피타고라스의 정리

이번에는 피타고라스 정리에 대해 배우도록 하자

물론 그 자체로도 매우 재미있지만

수학이라는 학문을 배우다보면

얼마나 모든 분야에 기본으로 작용하는지 알게 될 거야

모든 기하학에 매우 유용하고

삼각법의 뼈대야

점들의 사이의 거리를 구할 떄도

이용하게 될거야

그래서 이것을 확실하게 잘 아는 것이 매우 중요해

이제는 본론으로,

실제로 피타고라스 정리가 무엇인지 설명하도록 할게

우리에게 직각삼각형이 있다고 생각해보자

그말은 그 삼각형의 세 각 중 하나가

90도라는 것이지

그리고 이렇게 작은 네모를 그려서

이 각이 90도라는 것을 표시할 수 있지

그래서 저기에 있는 각은 (다른 색깔로 표시해볼게)

90도짜리 각이야

혹은, 직각이라고 부를 수도 있지

그리고 직각을 가지고 있는 삼각형은

직각삼각형이라고 불러

그러니까 이 삼각형은 직각삼각형이지

이제, 피타고라스 정리를 통해 만약 우리가

직각삼각형의 두 변의 길이를 안다면 언제나

세번째 변의 길이를 알아낼 수 있어

그 방법을 알려드리기 전에

용어 하나를 더 알려줄게

직각삼각형에서 가장 긴 변은 90도

또는 직각 반대쪽에 있어

그러니까 이 경우에서는 이 변이지

이 변이 가장 긴 변이야

어느 각이 직각인지 알아내려고 하면

가장 긴 변을 향해 열려있는 각이 직각인거고

가장 긴 변은 빗변이라고 불러

앞으로 이 용어는 계속 쓰일 테니까 알아두는게 좋아

자 이제 그럼 이렇게 생긴 삼각형을 가지고 있다고 해보자

좀 더 잘 그려볼게

자 다시 이렇게 생긴 삼각형이 있다고 가정해보자

그리고 여기 있는 이 각의 크기는

90도야

이 상황에서는 이 변이 빗변일거야

90도의 반대에 있으니까

이것이 가장 긴 변이지

빗변을 찾는데 익숙해져야 하니까

하나만 더 해볼께

저게 내 삼각형이고

여기가 90도야

아마 이미 어떻게 하는지 알고 있겠지만

각이 열려있는 쪽의 변이

빗변이 되는거야

그리고 그것이 가장 긴 변이지

그래서 일단 빗변을 찾은 후에

그 변을 c라고 할게

이제 우리는 피타고라스의 정리가

우리에게 무엇을 알려주는 것인지 배우도록 할게

그러니까 빗변의 길이는 C야

그래서 이걸 c라고 부를께

이 변을 A라고 하고

이 변을 B라고 합시다

피타고라스의 정리는 A의 제곱

그러니까 짧은 변 중 한개의 길이의 제곱과

다른 짧은 변의 길이의 제곱의 함이

빗변의 제곱이 같다는 것을 알려주지

이제 실제 문제에서 해보자

그리 어렵지는 않아

자 그럼 이렇게 생긴 삼각형이 있다고 하자

그려볼게

이게 내 삼각형이라고 해볼게

이렇게 생겼지

이 각이 직각이라는 것이 주어졌다고 하자

그럼 이 변이 (다른 색으로 표시 해볼게)

저기에 있는 길이는 3이고

이 변의 길이는 4야

그리고 여기 이 변의 길이를 알아내고 싶다고 하자

이제 피타고라스의 정리를 적용하기 전에

가장 먼저 해야 할 일은,

빗변이 어디인지 찾는거야

무엇을 구하려는 것인지 정확히 해야지

이 상황에서 우리는 빗변의 길이를 구하려고 할거야

우리는 빗변이 직각의 반대라는 것을 알기 때문에

이것이 빗변이라는 거를 알 수 있지

피타고라스의 정리에서 보면, 이것이 C야

이 변이 가장 긴 변이지

이제 우리는 피타고라스의 정리를
대입할 준비가 되었어

짧은 변들 중 하나이니까 4제곱 더하기

3의 제곱, 즉 다른 짧은 변의 길이의 제곱은

긴 변 (빗변)의 제곱과 같아

즉 C와 같다는 것을 알 수 있지

그러면 C에 대해서 식을 풀기만 하면 돼

4의 제곱은 4x4

16이고

그리고 똑같이 3의 제곱은 3x3

9야

이것들의 합이 C의 제곱과 같을거야

16+9의 값은?

25야

그러니까 C의 제곱은 25와 같아

그리고 양변에서 양의 루트를 씌울 수 있어

물론, 수학적으로만 본다면,

-5가 될 수 도 있겠지

하지만 우리는 거리를 계산하고 있기 때문에,

양의 근만 신경을 쓸게

그래서 양변에 루트를 씌우면

C가 5라는 것을 알 수 있어

혹은, 가장 긴 변의 길이가 5라는 것을 알 수 있지

이제 우리가 세번째 변이 무엇인지 아직 몰라도

나머지 두 변의 길이를 알려준다면

피타고라스의 정리를 사용하여 그 세번째 변을 알아낼 수 있어

다른 문제를 풀어볼게

우리 삼각형이 이렇게 생겼다고 해보자

그리고 여기는 직각이야

여기에 있는 이 변의 길이가 12이고

저기변의 길이가 6라고 하자

그리고 우리는 이 길이를 알고 싶다고 하자

아까 말했듯이 가장 먼저 할 일은

빗변을 찾는 거야

그리고 그 변은 직각의 반대편에 있는 변일거야

여기에 직각이 있어

그리고 직각의 반대편으로 가면

가장 긴 변인 빗변이 있지

그러니까 피타고라스 정리에 대해 생각해보면

A의 제곱 +B의 제곱 = C의 제곱-

c가 12라는 것을 알 수 있고

이것이 빗변이야

C의 제곱은 빗변의 제곱이잖아

그러니까 12는 C와 같다고 할 수 있지

둘 중 하나라를 A나 B라고 부르든

상관이 없어

그러니까 여기 이 변을 A로 놓을게

A는 6과 같아

그리고 여기 색칠된 B는

? 라고 하지

이제 우리는 피타고라스의 정리를 적용할 수 있어

6의 제곱과 우리가 모르는 B의 제곱의 합은

c의 제곱인

빗변의 제곱과 같아

그것은 또 12의 제곱과 같지

이제 B에 대해서 풀 수 있어

그리고 차이점을 알아채야 해

이제는 빗변에 대해서 풀고 있는 것이 아니라

짧은 변들 중 하나에 대해 출어보자

다른 문제에서는 빗변 c에 대해

출었지

그래서 A제곱+B제곱은

C의 제곱과 같고, C는 빗변이라는 것을

아는 것이 중요했어

그런데 이번에는 B를 구해보자

6의 제곱은 36이고, B의 제곱과 합하면

12의 제곱 즉 144와 같다는 것을 알아

이제 이 식의 양변에서 36을 빼 보자

소거가 되지

그러면 좌변에는 B의 제곱이 남고

우변의 144-36와 같은데 그 값은

우변은 108인거지

바로 이것이 B의 제곱과 같은거야

이제 양변에 루트를 씌워서
양의 근을 구하면

B는 108의

양의 근과 같은거지

이제 이것을 조금더 간단히 해보자

108의 루트

우리는 108을 소인수분해해서

이 값을 어떻게 간단히 나타낼 수 있는지

알아볼 거야

108은 2 x 54와

그것은 2 x 27과 같고,
또 27은 3 x 9와 같아

이제 우리는 108의 제곱근이

2곱하기 2의 제곱근

아직 다한게 아니었니

9는 3*3으로 인수분해 할 수 있어

그러니까 2x 2 x3 x 3 x 3과 같아

그리고 여기에 제곱수가 보이니까

더 깔끔하게 쓸 수 있어

이것은 피타고라스 정리에서 많이 보게될

제곱근을 간단히 하는 것의 연습이므로

여기서 해보는 것이 나쁠 건 없어

그러니까 이것은 2 x2 곱하기

3*3 곱하기 3의 루트의 값과

같아

그리고 이것이 같아

이 모든 계산을 꼭

종이에 하지 않아도 물론 괜찮아

암산을 해도 돼

이건 무엇이지?

2 x 2는 4고

4 x 9는 36이야

그러니까 36의 루트 곱하기 3의 루트고

36의 루트값은 6이야

이 식은 6루트3으로 정리 할 수 있어

그래서 B의 길이는, 108의 루트,

또는 6 곱하기 3의

제곱근이라고 할 수도 있는 거야

이것이 12, 이것이 6

그리고 루트3의 값은

1.얼마얼마가 되겠죠

그러니까 이 값은 6보다 약간 클 것입니다