Как упростить выражение с кубическим корнем

В этом видео показано, как упростить выражение с корнем кубическим.

Это видео - русская версия видео "Simplifying Cube Roots" Академии Хана (http://www.youtube.com/watch?v=c-wtvEdEoVs&feature=relmf). Перевод и дублирование выполнены командой проектов «Edukit» (http://www.edukit.org.ua) и «Study Planner» (http://www.studyplanner.org).

This video is a Russian dubbed version of the Khan Academy video "Simplifying Cube Roots" (http://www.youtube.com/watch?v=c-wtvEdEoVs&feature=relmf). The translation and sampling are made by the «Edukit» (http://www.edukit.org.ua) and «Study Planner» team (http://www.studyplanner.org).

Здравствуйте!

Наше задание – упростить следующее выражение:

корень кубический из 27 умножить на а в квадрате

умножить на b в пятой степени и умножить на с в кубе.

Первое, что я советую вам сделать,

когда вам нужно упростить вот такое выражение

с кубическим корнем,

так это сначала посмотреть на все элементы выражения

и найти такие, которые представляют собой полные кубы,

то есть что-то, что возводится в третью степень.

Тогда вы с легкостью сможете извлечь эти элементы из-под знака корня.

А все остальное останется под корнем.

Давайте так и сделаем.

Первый элемент выражения – это число 27.

Вы, вероятно, уже поняли, что это полный куб.

Ну, а если вы все-таки этого не поняли,

то разложите 27 на простые множители.

В итоге вы увидите, что это действительно полный куб.

Итак, 27=39, 9=33.

Таким образом, 27 – это 333,

а это то же самое, что и 3 в третьей степени.

Давайте запишем наше выражение немного по-другому.

В первую очередь мы запишем полные кубы,

а потом уже только неполные кубы.

Итак, 3 в кубе…

Далее идет а в квадрате, но это неполный куб,

поэтому мы запишем его в конце,

где-то здесь: а в квадрате.

b в пятой степени, разумеется, неполный куб,

но мы можем его записать в виде произведения

полного куба и неполного.

b в пятой степени – это то же самое,

что и b в кубе умножить на b в квадрате.

А если быть точнее, то b в пятой степени – это bbbbb.

Первые три b представляют собой полный куб,

и еще остается b в квадрате.

Таким образом, b в пятой степени мы можем записать

в виде произведения полного куба,

то есть b в третьей степени, умноженного на b в квадрате.

b в квадрате мы записываем вот здесь.

И наконец, у нас остается с в кубе.

Очевидно, что это полный куб, ведь это с в кубе.

Записываем вот сюда с в кубе.

И все это выражение под знаком корня кубического.

Согласно одному из свойств степеней,

кубический корень из произведения – это то же самое,

что и произведение кубических корней из каждого множителя.

Мы можем разделить этот корень кубический только на два корня.

Под одним у нас будет произведение полных кубов,

а под вторым – неполных.

Хотя нет, лучше пусть для каждого множителя будет свой корень.

Итак, это равно корню кубическому из 3 в кубе

умножить на корень кубический из b в кубе

умножить на корень кубический из с в кубе умножить…

а вот эти два множителя я все-таки запишу под одним корнем,

поскольку никак больше мы упрощать их не будем.

Значит, умножить на корень кубический из а в квадрате,

умноженного на b в квадрате.

Мы могли записать, что это корень кубический из а в квадрате

умножить на корень кубический из b в квадрате,

но так мы усложнили бы себе задачу.

Поэтому лучше пусть будет так, как есть.

Итак, корень кубический из 3 в кубе,

или корень кубический из 27, – это 3.

Значит, этот множитель равен 3.

3 в третьей степени – 27.

Корень кубический из b в кубе равен просто b.

Корень кубический из с в кубе также равен просто с.

Таким образом, мы упростили наше первоначальное выражение

вот до такого вида: 3 умножить на b умножить на с

и умножить на корень кубический из а в квадрате b в квадрате.

Вот и все.

Мы справились с заданием.

А теперь я покажу вам,

как можно это упростить по-другому.

Мы могли вот эту часть записать как 3bс в третьей степени.

Правильно?

Ведь если три множителя в третьей степени перемножаются,

то это то же самое, что и возвести в третью степень

произведение этих трех множителей.

Это свойство степеней, помните?

Тогда полностью наше выражение будет выглядеть следующим образом:

корень кубический из 3bс в третьей степени

умножить на корень кубический из а в квадрате b в квадрате.

Корень кубический из 3bс в третьей степени – это 3bс,

и умножаем еще на корень кубический из а в квадрате b в квадрате.

Вот и все.

Можно было упростить и так и так.

Важно только, что в результате мы получили один и тот же ответ.

Выбор остается за вами.

Надеюсь, все было понятно.

На этом все.

До скорых встреч!