Доказателство на Гарфийлд на Питагоровата теорема

Вълнуващо доказателство на Питагоровата теорема от 20-тия президент на Съединените щати Джеймс Гарфийлд.

В този урок ще научим доказателството
на Питагоровата теорема,

което за пръв път е направено
от Джеймс Гарфийлд през 1876 г.

Интересно е, че самият той не е
професионален математик.

Може би познаваш Джеймс Гарфийлд
като двадесетия президент на САЩ.

Той бил избран за президент четири години след доказването

на теоремата - 1880 г., и встъпил в длъжност през 1881 г.

Той направил доказателството, докато бил член
на Камарата на представителите на САЩ.

Интересен е и фактът, че Ейбрахам Линкълн не е бил

единственият американски политик или президент,

който е бил увлечен от геометрията.

Гарфийлд проумял, че можем да построим правоъгълен триъгълник...

Нека начертая един тук.

Да приемем, че тази страна тук е
с дължина 'b' (синьо), тази страна е 'а' (червено),

а тази страна, хипотенузата в нашия
правоъгълен триъгълник, е с дължина 'c'.

Ще разясня – това е правоъгълен триъгълник.

Той просто е обърнал и завъртял този триъгълник,

за да построи нов, който да е еднакъв с първия.

Сега ще го построя. Тук ще начертая отсечка с дължина 'b',

която лежи на същата права с отсечката 'а' от първия триъгълник,

но не се припокриват.

Това е страната с дължина 'b' и след това
начертаваме страна с дължина 'а',

перпендикулярна на страната 'b',
и накрая построяваме третата страна 'с'.

Първото нещо, което трябва да се запитаме,
е какъв е ъгълът между тези две страни.

Колко градуса е този тайнствен ъгъл?

Това прилича на нещо, но сега
ще опитаме да докажем

дали е така както изглежда.

Ако разгледаме първия триъгълник
и наречем този ъгъл 'тита',

тогава какъв ще е този ъгъл тук,
ъгълът между страните 'а' и 'b'?

Каква ще е мярката на този ъгъл?

Тита плюс този ъгъл трябва да се допълват до 90 градуса, защото третият ъгъл е 90 градуса.

90 плюс 90 прави 180 градуса
за вътрешните ъгли на този триъгълник.

Ако сборът на тези два ъгъла е 90,
тогава този ъгъл тук е 90 минус тита.

Построили сме този триъгълник еднакъв с първоначалния,

така че ъгълът, съответен на тита,

също ще бъде равен на тита, а този ъгъл тук ще бъде 90 минус тита.

Дотук имаме един ъгъл тита и един ъгъл 90 минус тита, колко остава да бъде нашият трети ъгъл?

Трите ъгъла, взети заедно, правят 180 градуса.

Сборът на тита + (90 минус тита) + (търсения ъгъл) трябва да бъде 180 градуса.

Двете стойности тита се съкращават (тита минус тита),

90 + търсения ъгъл става равно на 180 градуса.

От двете страни на равенството изваждаме 90 и остава

търсеният ъгъл да бъде равен на 90 градуса.

Дотук всичко се получи чудесно.

Нека разясня това, защото ще ни бъде полезно.

Сега можем със сигурност да кажем, че това е 90 градуса.

Следователно имаме правоъгълен триъгълник.

Ще построим трапец сега.

Страната а е успоредна на b,
както изглежда. Това е една страна.

Сега ще свържем тези две страни тук.

Има няколко начина, по които можем
да пресметнем лицето на този трапец.

Единият е да гледаме на него като на трапец
и да получим лицето му.

Вторият начин е да гледаме на него
като на съвкупност от отделните лица.

Нека първо го приемем като трапец.

Какво знаем за лицето на трапеца?

Лицето на трапеца ще бъде
височината на трапеца, което е (а + b),

умножено по половината от сбора на
горната и долната страна.

Лицето на трапеца се пресмята
по формулата: S=h.(a+b).1/2

Може да мислиш за формулата по следния начин:

половината от сбора на двете страни,
умножено по височината, е лицето на трапеца.

Как можем да пресметнем лицето
чрез отделните части на трапеца?

Докато спазваме правилата,
би трябвало да получим същия резултат.

По какъв друг начин да получим това лице?

Можем да кажем, че то е лицето на двата
правоъгълни триъгълника, взети заедно.

Лицето на всеки един от тях
е половината от а по b.

Имаме два от тях...
нека го оцветя в синьо.

Така че да умножим лицето по две.

Две по половината от ab,
като вземаме долния и горния триъгълници.

А колко е лицето на този големия,
който ще оцветя в зелено.

Това е доста просто: 1/2 с по с.

Плюс 1/2 с по с,
което е 1/2 с на квадрат.

Нека сега поопростим нещата и да видим
какво получихме и ще познаеш накъде отиваме.

Можем да пренаредим страните.
Тази 1/2 (а + b) на квадрат ще бъде равна на

две по една втора, което е равно на едно,

това ще бъде равно на а по b плюс 1/2 по с^2.

Не ми харесва тези половинки да стоят така,
нека умножим двете страни на уравнението по 2.

Просто ще умножа двете страни по две.

Отляво остана (а + b) на квадрат,

а отдясно остана 2ab и две по 1/2 с^2.
Тоест плюс с^2.

Какво се получава, като умножим (а + b) по (а + b)?
Получаваме (а + b) на квадрат.

Това е а^2 + 2ab + b^2.

И след това отдясно ще бъде равно на всичко това.

Трудно е да сменя всички тези цветове, затова направо ще копирам и ще поставя тук.

Това ще бъде равно на това.

Интересно. Как да опростим? Може ли да извадим нещо и от двете страни?

Разбира се, че има - имаме 2ab вляво и вдясно. Да извадим 2ab и от двете страни.

Ако извадим 2ab и от двете страни, какво ни остава?

Това, което остава, е Питагоровата теорема.

а^2 + b^2 = c^2.

Колко вълнуващо! За това трябва да благодарим на

20-ия президент на САЩ, Джеймс Гарфийлд.

Това наистина е вълнуващо. Защото Питагоровата теорема е съществувала

хиляди години преди него и той все пак е успял да допринесе,

докато е бил член на Камарата на представителите.