1
00:00:00,000 --> 00:00:00,570
-

2
00:00:00,570 --> 00:00:03,260
สมมุติว่าผมมีเส้นทางในระนาบ xy ที่เป็น

3
00:00:03,260 --> 00:00:03,990
วงกลมหน่วย

4
00:00:03,990 --> 00:00:06,860
-

5
00:00:06,860 --> 00:00:15,080
นี่คือแกน y, นี่คือแกน x, เส้นทางเรา

6
00:00:15,080 --> 00:00:16,780
จะเป็นวงกลมหน่วย

7
00:00:16,780 --> 00:00:21,550
-

8
00:00:21,550 --> 00:00:24,070
เราจะเดินตามมันแบบนั้น

9
00:00:24,070 --> 00:00:25,940
เราจะเดินตามเข็มนาฬิกา

10
00:00:25,940 --> 00:00:33,470
-

11
00:00:33,470 --> 00:00:35,460
ผมว่าคุณคงเข้าใจ

12
00:00:35,460 --> 00:00:37,530
และสมการมันคือวงกลมหน่วย

13
00:00:37,530 --> 00:00:41,600
นั่นคือสมการเป็น x กำลังสอง บวก y กำลังสอง

14
00:00:41,600 --> 00:00:44,440
เท่ากับ 1, วงกลมหน่วยมีรัศมีเป็น 1

15
00:00:44,440 --> 00:00:49,690
และสิ่งที่เราสนใจคือ อินทิกรัลเส้น

16
00:00:49,690 --> 00:00:52,700
ตามเส้นโค้ง c นี่

17
00:00:52,700 --> 00:00:54,310
มันคือเส้นโค้งแบบปิด c

18
00:00:54,310 --> 00:00:57,580
-

19
00:00:57,580 --> 00:01:11,400
มันจะไปในทิศนั่น ของ 2y dx ลบ 3x dy

20
00:01:11,400 --> 00:01:14,760
ดังนั้น, เราอาจจะอยากลองทฤษฎีบท

21
00:01:14,760 --> 00:01:16,520
ของกรีน ทำไมจะไม่ล่ะ?

22
00:01:16,520 --> 00:01:17,200
ลองกัน

23
00:01:17,200 --> 00:01:18,970
นี่คือเส้นทางของเรา

24
00:01:18,970 --> 00:01:25,510
ทฤษฎีบทของกรีนจะบอกเราว่า อินทิกรัลของเส้นโค้ง

25
00:01:25,510 --> 00:01:33,640
f ดอท dr ตลอดเส้นทางโดย f เท่ากับ -- ขอผมเขียน

26
00:01:33,640 --> 00:01:35,020
ให้เนี๊ยบน้อยนะ

27
00:01:35,020 --> 00:01:46,650
เมื่อ f ของ x,y เท่ากับ P ของ x,y i บวก Q ของ x,y j

28
00:01:46,650 --> 00:01:53,960
อินทิกรัลนี่จะเท่ากับอินทิกรัลสองชั้นตลอด

29
00:01:53,960 --> 00:01:56,510
พื้นที่ -- นี่ก็คือขอบเขตที่เราสนใจ

30
00:01:56,510 --> 00:01:57,780
ในตัวอย่างนี้

31
00:01:57,780 --> 00:02:10,140
ตลอดพื้นที่ของอนุพันธ์ย่อย Q เทียบกับ x

32
00:02:10,140 --> 00:02:18,170
ลบอนุพันธ์ย่อยของ P เทียบกับ y

33
00:02:18,170 --> 00:02:22,250
ทั้งหมดนั่น dA, ดิฟเฟอเรนเชียลของพื้นที่

34
00:02:22,250 --> 00:02:25,110
แน่นอน, ขอบเขตนั้นคือสิ่งที่ผมแสดงให้คุณดูไป

35
00:02:25,110 --> 00:02:30,690
ตอนนี้, คุณอาจจำได้หรือไม่ได้ -- ทีนี้, มันมีเล่ห์

36
00:02:30,690 --> 00:02:32,500
เหลี่ยมนิดหน่อยในนี้, ที่อาจ

37
00:02:32,500 --> 00:02:33,590
ทำให้คุณได้คำตอบผิด

38
00:02:33,590 --> 00:02:36,370
ในวิดีโอที่แล้ว เราบอกว่าทฤษฎีบทของกรีนใช้ได้

39
00:02:36,370 --> 00:02:39,220
หากเราไปในทิศทวนเข็มนาฬิกา

40
00:02:39,220 --> 00:02:40,905
ระลึกไว้, ว่าสิ่งเล็ก ๆ นี่ในอินทิกรัล ผมทำ

41
00:02:40,905 --> 00:02:42,410
ให้มันไปทิศทวนเข็มนาฬิกา

42
00:02:42,410 --> 00:02:45,740
ในตัวอย่างนี้, เส้นโค้งนี้ไปตามนาฬิกา

43
00:02:45,740 --> 00:02:47,430
พื้นที่นี้อยู่ทางขวา

44
00:02:47,430 --> 00:02:50,295
ทฤษฎีบทของกรีน -- มันใช้ได้ตอนพื้นที่อยู่ทางซ้าย

45
00:02:50,295 --> 00:02:55,620
-

46
00:02:55,620 --> 00:02:58,000
ดังนั้นในกรณีนี้ ตอนพื้นที่อยู่ทางขวาเรา

47
00:02:58,000 --> 00:02:59,340
และเราไป -- นี่คือทวนเข็มนาฬิกา

48
00:02:59,340 --> 00:03:04,020
-

49
00:03:04,020 --> 00:03:07,140
ดังนั้นในตัวอย่างของเรา, เราไปตามเข็มนาฬิกา, พื้นที่

50
00:03:07,140 --> 00:03:09,960
อยู่ทางขวา, ทฤษฎีบทของกรีนจะ

51
00:03:09,960 --> 00:03:10,730
เป็นลบของอันนี้

52
00:03:10,730 --> 00:03:14,970
ในตัวอย่างนี้, เราจะได้อินทิกรัลของ c

53
00:03:14,970 --> 00:03:16,670
และเราไปในทิศตามเข็มนาฬิกา

54
00:03:16,670 --> 00:03:21,910
บางทีผมจะเขียนมันเป็น f ดอท dr นี่จะ

55
00:03:21,910 --> 00:03:25,000
เท่ากับอินทิกรัลสองชั้นตลอดพื้นที่

56
00:03:25,000 --> 00:03:28,960
คุณสามารถสลับสองอันนี้ได้ -- อนุพันธ์ย่อยของ P เทียบ

57
00:03:28,960 --> 00:03:35,880
กับ y ลบ อนุพันธ์ย่อยของ Q เทียบกับ x da

58
00:03:35,880 --> 00:03:36,650
ลองทำดู

59
00:03:36,650 --> 00:03:39,480
นี่ก็จะเท่ากับ, ในตัวอย่างนี้,

60
00:03:39,480 --> 00:03:41,420
อินทิกรัลตลอดพื้นที่ -- ทำให้มัน

61
00:03:41,420 --> 00:03:43,000
เป็นนามธรรมไปก่อน

62
00:03:43,000 --> 00:03:45,420
เราเริ่มด้วยการตั้งขอบเขต, แต่ให้ขอบเขต

63
00:03:45,420 --> 00:03:46,930
เป็นนามธรรมไปก่อน

64
00:03:46,930 --> 00:03:51,790
แล้วอนุพันธ์ย่อยของ P เทียบกับ -- ลองนึกดู

65
00:03:51,790 --> 00:03:55,650
นี่ตรงนี้คือ -- ผมว่าเราควรจำได้แล้วว่า

66
00:03:55,650 --> 00:03:59,010
หากเราหา f ดอท dr เราจะได้อันนี้

67
00:03:59,010 --> 00:04:00,940
dr ให้องค์ประกอบพวกนี้มา

68
00:04:00,940 --> 00:04:04,330
f มีองค์ประกอบสองอันนี้

69
00:04:04,330 --> 00:04:05,570
ดังนั้นนี่คือ P ของ x,y

70
00:04:05,570 --> 00:04:08,370
-

71
00:04:08,370 --> 00:04:13,370
แล้วนี่คือ Q ของ x,y

72
00:04:13,370 --> 00:04:13,865
เราเห็นมาแล้ว

73
00:04:13,865 --> 00:04:16,010
ผมไม่อยากกลับไปเขียน ดอท dr แล้วหา

74
00:04:16,010 --> 00:04:16,950
ดอทโปรดัคใหม่อีก

75
00:04:16,950 --> 00:04:19,120
ผมว่าคุณคงเห็นแล้วว่านี่คือดอทโปรดัค

76
00:04:19,120 --> 00:04:20,570
ของเวกเตอร์สองอัน

77
00:04:20,570 --> 00:04:23,310
นี่คือองค์ประกอบ x ของ f, องค์ประกอบ y ของ f

78
00:04:23,310 --> 00:04:28,300
นี่คือองค์ประกอบ x ของ dr, องค์ประกอบ y ของ dr งั้นลอง

79
00:04:28,300 --> 00:04:31,290
หาอนุพันธ์ย่อยของ P เทียบกับ y กัน

80
00:04:31,290 --> 00:04:33,740
คุณก็หาอนุพันธ์ของอันนี้เทียบกับ y, คุณจะได้ 2

81
00:04:33,740 --> 00:04:35,740
อนุพันธ์ของ 2y ก็คือ 2

82
00:04:35,740 --> 00:04:40,590
คุณก็ได้ 2, แล้วก็, ลบอนุพันธ์

83
00:04:40,590 --> 00:04:42,270
ของ Q เทียบกับ x

84
00:04:42,270 --> 00:04:44,100
อนุพันธ์ย่อยของนี่เทียบกับ x คือลบ 3

85
00:04:44,100 --> 00:04:49,800
เราก็จะได้ลบ 3, แล้วทั้งหมดนั่น da

86
00:04:49,800 --> 00:04:53,430
และนีเท่ากับอินทิกรัลตลอดพื้นที่

87
00:04:53,430 --> 00:04:55,540
แล้วนี่คืออะไร, มันคือ 2 ลบ ลบ 3?

88
00:04:55,540 --> 00:04:57,510
นั่นก็เหมือนกับ 2 บวก 3

89
00:04:57,510 --> 00:05:01,190
มันก็คืออินทิกรัลตลอดพื้นที่ของ 5 dA

90
00:05:01,190 --> 00:05:04,280
5 ก็แค่่ค่าคงที่, เราก็สามารถดึงมันออกจากอินทิกรัลได้

91
00:05:04,280 --> 00:05:07,230
นี่ก็จะออกมาเป็นโจทย์ง่าย ๆ

92
00:05:07,230 --> 00:05:11,790
นี่ก็จะเท่ากับ 5 คูณอินทิกรัลสองชั้น

93
00:05:11,790 --> 00:05:14,870
ตลอดพื้นที่ R dA

94
00:05:14,870 --> 00:05:16,080
แล้วสิ่งนี้คืออะไร?

95
00:05:16,080 --> 00:05:18,610
สิ่งนี่ตรงนี้คืออะไร?

96
00:05:18,610 --> 00:05:20,880
มันดูนามธรรมมาก, แต่เราแก้มันออกมาได้

97
00:05:20,880 --> 00:05:25,770
นี่ก็คือพื้นที่ของเขตแดนเรา

98
00:05:25,770 --> 00:05:27,550
นั่นคือสิ่งที่อินทิกรัลสองชั้นนี้เป็น

99
00:05:27,550 --> 00:05:29,470
คุณก็แค่รวม dA เล็ก ๆ เข้าด้วยกัน

100
00:05:29,470 --> 00:05:31,490
นั่นก็ dA, นั่นก็ dA

101
00:05:31,490 --> 00:05:33,270
คุณรวมผลรวมอนันต์ของ dA เล็ก ๆ พวกนั้น

102
00:05:33,270 --> 00:05:35,150
ตลอดเขตทั้งหมด

103
00:05:35,150 --> 00:05:37,580
ทีนี้ พื้นที่ของวงกลมหน่วยนี่คืออะไร?

104
00:05:37,580 --> 00:05:40,730
เราก็กลับไปตอนอยู่มอสาม -- ที่จริง

105
00:05:40,730 --> 00:05:43,630
ก่อนหน้านั้นอีก -- วิชาก่อนพีชคณิต หรือเรขาคณิต

106
00:05:43,630 --> 00:05:44,860
มัธยมต้น

107
00:05:44,860 --> 00:05:47,960
พื้นที่เท่ากับ ไพ r กำลังสอง

108
00:05:47,960 --> 00:05:49,360
รัศมีเราเป็นเท่าไหร่?

109
00:05:49,360 --> 00:05:52,800
วงกลมหน่วย, รัศมีเป็น 1

110
00:05:52,800 --> 00:05:53,980
ความยาวเท่ากับ 1

111
00:05:53,980 --> 00:05:56,200
พื้นที่ตรงนั้นเลยเท่ากับ ไพ

112
00:05:56,200 --> 00:05:59,290
ดังนั้นสิ่งนี่ตรงนี้ ทั้งหมดนี่

113
00:05:59,290 --> 00:06:01,350
ก็เท่ากับ ไพ

114
00:06:01,350 --> 00:06:06,460
ดังนั้นคำตอบของอินทิกรัลเส้นเรา ก็แค่ 5 ไพ

115
00:06:06,460 --> 00:06:07,570
ซึ่งตรงไปตรงมาทีเดียว

116
00:06:07,570 --> 00:06:10,420
ผมหมายถึง, เราอาจแก้ปัญหาด้วยการตั้ง

117
00:06:10,420 --> 00:06:12,870
อินทิกรัลสองชั้น โดยเราหาแอนติเดริเวทีฟ

118
00:06:12,870 --> 00:06:16,990
เทียบกับ y ก่อน แล้วเขียน y เท่ากับ ลบสแควร์รูทของ 1

119
00:06:16,990 --> 00:06:19,990
ลบ x กำลังสอง y เท่ากับ บวกสแควร์รูท

120
00:06:19,990 --> 00:06:21,810
x ไปจาก ลบ 1 ถึง 1

121
00:06:21,810 --> 00:06:26,060
แต่นั่นยุ่งยากและเป็นงานหนักทีเดียว

122
00:06:26,060 --> 00:06:28,250
เราแค่ต้องรู้ตัวว่า, ว่า, นี่ก็แค่พื้นที่

123
00:06:28,250 --> 00:06:31,000
และอีกอย่างที่น่าสนใจ คือ ผมอยากให้คุณลอง

124
00:06:31,000 --> 00:06:34,170
แก้อินทิกรัลเดียวกันนี้โดยไม่ใช้ทฤษฎีบทของกรีน

125
00:06:34,170 --> 00:06:38,310
คุณก็รู้, หลังจากตั้งพาราเมทริกให้เส้นโค้งนี้

126
00:06:38,310 --> 00:06:41,230
ไปในทิศนี้, หาอนุพันธ์ของ

127
00:06:41,230 --> 00:06:42,660
x ของ t กับ y ของ t

128
00:06:42,660 --> 00:06:44,880
คูณมันด้วยอะไรดี ๆ แล้วหา

129
00:06:44,880 --> 00:06:48,540
แอนติเดริเวทีฟ -- ยุ่งยากกว่าที่เราทำด้วย

130
00:06:48,540 --> 00:06:51,810
ทฤษฏีบทของกรีนเยอะ ให้ได้ 5 ไพ

131
00:06:51,810 --> 00:06:54,645
และจำไว้, สาเหตุที่มันไม่ใช่ ลบ 5 ไพ เพราะ

132
00:06:54,645 --> 00:06:57,980
ตรงนี้เราไปตามเข็มนาฬิกา

133
00:06:57,980 --> 00:07:00,040
หากเราไปในทิศทวนเข็มนาฬิกา เรา

134
00:07:00,040 --> 00:07:02,330
จะใช้ทฤษฎีบทของกรีนตรง ๆ แล้ว

135
00:07:02,330 --> 00:07:04,200
เราจะได้ ลบ 5 ไพแทน

136
00:07:04,200 --> 00:07:06,530
เอาล่ะ, หวังว่ามันคงมีประโยชน์นะ

137
00:07:06,530 --> 00:07:06,533
-