisions Compare revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.