CA Algebra I: Dopełnienie kwadratu

48-52, dopełnienie kwadratu

...

Zajmujemy się teraz zadaniem 48.

Powiedziane jest, że jeśli x kwadrat dodamy to x, to suma wynosi 42.

Rozpiszmy to.

Jeśli x kwadrat dodamy do x, suma będzie równa 42.

Która z poniższych wartości może być równa x?

W zasadzie chcą, żebyśmy rozwiązali to równanie.

Więc najprościej będzie rozpisać to jako równanie kwadratowe

równe 0, a potem rozłożyć je na czynniki.

Więc możemy to zapisać, jako x kwadrat plus x minus 42

równa się 0.

Więc pomyślmy.

Jakie dwie liczby, jeśli je dodam są równe 1 a jeśli je

pomnożę, są równe minus 42?

I fakt, że jeśli je mnożę i wynik wychodzi minus 42

mówi mi, że jedna z liczb musi być dodatnia a druga

musi być ujemna.

To jedyny sposób, żeby mnożąc dwie liczby

dostać liczbę ujemną.

Więc jedna z nich musi być dodatnia, a druga musi

być ujemna.

Więc jeśli dodajemy liczbę dodatnią do liczby ujemnej,

to tak naprawdę znajdujemy ich różnicę.

Więc różnica między tymi dwoma liczbami musi być równa 1,

a ich iloczyn musi być równy 42.

I zauważyłem, widząc 42 od razu

pomyślałem: o, 6 i 7.

6 razy 7 równa się 42.

Wiec jeśli dodając je mamy otrzymać wynik dodatni 1, to 7 jest

prawdopodobnie tą dodatnią, a minus 6 lub 6 jest prawdopodobnie

tą ujemną.

Więc spróbujmy.

x plus 7 razy x minus 6 jest równe 0.

I zgadza się, 7 razy minus 6 jest równe minus 42.

Tak naprawdę jest to 7x plus minus 6x równe dodatniemu x.

Albo możemy na to patrzeć jako 7 plus minus 6 jest równe

współczynnikowi przy x, który jest równy 1.

W każdym razie, to działa.

I możesz to pomnożyć i wypróbować.

I wszystko co mówię, to nie jakieś voodoo.

Powodem, dla którego mówię, że muszą się sumować do 1 jest to,

że gdy to wymnożysz, to tak właśnie

utworzysz to wyrażenie.

7 razy x plus minus 6 razy drugie x.

Właśnie to buduje to wyrażenie, po wymnożeniu.

Ta część pochodzi od x razy x.

Minus 42 pochodzi od 7 razy minus 6.

W każdym razie, teraz jesteśmy w tym miejscu.

Mowimy okej, więc jak dostaniemy-- mamy dwie rzeczy, które

po wymnożeniu są równe 0.

Więc to znaczy, że jedna z nich lub obie muszą

być równe 0.

To znaczy, że x plus 7 równa się 0, co by znaczyło

odjęcie 7 po obu stronach.

Co oznacza, że x równa się minus 7.

Lub x minus 6 równa się 0.

Dodaj 6 po obu stronach. x równa się 6. Czyli x

równa się 6 lub minus 7.

I mają tu jedną z tych opcji,

która jest odpowiedzią A.

Następny problem.

49.

Jaka liczba powinna być dodana do obu stron tego równania

aby uzupełnić kwadrat?

Więc kiedy uzupełniasz kwadrat, chcesz aby ta rzecz

wyglądała jak-- cokolwiek jest po lewej stronie,

aby wyglądało jak idealny kwadrat.

Co mam na myśli mówiąc idealny kwadrat?

Więc jeśli miałbym x plus a do kwadratu, to się równa x plus a

razy x plus a.

I to równa się x razy x, x do kwadratu.

x razy to a, więc jest to plus ax.

I teraz to a razy ten x.

Więc mamy następne ax.

Plus to a razy tamto a.

Więc plus a do kwadratu.

I to równa się x do kwadratu.

Plus - mamy ich teraz dwa - plus 2ax plus a do kwadratu.

Więc właściwie chcemy tego, chcemy, aby lewa strona

miała tę formę.

Więc mówimy, że to jest idealny kwadrat.

Możemy powiedzieć, że to to samo, co x plus a do kwadratu.

Więc pomyślmy jak możemy to zrobić.

Jeśli mamy x do kwadratu minus 8x równa się 5 i dam tu

przerwę specjalnie, ponieważ chcemy dodać

lub odjąć coś, żeby wyglądało to jak idealny kwadrat.

Więc pomyśl nad tym.

Kiedy mamy tę formę, to żeby ta rzecz była

idealnym kwadratem, to jakikolwiek współczynnik tu mamy,

to wyrażenie tutaj musi się równać połowie tego, do kwadratu

a do kwadratu jest połową 2a do kwadratu.

Więc jeśli weźmiemy połowię z minus 8, jest to minus 4.

W tym wypadku, jeśli powiemy, że 2a jest równe 8, to a

będzie się równało minus 4.

A więc minus 4 do kwadratu czemu się równa?

Jest to plus 16.

I to jest równanie.

Zatem to, co robisz po jednej stronie równania, musisz zrobić

po drugiej stronie równania.

Więc musisz powiedzieć, że to też jest równe.

Więc musisz dodać 16 po obu stronach.

W przeciwnym razie zmienisz równanie.

Teraz to na szczęście rozpoznajesz już jako

idealny kwadrat.

Możesz spojrzeć na ten wzór tutaj albo możesz

powiedzieć OK, jeśli dodam minus 4 do siebie dwa razy, to otrzymam minus 8.

Jeśli pomnożę to przez siebie, to dostanę 16.

Więc to jest x minus 4 do kwadratu.

To jest równe 25.

I właściwie, jeśli jesteś ciekaw-- robiliśmy to w

Khan Academy, zrobiliśmy kilka filmów o tym--

w ten sposób udowadniasz równanie kwadratowe.

W zasadzie uzupełniasz kwadrat dowolnymi liczbami

a, b i c, i otrzymujesz równanie kwadratowe.

I wiesz, pokazujemy to w 10 minut, więc nie jest to

niemożliwie trudna rzecz do zrozumienia.

Oni chcą tylko wiedzieć, co dodajesz do obu stron

tego równania?

Jaką liczbę należy dodać do obu stron tego równania,

żeby uzupełnić kwadrat?

Odpowiedzią jest 16.

Ale równie dobrze mogliby powiedzieć: rozwiąż to przez

uzupełnienie kwadratu.

I powiedziałbyś och, x minus 4 równa się 25.

Więc x minus 4 równa się plus lub minus 5.

I wtedy możesz powiedzieć: x równa się plus lub

minus 5 plus 4.

Wtedy mówisz: OK, to jest 4 plus

dodatnie 5 jest 9.

4 plus minus 5 jest-- lub minus 1.

W każdym razie nie zapytano nas o to, więc nie musimy

spędzać zbyt wiele czasu na myśleniu o tym.

...

Zobaczmy, jesteśmy na zadaniu 50.

Niech spojrzę, zadanie 50.

Skopiuję i wkleję 50 i 51.

W porządku, jakie są rozwiązania równania

kwadrtowego x kwadrat plus 6x równa się 16?

Pokusa jest taka, żeby próbować rozwiązać

to w sposób, w jaki robisz równania liniowe.

Nie wiem, wyłączyć x i-- nie wiem,

zrobić cokolwiek innego.

Ale ważne jest rozpoznanie tego, że jest to

równanie kwadratowe.

I najprostszym sposobem rozwiązania go jest przeniesienie wszystkich czynników

na jedną stronę i otrzymanie 0 po drugiej.

Następnie rozkładasz na czynniki, albo używasz

właściwego równania kwadratowego.

Albo uzupełniasz do kwadratu, cokolwiek należy zrobić.

Więc odejmijmy 16 od obu stron.

Dostajesz x kwadrat plus 6x minus 16 równa się 0.

Tylko odjąłem 16, żeby to otrzymać.

I przed przeskoczeniem do równania kwadratowego,

zobaczmy czy możemy rozłożyć to przez sprawdzenie.

Jakie dwie liczby, jeśli je dodam, równają się 6-- chcemy

dodatnie 6-- a kiedy je pomnożę równają się 16?

Jeszcze raz, ponieważ jest to minus 16, jeśli pomnożysz dwie

liczby, dostaniesz liczbę ujemną.

Muszą one mieć przeciwne znaki.

Jedna musi być dodatnia, a jedna ujemna.

A ich różnicą będzie 6, ponieważ jedna jest dodatnia

a jedna ujemna.

Pomyślmy o tym.

Jeśli mam minus-- w istocie, suma 8 i 2 równa się 16.

I różnica pomiędzy nimi to 6.

Więcej jeśli dodałbym 8 i odjął 2 -- prawda.

Dodatnie 8 i ujemne 2 daje dodatnie 6.

Więc jest to x plus 8 razy x minus 2.

To naprawdę zabiera mnóstwo ćwiczenia.

Powiesz, ok, jakie dwie liczby?

16.

Ok.

8 i 2.

Jednak one muszą mieć różne znaki.

Ale mam tu dodatnią, więc którakolwiek większa

liczba prawdopodobnie będzie dodatnią.

Więc plus 8 i minus 2.

Tak, kiedy je dodasz, równają się minus 6.

To działa.

Więc robisz to równym 0.

I mowisz: Ok, to musi być równe 0, albo tamto musi być

równe 0.

Więc x równa się też minus 8.

Jeśli powiesz, że x plus 8 równa się 0 wtedy odejmij 8 od obu

stron, i dostaniesz, że x równa się minus 8.

Nie powinienem omijać tego kroku, ale

Zrobię krok tutaj.

Lub możesz powiedzieć x minus 2 jest równe 0.

Dodać 2 do obu stron i dostaniesz x równy 2.

Jaki x czyni ten wyraz równym 0?

Możesz na to spojrzeć przez sprawdzenie.

Więc x może być albo minus 8, albo 2, a to jest odpowiedź C.

Zadanie 51.

Leanne prawidłowo rozwiązała równanie x kwadrat plus 4x

równa się 6 przez dopełnienie kwadratu.

Które równanie jest częścią jej rozwiązania?

Ok, ta sama rzecz.

x kwadrat plus 4x.

A kiedy dopełnisz kwadrat dodasz

coś tutaj.

Dlatego zostawiam małe puste pole.

Jest równe 6.

Więc co mógłbym tu dodać, żeby to wyrażenie wyglądało

jak idealny kwadrat?

Idziemy za wzorem, który robiliśmy

kilka zadań temu.

Cokolwiek tu będzie, powinno być kwadratem z połowy tego.

Więc 4-- połową z tego jest 2.

2 do kwadratu to 4.

Więc powinienem dodać 4 do tej strony.

Jeśli dodaję 4 do tej strony, muszę też dodać 4 do

tamtej strony.

I teraz to 2 plus 2 jest równe 4.

2 razy 2 jest równe 4.

Więc to jest x plus 2 kwadrat.

Chciałbym, żebyś załapał intuicję.

Nie zapamiętuj kroków dopełniania kwadratu.

Chcę, żebyś zrozumiał dlaczego tak jest.

To jest kwadrat połowy tamtego.

Pokazaliśmy to na początku.

Podnieś do kwadratu wiele dwumianów i zobaczysz, że

zawsze będzie jakiś przypadek.

W każdym razie, to jest x plus 2 kwadrat.

To będzie równe-- 6 plus 4 jest równe 10.

A to jest odpowiedź B.

................

Sądzę, że mamy czas na jeszcze jedno.

Jeszcze jedno zadanie, zadanie 52.

Skopiowałem i teraz wkleiłem.

Carter rozwiązuje równanie przez rozkład na czynniki.

Które równanie może być jednym z jego prawidłowych czynników?

Jeszcze raz, chcę osobiście oddzielić

liczbę, która przechodzi w nie wszystkie.

A one wszystkie są podzielne przez 5.

I to upraszcza się w mojej głowie.

Więc jeśli podzielę wszystkie przez 5-- właściwie, mógłbym po prostu

podzielić obie strony tego równania przez 5.

0 dzielone przez 5 daje 0.

Wtedy lewa strona podzielona przez 5 daje 2x

do kwadratu minus 5x plus 3 równa się 0.

Więc jeśli to jest 2x kwadrat, to będą dwie

liczby, pomnożone będą równać się 3-- więc

właściwie pomyślmy o tym.

Właściwie, zapiszę to tutaj ponieważ sądzę, że będziemy potrzebowali

więcej miejsca.

2x kwadrat minus 5x plus 3 równa się 0.

Właśnie podzieliłem obie strony równania

przez 5, żeby to dostać.

Zobaczmy, co możemy tu zrobić.

Mamy tu 2x kwadrat i już dali nam jakiś rodzaj

wskazówki, że będziemy mieli rozwiązanie w postaci liczby całkowitej,

więc możemy to rozłożyć na czynniki.

Intuicja mówi, że to będzie 2x razy-- wiesz

dodać coś.

Dodać a.

Razy-- no właśnie, razy ile?

Razy prawdopodobnie x, prawda?

2x razy x to 2x do kwadratu.

Teraz nie byłoby to kompletnie oczywiste, gdyby

nie powiedzieli nam, że możemy znaleźć temu czynniki.

Mógłbyś użyć

równania kwadratowego albo czegoś takiego.

Właściwie równanie kwadratowe nie byłoby czymś

szalonym do użycia tutaj, ponieważ możesz po prostu

wsadzić dane i dostać wynik.

Ale zobaczmy, czy możemy dostać to intuicyjnie.

To będzie 2x plus coś razy x plus

coś innego.

Jeśli to wymnożymy, dostaniemy 2x razy x to jest 2x

kwadrat, tak jak powinno być.

2x razy b to jest plus 2bx.

a razy x to jest plus ax.

a razy b to jest plus ab.

I zobaczmy, co dostaliśmy.

............

Więc plus 2b plus ax plus ab.

2x kwadrat.

Ok, teraz możemy dopasować do wzoru.

To była oryginalna rzecz.

Więc 2 razy b plus a musi być równe-- to wyrażenie jest

tą samą rzeczą co to wyrażenie tutaj.

A tamo wyrażenie musi być tą samą rzeczą,

to tamto wyrażenie.

Najpierw, mam tutaj dodatnie 3.

Mnożę dwie liczby, żeby dostać dodatnie 3.

Obie muszą być albo dodatnie albo ujemne.

Wtedy inną ciekawostką jest to, że mamy-- jeśli wezmę

2 razy jedno z nich plus jakieś inne,

dostanę liczbę ujemną.

Więc jedynym sposobem na poradzenie sobie z liczbami ujemnymi,

i kiedy po prostu pomnożysz to razy dodatnia i dodasz je

do siebie, dostaniesz inną liczbę ujemna, inaczej niż gdyby

obie były ujemne.

Powiedzieli nam, że obie muszą być ujemne

ponieważ to jest dodatnia.

I wtedy, jeśli dodasz je bez żadnych ujemnych

znaków, dostaniesz liczbę ujemną, to mówi ci, że tamta

też musi być ujemna.

Zobaczmy.

Spróbujmy 3-- minus 3 i minus 1.

Jeśli minus 3 i minus 1.

Masz rację.

Tak.

Jeśli b równa się minus 2 i a równa się minus 3, wtedy 2

razy minus 1 to minus 2.

Minus 3.

Dobrze, więc b równa się minus 2 i a równa się minus 3.

To jest kawałek sztuki.

Mam na myśli, że to nie jest tak, że wrzucasz dane, wychodzi wynik, taki mechaniczny sposób

rozwiązania tego.

Równanie kwadratowe jest jest jednym ze sposobów, ale to jest najlepszy sposób, jaki

ostatecznie, znam, żeby rozwiązać to bez niego.

Więc, wiemy jakie jest a i b.

To jest 2x-- a to minus 3.

2x minus 3 razy x plus b. b to minus 1.

Więc to jest rozkład na czynniki.

2x minus 3 razy x minus 1, który?

Mają taki, ten tutaj.

2x minus 3.

I skończył mi się czas.

Do zobaczenia w następnym filmie.