0:00:00.570,0:00:03.260 Angenommen, ich habe einen Pfad in der Xy-Ebene, der im wesentlichen 0:00:03.260,0:00:03.990 der Einheitskreis ist. 0:00:06.860,0:00:15.080 Also meine y-Achse, dies ist meine x-Achse, und unser Pfad wird 0:00:15.080,0:00:16.780 der Einheitskreis sein. 0:00:21.550,0:00:24.070 Und wir es einfach so durchlaufen zu müssen. 0:00:24.070,0:00:25.940 Wir werden es im Uhrzeigersinn durchlaufen. 0:00:33.470,0:00:35.460 Ich denke, you get the Idea. 0:00:35.460,0:00:37.530 Und so ist die Gleichung des Kreises Einheiten. 0:00:37.530,0:00:41.600 So die Gleichung dieser ist x quadriert plus y kariert ist 0:00:41.600,0:00:44.440 gleich 1; hat einen Radius von 1 Einheitskreis. 0:00:44.440,0:00:49.690 Und was wir mit betroffen ist die Linie, die integraler 0:00:49.690,0:00:52.700 über diese Kurve c. 0:00:52.700,0:00:54.310 Es ist eine geschlossene Kurve c. 0:00:57.580,0:01:11.400 Es geht tatsächlich in diese Richtung 2y DX abzüglich 3 x dy. 0:01:11.400,0:01:14.760 Also, sind wir wahrscheinlich versucht Green zu verwenden 0:01:14.760,0:01:16.520 Theorem und warum nicht? 0:01:16.520,0:01:17.200 Also lassen Sie uns versuchen. 0:01:17.200,0:01:18.970 Also das ist unser Weg. 0:01:18.970,0:01:25.510 Also Green's Theorem uns, dass sagt das Integral der einige Kurve 0:01:25.510,0:01:33.640 f Punkt dr über einige Pfad wo f gleich--lassen mich zu schreiben ist 0:01:33.640,0:01:35.020 es ein wenig übersichtlicher Nit. 0:01:35.020,0:01:46.650 Wo f von X, y ist gleich dem p von x, y ich plus q von X, y j. 0:01:46.650,0:01:53.960 Ist dieses Integral gleich das doppelte integral über die 0:01:53.960,0:01:56.510 Region--wäre dies der Region in Frage 0:01:56.510,0:01:57.780 in diesem Beispiel. 0:01:57.780,0:02:10.140 Über die Region von den teilweise von q zu x 0:02:10.140,0:02:18.170 abzüglich der teilweise von p in Bezug auf y. 0:02:18.170,0:02:22.250 Aller, dass dA das Differential Gegend. 0:02:22.250,0:02:25.110 Und die Region ist natürlich, was ich gerade zeigte Sie. 0:02:25.110,0:02:30.690 Nun, Sie können oder können nicht erinnern--nun, es ist ein 0:02:30.690,0:02:32.500 leichte, feine Sache, die geben würde 0:02:32.500,0:02:33.590 Sie die falsche Antwort. 0:02:33.590,0:02:36.370 Im letzten Video haben wir gesagt, dass Green's Theorem, wenn gilt 0:02:36.370,0:02:39.220 Wir werden gegen den Uhrzeigersinn. 0:02:39.220,0:02:40.905 Beachten Sie, auch auf dieses kleine Ding auf das Integral habe ich 0:02:40.905,0:02:42.410 Sie gehen gegen den Uhrzeigersinn. 0:02:42.410,0:02:45.740 In unserem Beispiel geht die Kurve im Uhrzeigersinn. 0:02:45.740,0:02:47.430 Die Region ist auf unserer rechten Seite. 0:02:47.430,0:02:50.295 Green's Theorem--gilt dies, wenn die Region zu unserer linken befindet. 0:02:55.620,0:02:58.000 Also in diesem Fall wird die Region um unser Recht und 0:02:58.000,0:02:59.340 Wir sind gehen--also gegen den Uhrzeigersinn. 0:03:04.020,0:03:07.140 Also in unserem Beispiel, wo wir im Uhrzeigersinn gehen, ist die region 0:03:07.140,0:03:09.960 auf unserer rechten Seite, Greens Theorem wird die 0:03:09.960,0:03:10.730 Dieser negative. 0:03:10.730,0:03:14.970 Also in unserem Beispiel werden wir das Integral der c haben und 0:03:14.970,0:03:16.670 Wir gehen im Uhrzeigersinn. 0:03:16.670,0:03:21.910 Vielleicht werde ich es wie die von Dr. f Punkt lenken. Dies wird 0:03:21.910,0:03:25.000 um das doppelte Integral über der Region entsprechen. 0:03:25.000,0:03:28.960 Sie konnte nur diese beiden--die teilweise p mit Respekt tauschen 0:03:28.960,0:03:35.880 y abzüglich der teilweise von q zu x da. 0:03:35.880,0:03:36.650 Also lassen Sie uns tun. 0:03:36.650,0:03:39.480 So wird dies gleich, in diesem Beispiel werden die 0:03:39.480,0:03:41.420 Integral über der Region--gerade lassen es 0:03:41.420,0:03:43.000 Zusammenfassung für jetzt. 0:03:43.000,0:03:45.420 Wir könnte beginnen die Grenzen festlegen, aber lassen Sie uns nur 0:03:45.420,0:03:46.930 halten der Region abstrakt. 0:03:46.930,0:03:51.790 Und was ist die teilweise p mit Respekt--erinnern wir uns an, 0:03:51.790,0:03:55.650 Dieses Recht ist hier unsere--ich denke, wir könnten Recht erkennen 0:03:55.650,0:03:59.010 jetzt, daß wir f Punkt dr werden wir dieses erhalten. 0:03:59.010,0:04:00.940 Die dr trägt dieser Komponenten. 0:04:00.940,0:04:04.330 Die f trägt diese beiden Komponenten. 0:04:04.330,0:04:05.570 Also ist p von x, y. 0:04:08.370,0:04:13.370 Und dann ist q der x, y. 0:04:13.370,0:04:13.865 Und wir haben es gesehen. 0:04:13.865,0:04:16.010 Ich will nicht zu gehen in die ganze Dot-dr und nehmen den Punkt 0:04:16.010,0:04:16.950 Produkt immer und immer wieder. 0:04:16.950,0:04:19.120 Ich denke, dass Sie sehen können, dass dies das Skalarprodukt 0:04:19.120,0:04:20.570 von zwei Vektoren. 0:04:20.570,0:04:23.310 Dies ist die X-Komponente von f, die y-Komponente von f. 0:04:23.310,0:04:28.300 Dies ist die X-Komponente der dr, die y-Komponente von dr. Also lassen Sie uns 0:04:28.300,0:04:31.290 nehmen Sie die teilweise von p in Bezug auf y. 0:04:31.290,0:04:33.740 Nehmen Sie die Ableitung von diesem Zusammenhang mit y, erhalten Sie 2. 0:04:33.740,0:04:35.740 Ableitung von 2y ist nur 2. 0:04:35.740,0:04:40.590 So erhalten Sie 2, und dann minus die Ableitung von 0:04:40.590,0:04:42.270 Q zu X. 0:04:42.270,0:04:44.100 Ableitung dieser nach x ist minus 3. 0:04:44.100,0:04:49.800 Also werden wir minus 3 und dann alle, dass da bekommen. 0:04:49.800,0:04:53.430 Und das ist gleich dem Integral über die Region. 0:04:53.430,0:04:55.540 Was ist, ist es 2 Minus minus 3? 0:04:55.540,0:04:57.510 Das ist das gleiche wie 2 plus 3. 0:04:57.510,0:05:01.190 Es ist also das Integral über die Region von 5 dA. 0:05:01.190,0:05:04.280 5 ist nur eine Konstante, so dass wir es aus dem Integral herausholen kann. 0:05:04.280,0:05:07.230 Das wird also ganz ein einfaches Problem erweisen. 0:05:07.230,0:05:11.790 Also wird das gleich 5 mal das doppelte integral 0:05:11.790,0:05:14.870 über die Region R dA. 0:05:14.870,0:05:16.080 Nun, was ist dieses Ding? 0:05:16.080,0:05:18.610 Was ist dieses Ding hier? 0:05:18.610,0:05:20.880 Es sieht sehr abstrakt, aber wir können dies beheben. 0:05:20.880,0:05:25.770 Dies ist nur der Bereich der Region. 0:05:25.770,0:05:27.550 Das ist, was das doppelte Integral darstellt. 0:05:27.550,0:05:29.470 Einfach summieren Sie alle der kleinen dA 0:05:29.470,0:05:31.490 Das ist dA, die einer dA ist. 0:05:31.490,0:05:33.270 Sie fassen die unendlichen Summen diese wenig 0:05:33.270,0:05:35.150 dA über die Region. 0:05:35.150,0:05:37.580 Ist nun, was diese Einheit Kreisfläche? 0:05:37.580,0:05:40.730 Hier brechen wir nur ein wenig der neunten Klasse--tatsächlich, 0:05:40.730,0:05:43.630 sogar noch früher als die--Algebra oder mittleren 0:05:43.630,0:05:44.860 Geometrie Sekundarstufe II. 0:05:44.860,0:05:47.960 Bereich ist gleich Pi R Quadrat. 0:05:47.960,0:05:49.360 Was ist unser Radius? 0:05:49.360,0:05:52.800 Einheitskreis, unser Radius ist also 1. 0:05:52.800,0:05:53.980 Länge ist 1. 0:05:53.980,0:05:56.200 So ist die Gegend hier Pi. 0:05:56.200,0:05:59.290 Also ist diese Sache hier, das ganze Ding 0:05:59.290,0:06:01.350 nur gleich Pi. 0:06:01.350,0:06:06.460 Also die Antwort auf unsere Linie integraler nur 5 Pi, ist die 0:06:06.460,0:06:07.570 ist ziemlich einfach. 0:06:07.570,0:06:10.420 Ich meine, wir die Mühe der Einrichtung eines Double genommen haben könnte 0:06:10.420,0:06:12.870 wo wir die Stammfunktion für nehmen Integral 0:06:12.870,0:06:16.990 y ersten und y ist die negative Quadratwurzel von 1 gleich schreiben 0:06:16.990,0:06:19.990 minus x ist quadrierten y gleich die positive Quadratwurzel. 0:06:19.990,0:06:21.810 X geht von minus 1 zu 1. 0:06:21.810,0:06:26.060 Aber das wäre super behaart und ein großer Schmerz. 0:06:26.060,0:06:28.250 Und wir müssen nur erkennen, Nein, dies ist nur der Bereich. 0:06:28.250,0:06:31.000 Und das interessante ist, dass ich Sie lösen Herausforderung 0:06:31.000,0:06:34.170 das gleiche integraler ohne Green's Theorem. 0:06:34.170,0:06:38.310 Sie wissen, nach dem Generieren einer Parametrisierung für diese 0:06:38.310,0:06:41.230 Kurve, gehen in diese Richtung, wobei die Derivate 0:06:41.230,0:06:42.660 x t und y t. 0:06:42.660,0:06:44.880 Multiplikation mit der entsprechenden Sache und dann unter der 0:06:44.880,0:06:48.540 Stammfunktion--Weg haariger als was wir nur mit Taten 0:06:48.540,0:06:51.810 Green's Theorem 5 Pi zu erhalten. 0:06:51.810,0:06:54.645 Und denken Sie daran, den Grund, warum war es minus 5 Pi hier nicht 0:06:54.645,0:06:57.980 ist, weil wir im Uhrzeigersinn gehen. 0:06:57.980,0:07:00.040 Wenn wir entgegen dem Uhrzeigersinn gehend wurden wir 0:07:00.040,0:07:02.330 könnte die gerade nach oben Green's Theorem und wir angewendet haben 0:07:02.330,0:07:04.200 abzüglich 5 Pi bekommen haben würde. 0:07:04.200,0:07:06.530 Wie auch immer, hoffentlich finden Sie, die nützlich.