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Angenommen, ich habe einen Pfad in der Xy-Ebene, der im wesentlichen
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der Einheitskreis ist.
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Also meine y-Achse, dies ist meine x-Achse, und unser Pfad wird
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der Einheitskreis sein.
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Und wir es einfach so durchlaufen zu müssen.
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Wir werden es im Uhrzeigersinn durchlaufen.
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Ich denke, you get the Idea.
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Und so ist die Gleichung des Kreises Einheiten.
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So die Gleichung dieser ist x quadriert plus y kariert ist
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gleich 1; hat einen Radius von 1 Einheitskreis.
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Und was wir mit betroffen ist die Linie, die integraler
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über diese Kurve c.
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Es ist eine geschlossene Kurve c.
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Es geht tatsächlich in diese Richtung 2y DX abzüglich 3 x dy.
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Also, sind wir wahrscheinlich versucht Green zu verwenden
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Theorem und warum nicht?
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Also lassen Sie uns versuchen.
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Also das ist unser Weg.
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Also Green's Theorem uns, dass sagt das Integral der einige Kurve
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f Punkt dr über einige Pfad wo f gleich--lassen mich zu schreiben ist
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es ein wenig übersichtlicher Nit.
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Wo f von X, y ist gleich dem p von x, y ich plus q von X, y j.
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Ist dieses Integral gleich das doppelte integral über die
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Region--wäre dies der Region in Frage
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in diesem Beispiel.
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Über die Region von den teilweise von q zu x
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abzüglich der teilweise von p in Bezug auf y.
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Aller, dass dA das Differential Gegend.
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Und die Region ist natürlich, was ich gerade zeigte Sie.
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Nun, Sie können oder können nicht erinnern--nun, es ist ein
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leichte, feine Sache, die geben würde
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Sie die falsche Antwort.
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Im letzten Video haben wir gesagt, dass Green's Theorem, wenn gilt
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Wir werden gegen den Uhrzeigersinn.
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Beachten Sie, auch auf dieses kleine Ding auf das Integral habe ich
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Sie gehen gegen den Uhrzeigersinn.
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In unserem Beispiel geht die Kurve im Uhrzeigersinn.
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Die Region ist auf unserer rechten Seite.
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Green's Theorem--gilt dies, wenn die Region zu unserer linken befindet.
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Also in diesem Fall wird die Region um unser Recht und
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Wir sind gehen--also gegen den Uhrzeigersinn.
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Also in unserem Beispiel, wo wir im Uhrzeigersinn gehen, ist die region
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auf unserer rechten Seite, Greens Theorem wird die
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Dieser negative.
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Also in unserem Beispiel werden wir das Integral der c haben und
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Wir gehen im Uhrzeigersinn.
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Vielleicht werde ich es wie die von Dr. f Punkt lenken. Dies wird
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um das doppelte Integral über der Region entsprechen.
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Sie konnte nur diese beiden--die teilweise p mit Respekt tauschen
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y abzüglich der teilweise von q zu x da.
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Also lassen Sie uns tun.
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So wird dies gleich, in diesem Beispiel werden die
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Integral über der Region--gerade lassen es
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Zusammenfassung für jetzt.
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Wir könnte beginnen die Grenzen festlegen, aber lassen Sie uns nur
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halten der Region abstrakt.
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Und was ist die teilweise p mit Respekt--erinnern wir uns an,
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Dieses Recht ist hier unsere--ich denke, wir könnten Recht erkennen
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jetzt, daß wir f Punkt dr werden wir dieses erhalten.
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Die dr trägt dieser Komponenten.
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Die f trägt diese beiden Komponenten.
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Also ist p von x, y.
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Und dann ist q der x, y.
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Und wir haben es gesehen.
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Ich will nicht zu gehen in die ganze Dot-dr und nehmen den Punkt
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Produkt immer und immer wieder.
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Ich denke, dass Sie sehen können, dass dies das Skalarprodukt
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von zwei Vektoren.
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Dies ist die X-Komponente von f, die y-Komponente von f.
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Dies ist die X-Komponente der dr, die y-Komponente von dr. Also lassen Sie uns
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nehmen Sie die teilweise von p in Bezug auf y.
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Nehmen Sie die Ableitung von diesem Zusammenhang mit y, erhalten Sie 2.
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Ableitung von 2y ist nur 2.
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So erhalten Sie 2, und dann minus die Ableitung von
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Q zu X.
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Ableitung dieser nach x ist minus 3.
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Also werden wir minus 3 und dann alle, dass da bekommen.
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Und das ist gleich dem Integral über die Region.
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Was ist, ist es 2 Minus minus 3?
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Das ist das gleiche wie 2 plus 3.
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Es ist also das Integral über die Region von 5 dA.
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5 ist nur eine Konstante, so dass wir es aus dem Integral herausholen kann.
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Das wird also ganz ein einfaches Problem erweisen.
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Also wird das gleich 5 mal das doppelte integral
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über die Region R dA.
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Nun, was ist dieses Ding?
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Was ist dieses Ding hier?
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Es sieht sehr abstrakt, aber wir können dies beheben.
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Dies ist nur der Bereich der Region.
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Das ist, was das doppelte Integral darstellt.
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Einfach summieren Sie alle der kleinen dA
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Das ist dA, die einer dA ist.
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Sie fassen die unendlichen Summen diese wenig
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dA über die Region.
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Ist nun, was diese Einheit Kreisfläche?
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Hier brechen wir nur ein wenig der neunten Klasse--tatsächlich,
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sogar noch früher als die--Algebra oder mittleren
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Geometrie Sekundarstufe II.
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Bereich ist gleich Pi R Quadrat.
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Was ist unser Radius?
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Einheitskreis, unser Radius ist also 1.
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Länge ist 1.
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So ist die Gegend hier Pi.
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Also ist diese Sache hier, das ganze Ding
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nur gleich Pi.
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Also die Antwort auf unsere Linie integraler nur 5 Pi, ist die
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ist ziemlich einfach.
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Ich meine, wir die Mühe der Einrichtung eines Double genommen haben könnte
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wo wir die Stammfunktion für nehmen Integral
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y ersten und y ist die negative Quadratwurzel von 1 gleich schreiben
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minus x ist quadrierten y gleich die positive Quadratwurzel.
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X geht von minus 1 zu 1.
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Aber das wäre super behaart und ein großer Schmerz.
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Und wir müssen nur erkennen, Nein, dies ist nur der Bereich.
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Und das interessante ist, dass ich Sie lösen Herausforderung
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das gleiche integraler ohne Green's Theorem.
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Sie wissen, nach dem Generieren einer Parametrisierung für diese
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Kurve, gehen in diese Richtung, wobei die Derivate
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x t und y t.
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Multiplikation mit der entsprechenden Sache und dann unter der
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Stammfunktion--Weg haariger als was wir nur mit Taten
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Green's Theorem 5 Pi zu erhalten.
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Und denken Sie daran, den Grund, warum war es minus 5 Pi hier nicht
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ist, weil wir im Uhrzeigersinn gehen.
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Wenn wir entgegen dem Uhrzeigersinn gehend wurden wir
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könnte die gerade nach oben Green's Theorem und wir angewendet haben
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abzüglich 5 Pi bekommen haben würde.
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Wie auch immer, hoffentlich finden Sie, die nützlich.
