Garfield's proof of the Pythagorean Theorem

우리가 이 영상에서 하고자 하는 것은
'피타고라스의 정리'를 증명하는 방법을
공부하는 것이에요

그리고 그 방법은
1876년에 제임스 가필드라는 사람이
가장 처음 발견한 것으로 알려져 있답니다!

여기서 흥미로운 점은
그가 전문적인 수학자가 아니었다는 점이에요

여러분은 아마 이 분을 미국의
제 20대 대통령으로 알고 있을 거에요

그는 1880년에 대통령으로 선출되었고,
1881년에 대통령이 되었답니다

그리고 그는 이 정리에 대한 증명을
미국 하원의원으로 일할 당시에 해냈답니다

여기서 한 가지 흥미로운 점은
에이브라함 링컨만이 기하학을 연구했던

유일한 대통령이자 유일한 정치가가 아니라는 점입니다!
가필드가 구체화시킨 것은 바로 우리가
직각삼각형을 만들 수 있다는 겁니다

여기 있는 이 변의 길이를 'b'(파랑의 b),
그리고
여기 이 변의 길이는 'r'(빨강의 r)이라고 해 봅시다

그리고 바로 이 변, 이 직각삼각형에서 가장 긴변은
'c'라고 해보죠

분명히 이 것은 직각삼각형이에요 그렇죠?
그는 본질적으로 이 삼각형을
뒤집고 돌렸을 뿐입니다

이 삼각형과 합동이 되는
또 다른 삼각형을 만들기 위해서죠

제가 그럼 이걸 그려보죠
그래서 우리는 'b'라는 길이를
다시 가지게 됩니다

그리고 이 선은 'a'와 동일 선상에 놓여 있어요
같은 직선 위에 놓여 있는 것이죠

하지만 그것들은
서로 겹쳐지는 않는답니다

그래서 이것은 'b'의 길이를 갖는 변이 될 것이고,
그리고 'a'라는 변도 여기 있겠네요

여기 오른쪽 각에 말이죠
그리고 여기 'c'의 각이 있게 되죠

그래서 여기서 우리가 가장 먼저
생각해 보아야 할 것은,

이 알 수 없는 각의 크기가
과연 얼마나 될까? 라는 것이에요

음, 대충 짐작은 가지만
우리가 증명 할 수 있는지
봐야겠지요?

우리가 생각하는 것이 맞는지
확인하기 위해서죠

이 원래 삼각형에서,
여기 이 각을 '세타'각이라고 해 봅시다

여기 있는 이 각은 무엇일까요?
'a'변과 'c'변 사이에 있는 이 각 말이죠

이 각의 크기는 과연
얼마나 될까요??

음, 일단 세타각에 이 각도를 더하면 90도가 되겠지요?

그래서 90도에 나머지 직각인 90도를 더하게 되면,
삼각형의 내각의 합인 180도가 나오겠네요

그래서 이 두 각의 합이 90도가 되야 하는 것이니까,
결국 이 각의 크기는
90도에서 세타각의 크기만큼을 뺀 것이 되겠네요

여기 있는 이 각은 합동이랍니다
(우리가 합동인 삼각형을 그렸기 때문이죠)
그러므로 여기 있는 이 각이 바로 세타각이 되겠네요

그리고 여기 이 각은
90도에서 세타각을 뺀 만큼의
크기가 되겠고요

그래서 이 각은 세타이고 요 각은 (90 - 세타)니까,
우리가 구하고자 하는 각의 크기는
어떻게 될까요?

결국 이들은 모두 더하면 180도가 됩니다

그래서 우리는 세타 + (90 - 세타) +
우리가 구하고 자 하는 각의 크기가
180도가 되는 것이군요

여기서 이 세타는 사라집니다
그래서 90 + 구하고자 하는 각의 크기=180
이 되는 것이죠

양변에서 90만큼을 빼 봅시다
그러면 우리는

이 문제의 각이 90도라는 것을 알 수 있습니다!!

그래서 결국 답을 구했군요

여기서 구한 것은 우리에게
유용하게 쓰일 거에요

그래서 우리는 이 각이 90도라는 것을
확실히 알 수 있죠
즉 직각인 것입니다

우리는 이제
사다리꼴을 한 번 만들어 볼 겁니다

여기 이 'a'변은
아래의 'b'변과 평행하게 되죠

그리고 여기도 쭉 이어진
한 변이 되는 것이니까

여기 있는 양쪽 점들을 한번 연결해 봅시다

그래서 이렇게 만들어진 사다리꼴을
보는 방법이 또 여러 가지가 있겠네요

첫번째는 그냥 이 영역에 속하는
사다리꼴이라고 생각하는 것이에요

그냥 이 부분을 이 영역의
모든 구성요소들의 총합이라고 생각하는 것이지요

사다리꼴을 한번 생각해 봅시다

우리가 사다리꼴에 대해 아는 것을
한번 다시 생각해 봅시다

여기 있는 이 변이 바로 사다리꼴의 높이가 되겠군요
(a+b)변 말이죠, 그리고 바로 여기서,
윗변과 아랫변의 평균을 구하는 겁니다

그러므로 이제 이 사다리꼴의 넓이가 바로
(a+b)곱하기1/2(a+b)인 것이 밝혀지는 것입니다

이 과정에서 여러분은
높이에 윗변과 아랫변의 평균값을 곱한 것이
이 사다리꼴의 넓이가 된다는
사실을 알 수 있었습니다

이제, 우리는 어떻게 이 부분을 구성요소들을 통해
풀 수 있게 되는 걸까요?

우리가 지금까지 맞게 진행해온 것처럼,
앞으로도 같은 결과가 나와야 할 것입니다

그러면 다른 방법으로 이 사다리꼴의
넓이를 구할 수는 없을까요?

일단 여기서 직각삼각형
두 개를 찾을 수 있겠군요

각각의 넓이는 1/2*ab가
될 것입니다

그런데 이런 직각삼각형이
두개가 있는 거죠, 파란색으로 해 봅시다

직각삼각형이 두 개가 있으니까,
두 배로 곱해야겠죠

1/2*ab에 2를 곱한 것,
바로 이 아래 삼각형과
이 위 삼각형의 넓이의 합이 되겠네요

그리고 여기 이 큰 삼각형의 넓이는 말이죠,
초록색으로 해보죠

이건 꽤 직선으로 펴져 있군요 그래도,
그래서 그냥 1/2(c*c)의 식으로 구할 수 있답니다

그리고 c곱하기c는 c의제곱이 되니까,
1/2(c제곱)으로 표현 할 수 있겠군요

이제, 이 식을 간단하게 정리해서
우리가 하고 있는 것이 과연 맞을지
확인해보도록 합시다

이걸 보기 쉽게 다시 써 보죠
1/2 곱하기 (a+b)의 제곱=2 곱하기 1/2*2ab에서

약분되어서 그냥 ab가 되니까, 좌변=ab +1/2(c의 제곱)
이 되겠군요

여기 이 1/2가 보기 거슬리니까,
양변에 2를 곱해서 없애보도록 하죠

양변에 2를 각각 곱해줄 겁니다

그래서, 우선 좌변에는
(a+b)의 제곱이 남게 될 것이고,

우변에는
2ab + 1/2(c의 제곱)*2, (즉 c의 제곱)이
남게 될 겁니다

여러분이 a+b에 다시 a+b를 곱하면 어떻게 될까요?
당연히 a+b의 제곱이 될 것입니다

따라서 (a+b)의 제곱, 즉
a제곱+2ab+b의 제곱= 2ab+ c의 제곱이라는
식이 나오게 되는 것이지요

양변에서 같은 항인 2ab를 빼내면 남게 되는 건
a제곱 + b제곱 = c제곱입니다
바로 피타고라스의 정리이지요!!