Proof: U=(3/2)PV or U=(3/2)nRT

대문자 U는 계의 내부 에너지임을

이미 밝혔습니다

그리고 그것은 거의 모든 것을 포함하고 있습니다

그것은 분자의 운동에너지

진동하고 있다면 그 분자들의 위치 에너지

결합의 화학적 에너지

전자들의 포텐셜 에너지를

모두 포함하고 있습니다

하지만 화학, 물리 또는 열물리학 입문 과저이라면

과정이라면 이상기체로 구성된 계라고

가정해봅시다

그리고 더 쉽게 단일원자 이상기체라고 가정해 봅시다

따라서 계의 모든 것들은 그저 단일 원자입니다

이 경우 각 입자들의 운동에너지가 이 계의

유일한 에너지가 됩니다

이 영상에서 저는 약간의 수학을 활용하여

이 영상에서 저는 약간의 수학을 활용하여

이 영상에서 저는 약간의 수학을 활용하여

계의 에너지를 계의 온도 압력 그리고 부피와

연관짓는 것입니다

우리는 압력 부피 혹은 온도를

내부에너지와 연관짓고 싶은 것입니다

제가 지금까지 찍은 영상들에는 모두

내부에너지의 변화를 다루었다는 점을 주목해주십시오

그리고 우리는 그것을 계에 넣거나 뺀 열

혹은 계가 하거나 받은 일과 연관지어

생각했습니다

계에 일이나 열을 가하거나 제거하기 이전에

계가 가지고 있는 내부에너지를 어떻게

알 수 있을까요?

그것을 알기 위해 사고 실험을 조금

해 봅시다

약간의 단순화 과정을 거칠 것입니다

하지만 제 생각에 여러분은 충분히 납득하실 것입니다

그럼 여기에 정육면체가 있다고 해 봅시다

물리 플레이리스트에서 이 가짜 증명을

한것같은 생각이 듭니다. 하지만 제가 내부에너지와

정확히 연결시키지는 않은 것 같습니다

여기에 그걸 해보도록 하겠습니다

이 정육면체가 계라고 해 봅시다

그리고 정육면체 한 변의 길이가

x라고 해 봅시다

x³의 부피를 가지는 정육면체인거죠

그리고 N개의 입자가 계안에

있다고 해 봅시다

n 몰이라고 써도 되지만 간단하게

접근해봅시다

N개의 입자가 있습니다

그들은 다 각자 자기가 할 것을 하고 있습니다

여기서 우리는 엄청난 단순화 과정을 거칠

것입니다

하지만 저는 이것이 타당한 것 같습니다

일반적인 계에서는 모든 입자가

튕기면서 온갖 방향으로 가고 있습니다

튕기면서 온갖 방향으로 가고 있습니다

그리고 이 되튕김이 벽에서 일어날 때

압력이라는 것이 발생하게 됩니다

그리고 이 입자들은 항상 서로 부딪히고

온갖 방향으로 이동하고 있습니다

여기서 계산과정의 단순함을 위해

그리고 적당한 시간 안에 해결하기 위해

가정을 할 것입니다

저는 분자들의 1/3은 각 축에 평행하게

이동하고 있다는 가정을 할 것입니다

이동하고 있다는 가정을 할 것입니다

따라서 입자들의 13은 이 방향 좌측에서

우측으로 이동할 수 있다고 할 수 있고

입자들의 1/3은 위아래로 이동하고 있다고 할 수 있고

마지막으로 입자들의 1/3은 앞뒤로 이동하고 있다고 할 수 있습니다

우리는 물론 이것이 실제 상황은 아니지만

우리의 계산 과정을 훨씬 간단히 만들어 줍니다

만약 통계학을 활용하여

각 입자의 움직임을 본다면

결론적으로 동일한 결과를 도출할 것입니다

저는 이것은 과도한 간략화 과정이라 말하고 싶습니다

물론 엄청난 미소 확률로

이 단순화 과정이 실제로 일어나고 있는

계가 존재할 수도 있습니다

나중에는 엔트로피를 이용하여

왜 이 확률이 그토록 작은지 알아보게 될 것입니다

하지만 이것은 실제로 우리의 계가 될 수 있습니다

그리고 이 계는 압력을 만들어 낼 것입니다

그리고 이것은 우리의 계산을 간단하게 만들어줍니다

이 계에 대해 더 살펴봅시다

옆에서 이 계를 바라봅시다

옆에서 이 계를 바라봅시다

입자 하나에 대해 관찰해 봅시다

초록색으로 할 걸 그랬네요

하지만 여기에 한 입자가 있다고 해 봅시다

그것은 m의 질량을 가지고 속도 v를 가집니다

그리고 이것은 N개의 입자들 중 하나입니다

지금 제가 궁금한 것은 이 입자가 이 벽에

미치는 압력입니다

우리는 이 벽의 넓이를 알고 있습니다

x 곱하기 x로 나타내어 질 수 있고

x²이 넓이 입니다

이 입자에 의해 가해지는 힘은 얼마일까요?

이렇게 생각해 봅시다

입자가 왼쪽에서 오른쪽으로 이렇게 이동하고 있습니다

그리고 운동량이 변화할때 힘이 가해질 것입니다

여기서 역학에 대한 간단한 복습을 진행할 것입니다

우리는 힘이 질량 곱하기 가속도라는 것을 알고 있습니다

우리는 또 가속도는 속도의 시간에 따른 변화량으로

나타낼 수 있다는 것을 압니다

당연하게 이것은 다시

--질량은 상수이기 때문에

델타를 활용하여 델타 mv 나누기 시간

변화량으로 나타낼 수 있습니다

변화량으로 나타낼 수 있습니다

그리고 이것은 그저 운동량 변화량이죠?

따라서 힘은 운동량 변화량을 시간 변화량으로

나눈 것입니다

그럼 이 입자에 대해서 운동량의 변화량은

어떻게 될까요?

입자는 이 벽에 부딪힐 것입니다

이 방향으로 움직이고 있기에 일단 운동량을 가지고 있습니다

그 운동량의 크기는 mv이죠

그리고 이 입자는 벽에 부딪힌 후

완전한 반대 방향으로 반사되어 나갈 것입니다

그 때의 운동량은 어떻게 될까요?

동일한 질량과 반대 부호의 속도를 가지고

있을 것입니다

완전 탄성 충돌이라 가정해 봅시다

열과 소리 등으로 없어지는 에너지는 없는 것이죠

하지만 속도의 방향은 달라집니다

새로운 운동량은 -mv가 될 것입니다

속도의 방향이 반대이기 때문이죠

mv의 운동량으로 들어와서 -mv의 운동량으로

나가면 운동량의 변화량은 어떻게 될까요?

운동량의 변화량은 초기 운동량과 나중 운동량의 차

이기 때문에 운동량 변화량은 2mv이다

이것은 힘을 알려주지는 않는다

단위 시간당 운동량 변화를 알아야지 힘을 알 수 있다

그래서 얼마나 자주 이것이 발생하는가?

얼마나 자주?

일단 입자가 여기도달할 때마다 발생할 것이다

이 벽에 부딪힌 후

입자는 여기로 와 저 벽에 부딪힌 후

다시 돌아와서 벽을 칠 것이다

이것을 이용해 얼마나 자주 이 사건이 발생하는지 파악할 것입니다

충돌 사이의 시간 간격이 어떻게 될까요?

입지는 x 만큼 뒤로 간 후 충돌할 것입니다

좌측으로 x만큼 이동할 것입니다

그 거리는 x 입니다

다른 색깔로 해 보겠습니다

여기 이 거리는 x입니다

x만큼 이동하여 뒤로 가야 합니다

그리고 다시 x만큼 돌아올 것입니다

따라서 전체 2x만큼 이동을 해야 합니다

2x만큼 이동하는 데에 얼만큼의 시간이 걸릴까요?

델타 T는 다음 공식을 통해 알 수 있습니다

거리는 속도 곱하기 시간입니다

거리를 속도로 나누면 걸리 시간을

알 수 있습니다

그것은 그저 간단한 운동 공식입니다

왔다 갔다 하는 데에 걸린 시간

델타 T를 구해 보면

속도는 v 이고 이동한 거리는 2x이므로

2x 나누기 v 를 하면 됩니다

자 됐습니다

이게 우리가 구하려던 델타 T 입니다

단위 시간에 따른 운동량 변화량은 초기 운동량의

2배였습니다

동일한 크기의 운동량으로 반사되었지만 방향이 반대여

음의 운동량을 가졌기 때문입니다

따라서 그것이 운동량의 변화량입니다

다음 시간의 변화량은 여기 있는 값입니다

그것은 이 벽과 충돌할때까지 이동한 총 거리

나누기 입자의 속도입니다

따라서 그것은 2x 나누기 v로 나타내어지고 힘은 2mv

나누기 시간 변화량의 역수이기에

v 나누기 2x 곱하기 2mv입니다

여기서 2들은 서로 지워지고

m 곱하기 v의 제곱 나누기 x라는

값을 도출할 수 있습니다

흥미롭네요

벌써 흥미로워지고 있네요

흥미롭다고 생각하고 있지 않더라도

좀 더 들어봐 주세요

이것은 한개의 입자가 가하는 힘입니다

한개의 입자가 이 벽에 가하고 있는 힘이죠

넓이가 얼마였죠?

우리는 압력에 관심이 있습니다

여기에 써 놨습니다

압력은 단위 면적에 작용하는 힘입니다

이것은 입자가 작용하는 힘이고

즉 m곱하기 v의 제곱 나누기 x 나누기

벽의 면적입니다

벽의 면적은 얼마죠?

각 변의 길이가 x인 이 벽의 넓이는

x 곱하기 x입니다

즉 x의 제곱이죠

따라서 벽의 넓이 즉 x의 제곱으로 나누어준다

그리고 이것은 무엇과 같죠?

이것은 정리하면 m 곱히기 v 제곱 나누기

x의 3승입니다 1나누기 x 나누기 x 제곱이기

때문에 합쳐저 x의 3승이 됩니다

여기서 흥미로운 부분이 있습니다

이 입자에 의한 압력은 m 곱하기

v 제곱 나누기 x 삼승입니다

x 삼승이란 무엇이죠?

그것은 곧 컨테이터의 부피입니다

볼륨을 큰 V로 표현을 하겠습니다

볼륨을 큰 V로 표현을 하겠습니다

다른 흥미로운 것과 이것을 연관지어 생각할 수 있는지

알아봅시다

이 한 입자가 가하고 있는 압력

이 한 입자가 가하고 있는 압력

그러니까 이 입자 하나가 있는 것입니다

한 입자가 벽에 끼치는 압력입니다

N개의 입자가 이 정육면체 안에 있습니다

벽에 되튕기는 입자들이 몇 퍼센트정도

될까요?

이 입자와 똑같이 행동하는 입자가

얼마나 될까요?

방금 전에 말했듯이

1/3 정도가 이 방향으로 진행할 것입니다

1/3 정도가 위아래로 진행할 것이고

1/3 정도가 이렇게 안밖으로 진행할 것입니다

따라서 N개의 입자가 있으면 N 나누기 3개의

입자들이 앞서 말했던 입자가 했던 것과 같은 행동을 할 것입니다

이것은 한 입자가 가하는 압력이다

만약 이 벽에 부딪히는 모든 입자들에 의해

만들어지는 압력을 구하기 위해서는 N 나누기 3개의 입자가 만들어내는

압력을 구해야 한다

다른 입자들이 이 벽에 부딪히지 않는다

따라서 우리는 그것에 대해 걱정할 필요가 없다

이 벽의 전체 압력을 구하고 싶다면

앞서 구했던 m 곱하기 v 제곱 나누기 부피에서

벽면을 떄리고 있는 입자들의

총개수를 곱한 것이 벽면에 가해지는 총

압력이 될 것입니다

전체 입자의 개수는 그 방향으로 진행하고 있는 입자의 개수인

N 나누기 3입니다

벽면에 가해지는 전체 압력은 m 곱하기 v 제곱

나누기 부피 곱하기 전체 입자의 개수

나누기 3입니다

이것은 약간 조정해 봅시다

이제 양쪽에 무엇을 한번 곱해봅시다

양쪽에 3v를 곱하면 우리는 pv 곱하기 3은

m곱하기 v제곱 곱하기 N으로 식이 바뀝니다

이제 양변을 N으로 나누어 봅시다

따라서 3pv---아 N은 그대로 놓아 둡시다

식의 양변을 2로 나누어보면

무엇이 나오나요?

우리는 3/2pv는 자 이제 재밌네요

3/2pv 는 N 곱하기 m 곱하기 v 제곱

나누기 2가 됩니다

제가 그저 이 식을 얻기 위해 양변을

2로만 나누었다는 사실을 기억하세요

그리고 저는 이것을 특별한 목적을 위해 진행하였습니다

m곱하기 v제곱 나누기 2는 무엇이죠?

그것은 이 작은 입자의 운동에너지 입니다

그것은 이 작은 입자의 운동에너지 입니다

그것은 운동에너지 공식이죠

운동에너지는 물체 질량 곱하기 물체 속도의 제곱

따라서 이것은 입자의 운동에너지입니다

우리는 거기에다 입자의 개수인 N을 곱하고

있습니다

따라서 N 곱하기 입자의 운동에너지는

모든 입자들의 운동에너지가 될 것입니다

여기서 또 하나의 가정을 합니다

모든 입자들은 동일 속력 동일 질량을

가지고 있다 가정할 것입니다

실제 상황에서 입자들은 서로 매우 다른

속력을 가질 수 있습니다

이것은 단순화 과정의 일부였기 때문에

나머지 모든 입자 또한 그럴 것이다라고 가정한 것입니다

N 곱하기 --여기 이 문장--은

계의 운동에너지입니다

거의 다 왔습니다

솔직히 우리는 이미 다 왔습니다

우리는 방금 계의 운동에너지가

3/2 곱하기 pv 라는 것을

보였습니다

계의 운동에너지는 곧 무엇입니까?

바로 내부 에너지입니다

단일 원자 이상기체이기 때문에

내부의 모든 에너지는 운동에너지입니다

내부의 모든 에너지는 운동에너지입니다

따라서 계의 내부 에너지는

곧 내부 운동에너지의 총합이라 볼 수 있습니다

또 그것은 3/2 곱하기 압력 곱하기 부피입니다

또 그것은 3/2 곱하기 압력 곱하기 부피입니다

하지만 여기서 여러분은 그저 한 면에 작용하는

압력을 구한 것이 아니냐 반문할 수 있습니다

저쪽과 이쪽 요쪽 아니 정육면체 각 면에 대한

압력은 어떻게 될까요?

각 면에 작용하는 압력은

모두 동일합니다

한 면의 압력만 찾으면 그것이 곧

계의 압력이 됩니다

계의 압력이 됩니다

여기서 다른 무엇을 할 수 있을까요?

pv는 nRT와 같다는 것을 우리는 이상기체 상태방정식으로부터 알 수 있습니다

여기서 n은 기체의 몰 수 입니다

그리고 이것은 기체 상수입니다

여기 온도의 단위는 켈빈이죠

따라서 위 식에서의 pv를 치환하게 되면

3/2 곱하기 기체 몰 수 곱하기 기체 상수

곱하기 온도의 꼴로 새로 표현 가능함을

알 수 있습니다

약간 수학이 많이 들어가 있지만

그 결과는 매우 흥미롭습니다

왜냐하면 직접적인 관계를 확인할 수 있기 때문이죠

만약 압력과 부피를 안다면

실제 내부 에너지 혹은 내부 총 운동에너지를 알 수 있습니다

실제 내부 에너지 혹은 내부 총 운동에너지를 알 수 있습니다

혹은 내부 기체의 몰수와 온도를 알면

그것을 이용해서도 내부에너지를

구해낼 수 있습니다

핵심을 다시 짚자면

만약 이 이상적인 상황에서의 온도가 변하지 않는다면

즉 델타 T가 0과 같고

입자의 수 또한 변화하지 않으면

내부에너지 또한 변화하지 않을 것입니다

따라서 만약 내부 에너지에 변화가 생겼다면

그리고 이것은 추후의 증명에 사용될 것인데

우리는 내부에너지는 3/2 곱하기 nR 곱하기

유일하게 변화할 수 있는 값인

온도인 T라는 것을 알고 있습니다

바꿔 말하면 3/2 곱하기 pv로 쓸 수도 있습니다

우리는 이 둘중 어느 하나라도 고정되어 있는지 모릅니다

따라서 우리는 변화를 볼 때 이 둘의 곱의 변화를 보야야 합니다

어쨌거나 이것은 꽤나 수학이 많이 포함되었고

그 때문에 미안하게 생각합니다

하지만 이것이 그냥 내부 운동에너지의

합이라는 것을 알아 간다면 좋을 것 같습니다

우리는 거시적인 지표들인 압력 부피

그리고 온도를 내부 에너지와 연관시켰습니다

그리고 이제 이 비디오를 만들었으니 우리는 드디어

이것은 추후 증명에 사용할 수 있습니다

최소한 사용해도 너무 짜증내지는 않겠죠

다음 영상에서 봅시다