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Jetzt, da wir ein uns etwas mit Vektoren und Skalaren auskennen, ...
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... lass uns versuchen das auch an zu wenden.
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Zum Beispiel auf Standard-Probleme, die du schon im Physik-Unterricht gehabt haben wirst.
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Die aber auch im alltäglichen Leben stattfinden.
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Wenn du zum Beispiel herausfinden möchtest wie schnell du warst oder
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wie schnell du gerade gehst oder wie lang es dauern wird, bis du an einem bestimmten Ort bist.
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Erstes Beispiel: Wenn Shantanu in 1 Stunde in seinem Auto 5 km nach Norden zurücklegt,
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wie groß wäre dann seine durchschnittliche Geschwindigkeit?
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Dazu erinnern wir uns daran, was wir bereits über Vektoren und Skalare wissen.
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Es ist gegeben, dass er sich 5 km nach Norden bewegt.
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Also haben wir einen Wert: die 5 km.
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Das ist die Größe des Wertes wie weit er sich bewegt hat.
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Und es ist auch eine Richtung gegeben ...
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Er bewegt sich 5 km (Distanz ist ein Skalar) ...
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Aber da auch eine Richtung gegeben ist, hast du hier eine Verschiebung.
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Deshalb ist das hier eine vektorielle Größe.
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Er hat sich um 5 km in Richtung Norden verschoben ...
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... und das in einer Zeit von 1 Stunde in seinem Auto.
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Wie groß war seine durchschnittliche Geschwindigkeit?
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Bei der Geschwindigkeit gibt es mehrere Wege sie zu definieren ...
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Aber nochmal: Geschwindigkeit ist eine vektorielle Größe.
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Wir unterscheiden zwischen vektoriellen und skalaren Größen,
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indem wir einen kleinen Pfeil über den den Buchstaben des Vektors schreiben.
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Normalerweise werden sie fett geschrieben ...
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... und haben eben einen Pfeil über sich, ...
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... was für dich bedeutet, ...
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... dass wir uns nicht nur für den Wert oder die Größe dieses Dings interessieren ...
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... sondern auch für dessen Richtung.
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Der Pfeil an sich zeigt keine Richtung an; sondern nur, dass es eine vektorielle Größe ist.
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Also: Die Geschwindigkeit von irgendwas ist seine Verschiebung ...
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... inklusive der Richtung dieser Verschiebung.
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Du kannst also sagen, dass die Verschiebung ...
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...der Buchstabe hierfür ist ein kleines "s" ...
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... eine vektorielle Größe ist.
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Das hier ist also die Verschiebung.
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Vielleicht fragst du dich jetzt: ...
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Warum nehmen wir nicht ein kleines "d" für die Verschiebung?
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Immerhin ist es der Anfangsbuchstabe von "displacement" [auf deutsch: Verschiebung].
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Ich denke das liegt daran, ...
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... und dass wirst du auch bemerken wenn du mit der Analysis beginnst, ...
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... dass das "d" dort für etwas ganz anderes ....
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... nämlich für die Ableitung benutzt wird.
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Damit wir also bei all den d's nicht durcheinanderkommen ...
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... benutzen wir ein "s" um die Verschiebung dar zu stellen.
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Falls jemand eine bessere Erklärung dafür hat, ...
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könnt ihr sie gern in die Kommentare dieses Videos posten ...
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... und ich mache dazu dann ein neues Video.
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Die Geschwindigkeit ist also Verschiebung geteilt durch Zeit.
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Wenn ich eine analoge Gleichung für skalare Größen machen möchte, ...
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... schhreibe ich einfach Schnelligkeit ...
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... ich werde es ausschreiben, damit du es nicht mit dem kleinen "s" von Verschiebung verwechseln kannst, ...
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... oder ich schreibe einfach "rate" ...
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... ein anderes englisches Wort für Schnelligkeit.
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Das hier ist also die Verktor-Version, ...
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... wenn einen die Richtung interessiert.
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Sollte die dich aber nicht interessieren ...
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... würde man schreiben: "rate"
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... das hier ist "rate" ... oder eben Schnelligkeit ...
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... ist gleich der Entfernung, die du zurückgelegt hast, ...
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... Entfernung die du zurückgelegt hast, ...
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... geteilt durch eine Zeitangabe.
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Diese beiden hier, ...
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... du kannst sie Formeln ...
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... oder Definitionen nennen ...
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... auch wenn ich finde, dass sie für dich sehr intuitiv sein werden.
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Um zu sagen, wie schnell sich etwas bewegt, ...
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... sagst man, wie weit es sich bewegt hat und in welcher Zeit das passiert ist.
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Diese beiden sagen im Kern das gleiche aus.
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Diese hier brauchst du, wenn dich die Richtung interessiert ...
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... deswegen benutzt du vektorielle Größen.
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Diese hier bnutzt du, wenn die Richtung nicht so wichtig ist ...
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... deswegen benutzt du hier die Entfernung, die ja skalar ist ...
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... und du benutzt die Schnelligkeit, die auch ein Skalar ist.
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Und hier benutzt du stattdessen die Verschiebung und die Geschwindigkeit.
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Jetzt, da wir das geklärt haben ...
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... lass uns herausfinden, wie groß seine Durchschnittsgeschwindigkeit war.
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Und das Wort "Durchschnitt" ist ist besonders interessant, ...
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... da es sein kann, dass sich die Geschwindigkeit verändert hat, ...
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... während der gesamten Fahrt.
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Aber der Einfachheit halber ...
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... nehmen wir an, ...
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... das sie konstant war.
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Wir berechnen also die Durchschnittsgeschwindigkeit.
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Aber das brauch' dich erstmal nicht weiter interessieren.
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Du kannst einfach annehmen, dass es sie sich während der gesamten Zeit nicht geändert hat.
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Also ... seine Geschwindigkeit ist ...
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... seine Verschiebung entsprach 5 km nach Norden ...
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Also ist seine Verschiebung 5 km ...
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... ich schreibe nur ein großes "N" ...
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Ach naja, ich werd's ausschreiben ...
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... 5 km nach Norden.
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Geteilt durch die Zeit, die er dafür benötigte.
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Um das nochmal klar zu machen ...
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... das hier bedeutet Veränderung der Zeit.
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Manchmal ...
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... -das hier ist auch die Veränderung der Zeit- ...
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... manchmal steht da nur ein "t".
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Manchmal wirst du auch ein kleines Dreieick davor sehen, ...
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... den Buchstaben "Delta" ...
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Der bedeutet: Veränderung.
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Das sieht erstmal nach origineller Mathematik aus ...
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... bedeutet aber einfach nur "Veränderung", dieses kleine Dreieick davor.
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Das hier ist also Veränderung der Zeit.
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Er bewegt sich 5 km nach Norden ...
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... wofür er 1 Stunde braucht.
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Die Veränderung der Zeit war also 1 Stunde.
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Das schreibe ich mal hier hin.
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... durch 1 Stunde ...
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Das hier ist also gleich ...
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... wenn man sich nur den Teil mit den Zahlen ansieht ...
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... ist das 5 durch 1 ...
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... ich schreib' das mal aus ... 5 durch 1 ...
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... Kilometer ...
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... und die Einheiten kann genauso behandeln wie die Werte in einem Bruch.
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5 durch 1 Kilometer pro Stunde.
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Und dann noch ... nach Norden.
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Oder du könntest sagen, dass es das gleiche ist wie ...
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... 5 Kilometer pro Stunde nach Norden.
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Das hier ist also 5 Kilometer pro Stunde nach Norden.
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Das ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit!
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5 Kilometer pro Stunde ...
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... und du musst gut aufpassen ...
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... du musst mit angeben, dass es nach Norden geht, wenn du von Geschwindigkeit sprichst.
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Wenn man nur sagen würde: "5 Kilometer pro Stunde" ...
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... wäre das nur eine Schnelligkeit ...
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... oder ein Tempo ...
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... eben eine skalare Größe.
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Du musst immer die Richtung mit angeben, wenn es eine vektorielle Größe sein soll.
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Du könntest die gleiche Rechnung machen, wenn man dich fragt: ...
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... Wie groß war seine durchschnittliche Schnelligkeit in dieser Zeit?
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Dann kannst du sagen: ...
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... "Naja, seine durchschnittliche Schnelligkeit ist die Entfernung, die er zurückgelegt hat, ...
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... uns interessiert die Richtung diesmal nicht ...
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... das wären 5 km ...
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... und er schaffte es in 1 Stude.
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Seine Veränderung der Zeit war 1 Stunde.
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Das ist also das gleiche wie 5 Kilometer pro Stunde.
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Nochmal: ...
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... Hier geben wir nur den Wert an.
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Das ist eine skalare Größe.
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Wenn du einen Vektor haben möchtest, musst du auch "Norden" mit angeben.
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Du könntest jetzt sagen: ...
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... Hey, im vorherigen Video ...
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... haben wir immer im Verhältnis von Metern pro Sekunde gesprochen.
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Hier sind es aber Kilometer ...
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... Kilometer pro Stunde.
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Was wäre, wenn jemand es in Metern pro Sekunde angegeben haben möchte?
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Oder wenn jemand einfach nur verstehen möchte, wieviele Meter er sich in einer Sekunde bewegt?
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Und schon haben wir ein Einheiten-Umrechnungs-Problem.
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Ich denke es wird nicht schaden, wenn wir das hier auch gleich lösen.
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Wenn wir also das hier in Metern pro Sekunde haben wollen, ...
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... Wie würden wir das machen?
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Nun ja, als erstes, müssten wir uns überlegen, wieviele Meter wir in 1 Stunde zurückgelegt haben.
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Wir nehmen also die 5 km pro Stunde ...
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... und wollen sie in Meter umrechnen.
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Also brauche ich Meter im Zähler ...
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... und Kilometer im Nenner.
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Das mache ich, ...
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... weil sich dann die km mit den km rauskürzen.
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Nur wieviele Meter hat denn nun 1 Kilometer?
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Nun, es sind 1000 Meter in jedem Kilometer.
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1000 Meter je Kilometer ...
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... die ich dann hier einsetze, damit sich die Kilometer rauskürzen.
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Diese beiden kürzen sich also raus.
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Wenn du jetzt multiplizierst bekommst du 5 ...
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... die einzige Einheit die du hier noch hast ...
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... oh, es sind ja 5000 ...
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... du hast ja 5 mal 1000 ...
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... dann ist das hier ... ich schreib' das mal hier hin ...
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... 5 mal ... am besten in der gleichen Farbe ...
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... 5 mal 1000. Ich multipliziere also einfach die Zahlen.
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Wenn du etwas multiplizierst, kannst du auch die Reihenfolge verändern.
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Denn Multiplikation ist kommutativ ...
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... ich habe immer Probleme, das in assoziativ aus zu sprechen ...
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... dann noch die Einheiten ...
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... im Zähler hast du Meter ...
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... und im Nenner hast du Stunden.
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Meter pro Stunde.
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Damit ist das hier also 5000 Meter pro Stunde.
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Du könntest jetzt sagen: ...
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... Hey Sal, ... das kann ich im Kopf ...
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... Ich weiß das 5 km das gleiche ist wie 5000 Meter.
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Ich könnte das im Kopf rechnen.
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Und das könntest du wahrschenlich auch.
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Aber dieses Kürzen von Größenordnungen ...
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... - im englischen auch "dimensional analysis" genannt - ...
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... könnte noch nützlich werden, sobald man mit wirklich sehr schweren Dingen zu tuen bekommt ...
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... mit weniger intuitiven Einheiten als die hier benutzten.
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Auf jeden Fall solltest du immer eine Schätzprobe machen.
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Du weißt bereits, dass 5 km in einer Stunde ein Haufen an metern sein müssen, richtig?
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Also solltest du eine größere Zahl herausbekommen, wenn du von Metern pro Stunde sprichst.
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Und wenn du jetzt noch zu Sekunden umrechnest ...
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... lass uns erstmal eine Schätzprobe machen.
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Wenn etwas ein gewisses Stück in einer Stunde zurücklegt ...
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... sollte es sich wesentlich weniger weit in einer Sekunde bewegen ...
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... oder genauer gesagt 1/3600-stel einer Stunde ...
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... weil nämlich soviele Sekunden in ener Stunde sind.
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Das ist deine Schätzprobe. Wir sollten eine kleinere Zahl als diese hier bekommen ...
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... wenn wir von Metern pro Sekunde sprechen wollen.
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Aber lass es uns einfach ausrechnen.
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Wir wollen also, dass sich die Stunden rauskürzen und dass Sekunden im Nenner überbleiben.
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Der beste Weg die Stunden aus dem Nenner zu kürzen ...
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... ist Stunden auch im Zähler zu haben.
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So, dass du Stunden pro Sekunde hast.
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Wieviele Stunden sind denn in einer Sekunde?
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Oder anders gesagt: ...
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... eine Stunde - denken wir lieber an die größere Einheit - ...
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... eine Stinde besteht aus wievielen Sekunden?
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Nunja, es sind 60 Sekunden in einer Minute ...
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.... mal 60 Minuten pro Sekunde ...
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... die Minuten kürz... oh, Sorry! ... mal 60 Minuten pro Stunde wäre richtig ...
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die Minuten kürzen sich raus ...
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... 60 mal 60 ist 3600 ...
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... Sekunden pro Stunde.
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Oder wenn es du es vertauschst ...
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... kannst du sagen, dass 3600 Sekunden in jeder Stunde sind.
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Oder wenn du das jetzt vertauschst bekommst du ...
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... 1/3600-stel Stunden pro Sekunde.
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Oder Stunden je Sekunde; je nach dem, wie man es sieht.
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Eine Stunde ist also das gleiche wie 3600 Sekunden.
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Jetzt kürzen sich die Stunden mit den Stunden hier raus ...
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... and dann multiplizierst - oder dividierst entsprechend - diese Zahlen hier.
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Das macht dann ... das hier ist gleich 5000 durch 3600 ...
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... Meter pro ... alles was noch im Nenner ist, ist Sekunden ...
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... Meter pro Sekunde.
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Und wenn wir beide dividieren, den Zähler und den Nenner ...
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Ich könnte das jetzt per hand machen, aber da das Video ohnehin schon etwas lang geworden ist ...
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... nehme ich mal den guten Taschenrechner zu Hilfe ...
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... nur um etwas Zweit zu sparen ...
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... 5000 geteilt durch 3600 ...
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... was genau das gleiche sein sollte wie 50 durch 36 ...
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... es ist 1,3 ... ich runde das mal hier .... 1,39.
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Damit wäre das gleich 1,39 Meter pro Sekunde.
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Also hat sich Shantanu sehr langsam in seinem Auto bewegt.
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Gut, das wussten wir schon als wir uns diese Zahl hier angesehen haben.
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5 km pro Stunde ist wirklich langsam ... als würde das Auto sehr langsam rollen.
