Zastosowanie twierdzenia Greena, przykład 2

Kolejny przykład zastosowania twierdzenia Greena.

Weźmy płaszczyznę (x,y) i pętlę,

którą będzie koło jednostkowe.

Mamy oś y i oś x, a naszą pętlą

jest ten okrąg.

Pętla będzie zorientowana w ten sposób,

czyli zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

Mam nadzieję, że rozumiecie, o co chodzi.

Równaniem koła jednostkowego

jest oczywiście x^2 + y^2 = 1,

bo jego promień ma długość 1.

Będziemy liczyli całkę krzywoliniową

po tej pętli,

czyli krzywej zamkniętej c,

z wyrażenia 2y * dx - 3x * dy.

Narzuca się tu zastosowanie twierdzenia Greena,

więc zaufajmy tej intuicji.

więc zaufajmy tej intuicji.

To jest nasza pętla.

Twierdzenie Greena mówi, że całka krzywoliniowa po konturze

z funkcji f względem dr, gdzie f to...

Zapiszmy to trochę bardziej elegancko.

Gdzie f(x,y) = P(x,y) * i + Q(x,y) * j.

Że ta całka jest równa całce podwójnej

po tym polu,

po tym polu,

z wyrażenia dQ / dx - dP / dy.

z wyrażenia dQ / dx - dP / dy,

względem dA.
[dA = dx * dy, przyp. tłum.]

Oczywiście liczymy ją po tym obszarze.

Być może pamiętacie, w sumie

jest to bardzo ważne założenie, bez którego

uzyskalibyśmy zły wynik,

że twierdzenie Greena możemy zastosować,

jeżeli nasz kontur jest zorientowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Dla podkreślenia tego faktu

narysowałem tę strzałkę.

Jednak nasz kontur jest zorientowany odwrotnie. Gdy go

przemierzamy, obszar R mamy z prawej strony,

zaś twierdzenie Greena możemy zastosować, kiedy jest on z lewej strony.

W takiej sytuacji...

To jest zorientowane przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Więc w naszym przypadku, kiedy poruszamy się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, czyli

obszar mamy z prawej strony, by zachować równość

musimy dostawić minusa.

Tak więc dostajemy całkę po konturze c

zorientowanym zgodnie z ruchem wskazówek zegara,

dopiszmy nawet strzałkę, z wyrażenia f * dr. To jest równe

całce podwójnej po obszarze R

z minus tego, czyli z wyrażenia ( dP / dy - dQ /dx ) * dA.

z minus tego, czyli z wyrażenia ( dP / dy - dQ /dx ) * dA.

To zaś jest równe

To zaś jest równe

całce po obszarze R,

zachowajmy na razie

większą ogólność i nie podstawiajmy

nic za R,

z dP / dy, ale pamiętamy,

że tutaj...
Mam nadzieję, że widzicie,

że iloczyn f * dr daje właśnie to.

Z czynnika dr biorą się te dwie rzeczy,

zaś z f te dwie.

Więc u nas P(x,y) jest tutaj,

zaś to jest Q(x,y).

Kilkukrotnie przez to przechodziliśmy,

więc chyba nie ma sensu, żebym

tłumaczył to kolejny raz.

Zresztą pewnie i tak widzicie, że jest to po prostu

iloczyn skalarny dwóch wektorów.

To są pierwsza i druga składowa funkcji f,

zaś to są składowe różniczki dr.

Więc u nas dP / dy

to pochodna 2y po y, czyli 2.

to pochodna 2y po y, czyli 2.

Więc tutaj mamy 2 i od tego odejmiemy

pochodną dQ / dx,

pochodna tego po x to -3.

Więc wpisujemy -3 i mnożymy jeszcze to wszystko przez dA.

To jest zaś równe całce po R

z 2 - (-3),

czyli inaczej z 2 + 3,

więc wpisujemy pod całką 5 * dA.

5 to stała, więc możemy wystawić ją na zewnątrz.

Uprościliśmy znacznie zadanie,

bo dostaliśmy iloczyn 5 i podwójnej całki

z dA po obszarze R.

A czym jest ta całka?

A czym jest ta całka?

Wygląda nieprzyjemnie, ale możemy to policzyć,

bo jest to po prostu pole obszaru R.

Tylko tyle wyraża ta całka.

Po prostu sumujemy wszystkie nasze malutkie dA,

ten z tym, i z tym,

czyli nieskończenie wiele malutkich pól

które wypełniają ten obszar.

Więc jakie jest pole okręgu jednostkowego?

To na pewno mieliście w szkole

i to na dość wczesnym etapie,

to podstawowa geometria.

To pole to pi * r^2.

A jaka jest długość promienia?

Jesteśmy na kole jednostkowym,

więc wynosi ona 1.

Czyli nasze pole to pi.

Czyli cała ta całka

to po prostu pi.

A stąd wartością tej całki krzywoliniowej jest 5 * pi,

to całkiem przyjemna wartość.

Oczywiście mogliśmy się bawić w

szukanie funkcji pierwotnej najpierw

po y, w granicach od

minus pierwiastka z x do plus pierwiastka z x,

gdzie x przebiega wartości od -1 do 1.

Ale to by prowadziło do nieprzyjemnych rachunków.

Lepiej więc zauważyć, że to jest po prostu pole obszaru R.

Spróbujcie teraz policzyć tę całkę krzywoliniową

nie stosując twierdzenia Greena.

Kiedy już sparametryzujecie ten kontur,

z zachowaniem odpowiedniej orientacji,

policzycie pochodne x(t) i y(t) po t,

wszystko odpowiednio wymnożycie

to skończycie z nieprzyjemną całką, kiedy

twierdzenie Greena natychmiast daje odpowiedź.

Pamiętajcie, że tutaj nie wyszło - 5 * pi,

bo kontur był zorientowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

Gdyby był zorientowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara,

to moglibyśmy od razu zastosować twierdzenie Greena

i dostalibyśmy - 5 * pi.

Mam nadzieję, że ten przykład okazał się pomocny.