Proof: U=(3/2)PV or U=(3/2)nRT

Tôi đã nhiều lần nói với bạn
rằng chữ U lớn, in hoa là

nội năng của một hệ.

Và nó là mọi thứ ở trong đó.

Nó là động năng của các phân tử.

Nó có thế năng nếu
các phân tử đang dao động.

Nó có hóa năng của các liên kết.

Nó có thế năng của
các êlectron mà muốn đi tới

đâu đó.

Nhưng, vì lợi ích của ta,
và đặc biệt nếu ta đang ở

trong khóa giới thiệu hóa học,
vật lý, hoặc nhiệt động học,

hãy giả dụ ta đang nói về một hệ

là khí lí tưởng.

Và hay hơn nữa, nó thuộc một
dạng khí đơn nguyên tử.

Vậy mọi thứ trong hệ của tôi là
các nguyên tử cá nhân. Vậy

trong trường hợp đó, năng lượng
duy nhất trong hệ sẽ là

động năng của mỗi hạt này.

Vậy điều mà tôi muốn làm
trong video này-- nó sẽ trở nên

hơi toán học chút, nhưng tôi nghĩ
nó sẽ thỏa mãn được cho

những bạn bám theo nó--
là tìm hiểu mức nội năng

có trong một hệ với áp suất,

dung tích, hoặc nhiệt độ nhất định.

Vậy chúng ta muốn liên hệ
áp suất, dung tích, hoặc nhiệt độ với

nội năng.

Để ý tất cả video ta đã làm tới bây giờ,
tôi chỉ nói

điều gì đã thay đổi trong nội năng.

Và chúng tôi liên kết điều đó với
nhiệt được thêm vào hoặc lấy đi từ

một hệ, hoặc một việc đã làm, được làm,

hoặc làm bởi một hệ.

Nhưng giờ, hãy giả dụ là trước khi ta
làm việc hoặc nhiệt gì,

làm sao để biết ta có
bao nhiêu nội năng ở

trong một hệ?

Để làm điều này, hãy thử
làm một chút thí nghiệm

tưởng tượng.

Tôi sẽ đơn giản hóa nó một chút ở đây.

Nhưng tôi nghĩ bạn sẽ thấy nó OK,
hoặc là khá thỏa đáng.

Vậy hãy cho là-- để tôi sẽ vẽ nó--
tôi có một khối hộp.

Và điều gì đó nói với tôi
rằng tôi có thể đã làm việc

chứng minh giả này trong danh sách
khám phá rồi. Tuy nhiên, tôi không

nghĩ tôi đã liên hệ
trực tiếp tới nội năng.

Nên tôi sẽ làm điều này ở đây.

Hãy cho rằng hệ của tôi là khối hộp này.

và giả dụ các chiều của khối hộp

là x trên tất cả mọi hướng.

Vậy nó là cao x, rộng x, và sâu x.

Vậy thể tích của nó,
dĩ nhiên, là x tới thứ 3.

Hãy cho là tôi có n hạt trong

hệ, N in hoa.

Tôi cũng có thể viết n mol
in thường, nhưng hãy giữ

cho nó đơn giản.

Tôi có N hạt.

Và chúng đều đang làm việc sẽ làm.

Giờ, đây là lúc tôi sẽ làm phần lớn

đơn giản hóa.

Nhưng tôi nghĩ nó hợp lý.

Vậy trong một hê thông thường, mọi hạt,
và ta đã làm điều này

rồi, nó chỉ nảy ra mọi phía, mọi

hướng ngẫu nhiên có thể.

Và điều đó, khi chúng nảy khỏi mỗi

các mặt, nó tạo ra áp suất.

Và chúng luôn va vào nhau, vân vân, vân

vân, ở tất cả
các hướng ngẫu nhiên.

Giờ, vì sự đơn giản hóa của
tính toán của chúng ta,

và để có thể làm được nó trong
một khoảng thời gian hợp lý,

tôi sẽ làm một phép giả dụ.

Tôi sẽ giả dụ là 1/3 của

các hạt đang đi--
1/3 của các hạt đang đi

song song với các trục.

Vậy 1/3 của các hạt
đang đi về hướng này, tôi

đoán ta có thể nói là, từ trái qua phải.

1/3 của các hạt đang đi lên và xuống.

Và rồi 1/3 của các hạt đang đi tới và lui.

Giờ, ta biét rằng đây không phải
điều xảy ra trong thực tế, nhưng

nó làm cho phép toán của
ta đơn giản hơn rất nhiều.

Và nếu bạn thực sự làm thống kê cơ học

đằng sau tất cả các hạt
đi theo mọi hướng, bạn

thực ra sẽ nhận được kết quả giống vậy.

Thêm vào đó, tôi cho rằng
nó là sự toàn diện

đơn giản hóa.

Có một cơ hội vô cùng nhỏ
là chúng ta thực sự

rơi vào một hệ mà đã
chính là hoàn cảnh này rồi.

Và ta sẽ nói một chút
về entropi và tại sao

nó là một xác suất nhỏ như vậy.

Nhưng điều này thực ra
có thể là hệ của ta.

Và hệ này sẽ tạo áp suất.

Và nó làm cho phép toán
của ta đơn giản hơn rất nhiều,

Nên thêm vào đó, hãy nghiên cứu hệ này.

Vậy hãy nhìn từ hướng mặt ngang.

Hãy nhìn vào hướng mặt ngang ở ngay đây.

Và hãy nghiên cứu một hạt.

Có lẽ tôi đã nên làm nó màu xanh là.

Nhưng hãy cho là tôi có một hạt.

Nó có vài khối, m, và chút vận tốc, v.

Và đây là một trong những
hạt N thủ đô trong hệ của tôi.

Nhưng điều mà tôi đang
tò mò là bao nhiêu áp suất

mà hạt đó tác động tới
bức tường này ở đây?

Chúng ta biết khu vực của
bức tường này là gì, đúng không?

Khu vực của bức tường này là x nhân x.

Vậy nó là khu vực x bình phương.

Bao nhiêu lực đang được
tác động bởi hạt này?

Hãy nghĩ về nó theo cách này.

Nó đang tiến về trước,
hoặc trái qua phải như thế này.

Và lực sẽ được tác động khi
nó thay đổi chuyển động của nó.

Tôi sẽ xem lại chút
về động lực ở đây.

Ta biết rằng lực bằng khối nhân gia tốc.

Ta biết rằng gia tốc có thể
được viết như, cũng là bằng

khối nhân, thay đổi của
vận tốc qua thời gian.

Và, dĩ nhiên, ta biết rằng
nó có thể được viết lại là

bằng với-- khối là một
hằng số và không thay đổi

với vật lý mà ta làm việc với--
nên nó là delta.

Ta có thể đặt điều đó
vào trong sự thay đổi.

Vậy nó là delta mv chia
thay đổi qua thời gian.

Và đây chỉ là thay đổi
trong mô men, đúng không?

Nên đây là bằng thay đổi trong mô men
chia thay đổi qua thời gian.

Vậy đó là một cách khác để viết lực.

Rồi sự thay đổi trong mô men sẽ là gì

cho hạt này?

Nó sẽ va vào bức tường này.

Ở hướng này, bây giờ, nó có chút mô men.

Mô men của nó bằng mv.

Và nó sẽ va vào bức tường này, và nó sẽ

này ngay lại.

Và mô men của nó sẽ là gì?

Nó sẽ có khối tương tự

và vận tốc tương tự.

Ta sẽ giả dụ nó là
một va chạm đàn hồi.

Không có gì bị mất cho nhiệt
hay bất kì cái gì khác.

Nhưng vận tốc lại ở hướng khác.

Vậy mô men với sẽ là âm mv, bởi vì

vận tốc đã thay đổi phương hướng.

Giờ, nếu tôi tiến vào với
một mô men của mv, và tôi nảy

ra với một mô men của âm mv,

thay đổi trong mô men của tôi là gì?

Thay đổi của tôi trong mô men,
từ cú nảy đó, là bằng với--

sự khác biệt giữa hai cái này,

là chỉ 2mv.

Giờ, cái đó không cho tôi lực.

Tôi cần biết sự thay đổi trong
mô men của mỗi đơn vị thời gian.

Vậy điều này xảy ra
thường xuyên không?

Thường xuyên như thế nào?

Nó sẽ xảy ra mỗi lần ta tới đây.

Ta sẽ va vào bức tường này.

Rồi hạt sẽ di chuyển tới đây, nảy

khỏi bức tường đó, rồi quay lại

đây và đâm vào nó lần nữa.

Nên đó là mức độ thường xuyên
mà nó sẽ xảy ra.

Vậy khoảng nghỉ mà chúng ta sẽ phải đợi
là bao lâu giữa những

cú va chạm?

Hạt sẽ phải đi x quay lại.

Nó sẽ va.

Nó sẽ phải di chuyển x về phía bên trái.

Quãng đường này là x.

Để tôi làm cái này một màu khác.

Quãng đường này ở đây là x.

Nó sẽ phải di chuyển x để quay lại.

Rồi nó sẽ phải di chuyển x về.

Vậy nó sẽ phải di chuyển
2x quãng đường.

Vậy nó sẽ mất bao lâu
để di chuyển 2x quãng đường?

Thời gian, delta T, là bằng với,
chúng ta biết điều này.

Quãng đường bằng tốc độ nhân thời gian.

Hoặc nếu ta chia quãng đường cho tốc độ,
chúng ta sẽ có được khoảng

thời gian mà ta đã mất.

Đây chỉ là công thức chuyển động
cơ bản của chúng ta.

Delta T của ta,
quãng đường ta phải

di chuyển là tới và lui.

Vậy nó là 2x chia cho--
tốc độ của chúng ta là gì?

Tốc độ của ta chính là vận tốc.

Chia cho v.

Vậy là xong.

Nên đây là delta T của chúng ta ở đây.

Vậy sự thay đổi của ta trong
mô men qua thời gian bằng với hai lần

mô men tới của chúng ta.

Bởi vì ta nảy lại với
đại lượng tương tự, nhưng

mô men âm.

Vậy đó là sự thay đổi
trong mô men của ta.

Và sự thay đổi qua thời gian
là giá trị này ở đây.

Nó là tổng quãng đường
ta phải di chuyển giữa

sự va chạm của bức tường này,
chia cho vận tốc của chúng ta.

Vậy nó là, 2x chia cho v,
cũng là bằng với 2mv nhân

với đảo ngược lại của cái này--
đây chỉ là phân số

toán học-- v trên 2x.

Và cái này bằng với gì?

Cái hai được bỏ đi.

Vậy nó bằng mv bình phương, trên x.

Thú vị thật.

Chúng ta đang tới đoạn khá thú vị rồi.

Và nếu có vẻ không thú vị lắm,
hãy kiên nhẫn với

tôi một chút.

Giờ, đây là lực mà đang được
áp dụng bởi một hạt, chính là

-- lực từ một hạt lên bức tường này.

Giờ, khu vực đó là gì?

Ta quan tâm tới áp suất.

Chúng ta viết nó lên đây.

Áp lực bằng với lực mỗi khu.

Vậy đây là lực của hạt đó.

Nên nó là mv bình phương trên x, chia cho

khu vực của bức tường.

Vậy khu vực của bức tường là gì?

Khu vực của bức tường
ở đây, mỗi cạnh là x.

Vậy nếu ta vẽ bức tường ở đây,
nó sẽ là x nhân x.

Nên nó là x bình phương.

Vậy chia cho khu vực
của bức tường, là x bình phương.

Và cái này bằng với gì?

Nó bằng mv bình phương trên x lập phương.

Bạn có thể nói rằng, đây là
nhân 1 trên x bình phương, khi

tất cả trở thành x lập phương.

Đây chỉ là phân số toán.

Giờ ta có một điều thú vị.

Áp suất bởi một hạt này-- hãy gọi

nó từ một hạt này-- bằng m v

bình phương trên x lập phương.

Giờ, x lập phương là gì?

Đó là thể tích của vật chứa của ta.

Trên thể tích.

Tôi sẽ làm chữ V lớn, phải không?

Vậy hãy xem nếu ta có thể
liên hệ cái này với điều gì khác

thú vị.

Vậy nghĩa là áp suất được gây ra bởi một

hạt này-- thực ra để tôi
làm thêm một bước nữa.

Vậy đây là một hạt trên
bức tường này, đúng không?

Đây là từ một hạt
trên bức tường này.

Giờ, trong tất cả các hạt--
ta có N hạt trong hộp của chúng ta--

phần nào của chúng sẽ

nảy khỏi bức tường này?

Và sẽ làm điều y hệt

giống như hạt này?

Như tôi vừa nói.

1/3 sẽ đi theo hướng này.

1/3 sẽ đi lên và đi xuống.

Và 1/3 sẽ đi vào và đi ra.

Vậy nếu tôi có tổng N hạt, N trên 3 sẽ

làm y hệt giống như hạt này sẽ làm.

Đây là áp suất từ một hạt.

Nếu tôi muốn áp suất
của tất cả các hạt trên

bức tường đó-- vậy
áp suất tổng của bức tường sẽ là

từ N trên 3 của các hạt.

Các hạt khác không nảy khỏi bức tường đó.

Nên ta không cần phải lo về chúng.

Vậy nếu ta muốn áp suất tổng
trên bức tường đó-- tôi sẽ

ký hiệu, áp suất sub trên bức tường.

Áp suất tổng trên
bức tường sẽ là áp suất từ

một hạt, mv bình phương,
trên vận tốc của ta, nhân tổng

số hạt va chạm vào bức tường.

Tổng số hạt là N chia cho 3, bởi vì

chỉ có 3 sẽ đi theo hướng đó.

Vậy, áp suất tổng trên
bức tường đó bằng mv bình phương,

trên thể tích của
vật chứa của ta, nhân tổng

các hạt chia cho 3.

Hãy xem nếu chúng ta có thể
thao tác cái này một chút.

Vậy nếu ta nhân cả hai bên lên--
hãy xem ta có thể làm được gì.

Nếu ta nhân cả hai bên lên với 3v,
ta có pv nhân 3 bằng

với mv bình phương,
nhân N, với N là số hạt.

Hãy chia cả hai bên cho N.

Vậy ta được 3pv trên--
thực ra, không, để tôi bỏ N lại đó.

Hãy chia cả hai bên
của phương trình này cho 2.

Vậy ta được, ta được gì?

Ta được 3/2 pv bằng với--
giờ cái này sẽ thú vị.

Nó bằng N, số hạt ta có, nhân mv

bình phương trên 2.

Hãy nhớ, tôi vừa
chia phương trình này

cho 2 để có cái này.

Và tôi làm nó vì
một lý do rất cụ thể.

mv bình phương trên 2 là gì?

mv bình phương trên hai là động năng của

hạt nhỏ mà ta bắt đầu với.

Đó là công thức cho động năng.

Động năng bằng mv bình phương trên 2.

Vậy đây là động năng của một hạt.

Giờ, ta nhân nó nhân với tổng số

hạt ta có, nhân N.

Vậy N nhân động năng của một hạt sẽ là

động năng của tất cả các hạt.

Và, dĩ nhiên, ta cũng đã
làm một giả thiết khác.

Tôi nên nói rằng tôi
đã cho là tất cả các hạt

di chuyển với cùng vận tốc
và có cùng khối lượng.

Trong một tình huống thực,
các hạt có thể có

vận tốc rất khác biệt.

Nhưng đây là một trong những
giả thiết đơn giản hóa của ta.

Vậy, ta cho rằng chúng đều có điều đó.

Nên, nếu tôi nhân N
nhân cái đó-- phát biểu này

ở đây-- là động năng của hệ.

Giờ, ta sắp xong rồi.

Thực ra, ta đã xong rồi.

Chúng ta vừa xác định được
động năng của hệ

là bằng 3/2 nhân áp suất, nhân thể tích

của hệ.

Giờ, động năng của hệ là gì?

Nó là nội năng.

Bởi ta đã nói tất cả
năng lượng trong hệ, vì nó là

khí đơn nguyên tử cơ bản lý tưởng,
tất cả năng lượng trong

hệ là ở động năng.

Vậy ta có thể nói là nội năng của hệ bằng

với-- đó chỉ là tổng động năng của hệ--

bằng 3/2 nhân áp suất tổng của ta, nhân

thể tích tổng của ta.

Giờ bạn có thể nói,
này, Sal, bạn vừa tìm ra

áp suất trên cạnh này.

Vậy còn áp suất ở
cạnh kia, và cạnh kia, và

cạnh kia, hoặc trên
tất cả các cạnh của hộp?

Áp suất của tất cả các cạnh của

hộp có giá trị như nhau.

Vậy tất cả những gì ta
cần làm là tìm áp suất

một cạnh, và đó bản chất là áp suất của

hệ.

Vậy còn gì khác ta có thể làm với nó?

Ta biết rằng pv bằng nRT,
công thức khí lý tưởng của chúng ta.

pv bằng nRT, với số mol của khí.

Và đây là hằng số khí lý tưởng.

Đây là nhiệt năng của
chúng ta trong kelvin.

Vậy nếu ta làm sự
thay thế đó, ta sẽ cho là

nội năng có thể được viết là 3/2 nhân

số mol ta có, nhân
hằng số khí lý tưởng, nhân

nhiệt năng của ta.

Giờ, tôi đã làm rất nhiều,
và nó khá là toán học.

Nhưng những kết quả này, một là, thú vị.

Bởi giờ bạn có một mối quan hệ trực tiếp.

Nếu bạn biết áp suất và thể tích, bạn biết

nội năng thực, hoặc động năng tổng,

của hệ là gì.

Hoặc, nếu bạn biết nhiệt năng và số

mol bạn có là gì, bạn cũng sẽ biết nội

năng của hệ là gì.

Và có một vài kết luận tôi muốn bạn có.

Nếu nhiệt năng không thay đổi
trong tình huống lý tưởng của ta

ở đây-- nếu delta T bằng 0--
nếu nó không đổi,

số hạt sẽ không thay đổi.

Rồi nội năng của ta cũng sẽ không đổi.

Vậy nếu ta nói là có vài
sự thay đổi trong nội

năng, tôi sẽ dùng cái này làm tư liệu
trong tương lai, ta có thể nói

nó bằng 3/2 nhân nR nhân-- điều duy nhất

có thể thay đổi, không phải là số mol hay

hằng số khí lý tưởng--
nhân thay đổi của T.

Hoặc, nó cũng có thể được viết là
3/2 nhân thay đổi của pv.

Ta không biết nếu
hai cái này là hằng số.

Vậy ta phải nói sự
thay đổi trong sản phẩm.

Dù sao, cái này đã hơi toán học một chút.

Và tôi xin lỗi vì điều đó.

Nhưng mong rằng, nó sẽ cho
bạn thêm chút phán đoán

rằng đây chỉ là tổng số
của tất cả động năng.

Chúng ta liên hệ nó với một vài
biến trạng thái lớn, như

áp suất, thể tích, và thời gian.

Và giờ, vì ta đã làm video về nó,
ta có thể thật sự

tận dụng kết quả này trong tương lai.

Hoặc ít nhất bạn sẽ không
phiền nhiều nếu tôi dùng.

Dù sao thì hẹn bạn vào video tiếp theo.