Return to Video

ตัวอย่างทฤษฎีบทของกรีน 2

  • 0:00 - 0:01
    -
  • 0:01 - 0:03
    สมมุติว่าผมมีเส้นทางในระนาบ xy ที่เป็น
  • 0:03 - 0:04
    วงกลมหน่วย
  • 0:04 - 0:07
    -
  • 0:07 - 0:15
    นี่คือแกน y, นี่คือแกน x, เส้นทางเรา
  • 0:15 - 0:17
    จะเป็นวงกลมหน่วย
  • 0:17 - 0:22
    -
  • 0:22 - 0:24
    เราจะเดินตามมันแบบนั้น
  • 0:24 - 0:26
    เราจะเดินตามเข็มนาฬิกา
  • 0:26 - 0:33
    -
  • 0:33 - 0:35
    ผมว่าคุณคงเข้าใจ
  • 0:35 - 0:38
    และสมการมันคือวงกลมหน่วย
  • 0:38 - 0:42
    นั่นคือสมการเป็น x กำลังสอง บวก y กำลังสอง
  • 0:42 - 0:44
    เท่ากับ 1, วงกลมหน่วยมีรัศมีเป็น 1
  • 0:44 - 0:50
    และสิ่งที่เราสนใจคือ อินทิกรัลเส้น
  • 0:50 - 0:53
    ตามเส้นโค้ง c นี่
  • 0:53 - 0:54
    มันคือเส้นโค้งแบบปิด c
  • 0:54 - 0:58
    -
  • 0:58 - 1:11
    มันจะไปในทิศนั่น ของ 2y dx ลบ 3x dy
  • 1:11 - 1:15
    ดังนั้น, เราอาจจะอยากลองทฤษฎีบท
  • 1:15 - 1:17
    ของกรีน ทำไมจะไม่ล่ะ?
  • 1:17 - 1:17
    ลองกัน
  • 1:17 - 1:19
    นี่คือเส้นทางของเรา
  • 1:19 - 1:26
    ทฤษฎีบทของกรีนจะบอกเราว่า อินทิกรัลของเส้นโค้ง
  • 1:26 - 1:34
    f ดอท dr ตลอดเส้นทางโดย f เท่ากับ -- ขอผมเขียน
  • 1:34 - 1:35
    ให้เนี๊ยบน้อยนะ
  • 1:35 - 1:47
    เมื่อ f ของ x,y เท่ากับ P ของ x,y i บวก Q ของ x,y j
  • 1:47 - 1:54
    อินทิกรัลนี่จะเท่ากับอินทิกรัลสองชั้นตลอด
  • 1:54 - 1:57
    พื้นที่ -- นี่ก็คือขอบเขตที่เราสนใจ
  • 1:57 - 1:58
    ในตัวอย่างนี้
  • 1:58 - 2:10
    ตลอดพื้นที่ของอนุพันธ์ย่อย Q เทียบกับ x
  • 2:10 - 2:18
    ลบอนุพันธ์ย่อยของ P เทียบกับ y
  • 2:18 - 2:22
    ทั้งหมดนั่น dA, ดิฟเฟอเรนเชียลของพื้นที่
  • 2:22 - 2:25
    แน่นอน, ขอบเขตนั้นคือสิ่งที่ผมแสดงให้คุณดูไป
  • 2:25 - 2:31
    ตอนนี้, คุณอาจจำได้หรือไม่ได้ -- ทีนี้, มันมีเล่ห์
  • 2:31 - 2:32
    เหลี่ยมนิดหน่อยในนี้, ที่อาจ
  • 2:32 - 2:34
    ทำให้คุณได้คำตอบผิด
  • 2:34 - 2:36
    ในวิดีโอที่แล้ว เราบอกว่าทฤษฎีบทของกรีนใช้ได้
  • 2:36 - 2:39
    หากเราไปในทิศทวนเข็มนาฬิกา
  • 2:39 - 2:41
    ระลึกไว้, ว่าสิ่งเล็ก ๆ นี่ในอินทิกรัล ผมทำ
  • 2:41 - 2:42
    ให้มันไปทิศทวนเข็มนาฬิกา
  • 2:42 - 2:46
    ในตัวอย่างนี้, เส้นโค้งนี้ไปตามนาฬิกา
  • 2:46 - 2:47
    พื้นที่นี้อยู่ทางขวา
  • 2:47 - 2:50
    ทฤษฎีบทของกรีน -- มันใช้ได้ตอนพื้นที่อยู่ทางซ้าย
  • 2:50 - 2:56
    -
  • 2:56 - 2:58
    ดังนั้นในกรณีนี้ ตอนพื้นที่อยู่ทางขวาเรา
  • 2:58 - 2:59
    และเราไป -- นี่คือทวนเข็มนาฬิกา
  • 2:59 - 3:04
    -
  • 3:04 - 3:07
    ดังนั้นในตัวอย่างของเรา, เราไปตามเข็มนาฬิกา, พื้นที่
  • 3:07 - 3:10
    อยู่ทางขวา, ทฤษฎีบทของกรีนจะ
  • 3:10 - 3:11
    เป็นลบของอันนี้
  • 3:11 - 3:15
    ในตัวอย่างนี้, เราจะได้อินทิกรัลของ c
  • 3:15 - 3:17
    และเราไปในทิศตามเข็มนาฬิกา
  • 3:17 - 3:22
    บางทีผมจะเขียนมันเป็น f ดอท dr นี่จะ
  • 3:22 - 3:25
    เท่ากับอินทิกรัลสองชั้นตลอดพื้นที่
  • 3:25 - 3:29
    คุณสามารถสลับสองอันนี้ได้ -- อนุพันธ์ย่อยของ P เทียบ
  • 3:29 - 3:36
    กับ y ลบ อนุพันธ์ย่อยของ Q เทียบกับ x da
  • 3:36 - 3:37
    ลองทำดู
  • 3:37 - 3:39
    นี่ก็จะเท่ากับ, ในตัวอย่างนี้,
  • 3:39 - 3:41
    อินทิกรัลตลอดพื้นที่ -- ทำให้มัน
  • 3:41 - 3:43
    เป็นนามธรรมไปก่อน
  • 3:43 - 3:45
    เราเริ่มด้วยการตั้งขอบเขต, แต่ให้ขอบเขต
  • 3:45 - 3:47
    เป็นนามธรรมไปก่อน
  • 3:47 - 3:52
    แล้วอนุพันธ์ย่อยของ P เทียบกับ -- ลองนึกดู
  • 3:52 - 3:56
    นี่ตรงนี้คือ -- ผมว่าเราควรจำได้แล้วว่า
  • 3:56 - 3:59
    หากเราหา f ดอท dr เราจะได้อันนี้
  • 3:59 - 4:01
    dr ให้องค์ประกอบพวกนี้มา
  • 4:01 - 4:04
    f มีองค์ประกอบสองอันนี้
  • 4:04 - 4:06
    ดังนั้นนี่คือ P ของ x,y
  • 4:06 - 4:08
    -
  • 4:08 - 4:13
    แล้วนี่คือ Q ของ x,y
  • 4:13 - 4:14
    เราเห็นมาแล้ว
  • 4:14 - 4:16
    ผมไม่อยากกลับไปเขียน ดอท dr แล้วหา
  • 4:16 - 4:17
    ดอทโปรดัคใหม่อีก
  • 4:17 - 4:19
    ผมว่าคุณคงเห็นแล้วว่านี่คือดอทโปรดัค
  • 4:19 - 4:21
    ของเวกเตอร์สองอัน
  • 4:21 - 4:23
    นี่คือองค์ประกอบ x ของ f, องค์ประกอบ y ของ f
  • 4:23 - 4:28
    นี่คือองค์ประกอบ x ของ dr, องค์ประกอบ y ของ dr งั้นลอง
  • 4:28 - 4:31
    หาอนุพันธ์ย่อยของ P เทียบกับ y กัน
  • 4:31 - 4:34
    คุณก็หาอนุพันธ์ของอันนี้เทียบกับ y, คุณจะได้ 2
  • 4:34 - 4:36
    อนุพันธ์ของ 2y ก็คือ 2
  • 4:36 - 4:41
    คุณก็ได้ 2, แล้วก็, ลบอนุพันธ์
  • 4:41 - 4:42
    ของ Q เทียบกับ x
  • 4:42 - 4:44
    อนุพันธ์ย่อยของนี่เทียบกับ x คือลบ 3
  • 4:44 - 4:50
    เราก็จะได้ลบ 3, แล้วทั้งหมดนั่น da
  • 4:50 - 4:53
    และนีเท่ากับอินทิกรัลตลอดพื้นที่
  • 4:53 - 4:56
    แล้วนี่คืออะไร, มันคือ 2 ลบ ลบ 3?
  • 4:56 - 4:58
    นั่นก็เหมือนกับ 2 บวก 3
  • 4:58 - 5:01
    มันก็คืออินทิกรัลตลอดพื้นที่ของ 5 dA
  • 5:01 - 5:04
    5 ก็แค่่ค่าคงที่, เราก็สามารถดึงมันออกจากอินทิกรัลได้
  • 5:04 - 5:07
    นี่ก็จะออกมาเป็นโจทย์ง่าย ๆ
  • 5:07 - 5:12
    นี่ก็จะเท่ากับ 5 คูณอินทิกรัลสองชั้น
  • 5:12 - 5:15
    ตลอดพื้นที่ R dA
  • 5:15 - 5:16
    แล้วสิ่งนี้คืออะไร?
  • 5:16 - 5:19
    สิ่งนี่ตรงนี้คืออะไร?
  • 5:19 - 5:21
    มันดูนามธรรมมาก, แต่เราแก้มันออกมาได้
  • 5:21 - 5:26
    นี่ก็คือพื้นที่ของเขตแดนเรา
  • 5:26 - 5:28
    นั่นคือสิ่งที่อินทิกรัลสองชั้นนี้เป็น
  • 5:28 - 5:29
    คุณก็แค่รวม dA เล็ก ๆ เข้าด้วยกัน
  • 5:29 - 5:31
    นั่นก็ dA, นั่นก็ dA
  • 5:31 - 5:33
    คุณรวมผลรวมอนันต์ของ dA เล็ก ๆ พวกนั้น
  • 5:33 - 5:35
    ตลอดเขตทั้งหมด
  • 5:35 - 5:38
    ทีนี้ พื้นที่ของวงกลมหน่วยนี่คืออะไร?
  • 5:38 - 5:41
    เราก็กลับไปตอนอยู่มอสาม -- ที่จริง
  • 5:41 - 5:44
    ก่อนหน้านั้นอีก -- วิชาก่อนพีชคณิต หรือเรขาคณิต
  • 5:44 - 5:45
    มัธยมต้น
  • 5:45 - 5:48
    พื้นที่เท่ากับ ไพ r กำลังสอง
  • 5:48 - 5:49
    รัศมีเราเป็นเท่าไหร่?
  • 5:49 - 5:53
    วงกลมหน่วย, รัศมีเป็น 1
  • 5:53 - 5:54
    ความยาวเท่ากับ 1
  • 5:54 - 5:56
    พื้นที่ตรงนั้นเลยเท่ากับ ไพ
  • 5:56 - 5:59
    ดังนั้นสิ่งนี่ตรงนี้ ทั้งหมดนี่
  • 5:59 - 6:01
    ก็เท่ากับ ไพ
  • 6:01 - 6:06
    ดังนั้นคำตอบของอินทิกรัลเส้นเรา ก็แค่ 5 ไพ
  • 6:06 - 6:08
    ซึ่งตรงไปตรงมาทีเดียว
  • 6:08 - 6:10
    ผมหมายถึง, เราอาจแก้ปัญหาด้วยการตั้ง
  • 6:10 - 6:13
    อินทิกรัลสองชั้น โดยเราหาแอนติเดริเวทีฟ
  • 6:13 - 6:17
    เทียบกับ y ก่อน แล้วเขียน y เท่ากับ ลบสแควร์รูทของ 1
  • 6:17 - 6:20
    ลบ x กำลังสอง y เท่ากับ บวกสแควร์รูท
  • 6:20 - 6:22
    x ไปจาก ลบ 1 ถึง 1
  • 6:22 - 6:26
    แต่นั่นยุ่งยากและเป็นงานหนักทีเดียว
  • 6:26 - 6:28
    เราแค่ต้องรู้ตัวว่า, ว่า, นี่ก็แค่พื้นที่
  • 6:28 - 6:31
    และอีกอย่างที่น่าสนใจ คือ ผมอยากให้คุณลอง
  • 6:31 - 6:34
    แก้อินทิกรัลเดียวกันนี้โดยไม่ใช้ทฤษฎีบทของกรีน
  • 6:34 - 6:38
    คุณก็รู้, หลังจากตั้งพาราเมทริกให้เส้นโค้งนี้
  • 6:38 - 6:41
    ไปในทิศนี้, หาอนุพันธ์ของ
  • 6:41 - 6:43
    x ของ t กับ y ของ t
  • 6:43 - 6:45
    คูณมันด้วยอะไรดี ๆ แล้วหา
  • 6:45 - 6:49
    แอนติเดริเวทีฟ -- ยุ่งยากกว่าที่เราทำด้วย
  • 6:49 - 6:52
    ทฤษฏีบทของกรีนเยอะ ให้ได้ 5 ไพ
  • 6:52 - 6:55
    และจำไว้, สาเหตุที่มันไม่ใช่ ลบ 5 ไพ เพราะ
  • 6:55 - 6:58
    ตรงนี้เราไปตามเข็มนาฬิกา
  • 6:58 - 7:00
    หากเราไปในทิศทวนเข็มนาฬิกา เรา
  • 7:00 - 7:02
    จะใช้ทฤษฎีบทของกรีนตรง ๆ แล้ว
  • 7:02 - 7:04
    เราจะได้ ลบ 5 ไพแทน
  • 7:04 - 7:07
    เอาล่ะ, หวังว่ามันคงมีประโยชน์นะ
  • 7:07 - 7:07
    -
Title:
ตัวอย่างทฤษฎีบทของกรีน 2
Description:

ตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทของกรีนอีกอันหนึ่ง
more » « less
Video Language:
English
Duration:
07:07
conantee added a translation

Thai subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.