-
I denne videoen ser vi på et bevis for Pythagoras 'læresetning.
-
Så vidt vites var beviset oppdaget av James Garfield i 1876. Det er denne fyren.
-
Garfield var faktisk ikke en profesjonell matematiker.
-
James Garfield var faktisk USAs tjuende president.
-
Han ble valgt til president i fire år etter i 1880, og han ble president i 1881.
-
Han fant dette beviset da han var medlem av Representantenes hus i den amerikanske Kongressen.
-
Abraham Lincoln var ikke den eneste amerikanske politiker eller president som var interessert i geometri.
-
Garfield fant ut dette beviset ved å lage en rettvinklet trekant.
-
Den blå siden her er b, og den røde siden her er a.
-
Hypotenusen i vår rettvinklede trekant er c.
-
Dette er en rettvinklet trekant. Garfield rotert denne trekanten
-
for å danne enda en trekant, som er kongruent med den første.
-
La oss gjøre det. Her er b,
-
og den er kolineære med lengde a. Det er på samme linje som lengden en her.
-
De overlapper ikke hverandre.
-
Denne siden har lengde b, og denne siden har lengde a.
-
Denne siden har lengden c.
-
Først må vi tenke på hva denne vinkelen er.
-
Hvor stor er denne mystiske vinkel?
-
Kanskje vi kan se det med øynene,
-
men la oss bevise det.
-
Vi kaller vinkelen av den opprinnelige trekant theta.
-
Hva er denne vinkelen? Den vinkel som er mellom side A og side C.
-
Hvor stor er vinkelen?
-
Theta pluss denne vinkelen skal være 90 grader fordi den andre vinkelen er 90 grader.
-
90 pluss 90 helhet gir 180 grader.
-
Hvis de to vinklene sammen er 90 grader, så må denne vinkelen være 90 minus theta.
-
Vi har gjort trekanten kongruent med den opprinnelige, så den tilsvarende vinkelen theta må også være theta.
-
Denne vinkel er 90 minus theta.
-
Når den her er theta, og dette er 90 minus theta, hva er denne vinkelen så?
-
Sammen gir de 180 grader.
-
Så vi har at theta pluss 90 minus theta pluss ukjent vinkel er lik 180th
-
Theta minus theta går ut som 90 pluss ukjent vinkel er 180 grader.
-
Vi trekker 90 fra begge sider,
-
og vi får at den ukjente vinkelen er lik 90 grader.
-
Det var bra.
-
Det vil være nyttig om et øyeblikk.
-
Vi er nå sikre på at denne vinkelen er 90 grader.
-
Det neste vi må gjøre er å tegne et trapes.
-
Siden a er parallell med side b.
-
Denne siden går rett opp.
-
La oss nå koble de to sidene.
-
Det er flere måter å se på arealet av en trapes på.
-
Vi kan se på trapes som et trapes og finne hele området,
-
eller vi kan dele den opp og legge alle de små områdene sammen.
-
La oss begynne med å se på det som et trapes.
-
Hva vet vi om arealet av en trapes?
-
Arealet av et trapes, høyden av trapes, som er et pluss b, ganger gjennomsnittet av toppen og bunnen.
-
Arealet av et trapes er lik et pluss b ganger en halv et pluss b.
-
Vi multiplisere høyden av snittet av toppen og bunnen, og forårsaker området.
-
Hvordan kan vi beregne arealet ved å dele trapes i deler?
-
Så lenge vi gjør det riktig, skal vi få samme resultat.
-
Hvordan kan vi komme til området?
-
Vi kan si at området er to rettvinklede trekanter.
-
Arealet av hver av trianglene er halv ganger en ganger b.
-
Det finnes imidlertid to trekanter.
-
Vi må, deretter ganger arealet av den andre
-
2 ganger i en halv ganger b. Det er den nedre og øvre rettvinklet trekant.
-
Hva er arealet av den store grønne trekanten her?
-
Det er ganske grei. Den har en halv ganger c ganger c.
-
En halv ganger c ganger c. Det er en semi-ci en annen.
-
Nå la oss redusere det og se hva vi ender opp med.
-
Vi kan skrive det. En halv ganger pluss b er lik de andre to og en halv ganger, det vil si en.
-
Det er lik a ganger b pluss en halv c en annen.
-
La oss fjerne halvparten. Multiplisere begge sider av ligningen til 2.
-
Vi må alltid gjøre det samme på begge sider av en likning.
-
På venstre side sitter vi igjen med et pluss bi andre.
-
På høyre side sitter vi igjen med 2ab og deretter 2 ganger en halv c i en annen. Dette er et annet pluss c.
-
Hva skjer hvis vi multipliserer et pluss b ganger et pluss b ut? Vi får et pluss bi andre.
-
a pluss b i andre er lik med a i andre pluss 2ab i andre. Det er lik med 2ab pluss ci andre. Når bi har et uttrykk i en parentes og i andre, ganger man den ut ved å sette 2 ledd i andre og legge deg dobbelte produktet til.
-
Er det noe vi kan trekke fra begge sider av ligningen? Ja. Det er 2ab på begge sider, så la oss trekke dem. Vi er nå igjen med Pythagoras 'læresetning. a i andre pluss b i andre er lik c i en annen. Super. Vi takker det tjuende USAs president, James Garfield. Pythagoras teorem har eksistert i tusenvis av år før Garfield, og likevel han kunne bidra med nye bevis.
