Introduction to rational and irrational numbers

我们来简单地讲一下有理数。

有理数可以简单地理解为

任何能表示成两个整数之比的数。

例如，任何整数都是有理数。

1可以表示成1/1，-2/-2，

或者10000/10000。

这些都是1这个数的不同表示，

两个整数之比。

显然，我可以有

无数种方法来表示1

两个相同之数的比。

-7可以表示成-7/1，

或者7/（-1），或者-14/2。

我可以不断地列举下去。

所以-7肯定是有理数。

它可以表示成两个整数之比。

那么非整数呢？

例如，嗯，3.75。

怎么把它表示成两个整数之比呢？

3.75，可以写成

375/100，也可以是750/2。

或者3又3/4。

所以可以写成

15/4。

三四十二，加3得15。

跟15/4是一回事。

或者也可以写成-30/（-8）。

上下两边

同时乘以-2。

所以显然是有理数。

我给了几个

能够表示称两个整数之比的例子。

那么循环小数呢？

举个可能是最有名的循环小数

为例

我们有0.333……无限循环

可以表示为3上加一根小横杠。

0.3循环。

以后我们会讲

怎么把任意无限循环小数

表示成两个整数的比。这里显然等于1/3。

你可能也见过0.6循环是2/3。

还有很多很多这样的例子。

将来我们会讲，任何循环小数，

不只是1位循环的小数，

即使是一百万位数循环，

只要是重复循环的小数，

只要是重复循环的小数，

就总能表示成两个整数之比。

我知道你大概在想什么。

你已经涵盖了很多数。

涵盖了所有的整数，

涵盖了有限小数，

又包含了无限循环小数。

还剩什么？

还有不是有理数的数吗？

你大概在猜是有的。

否则也不用这么麻烦，

还给它起个名字叫有理数。

实际上，你应该能想象，

数学中最有名的一些数

不是有理数。

我们称它们为无理数。

这里我就列举几个

最最有名的例子。

Pi，圆的周长与直径之比，

是个无理数。

它是无限的，

天长地久无绝期，而且不循环。

e 也一样，无限不循环。

它出自连续复利计算。

出自复分析。

e到处都有应用。

根号2，无理数。

Phi，黄金分割比例，无理数。

这些都是来自于自然的数，

有很多都是无理数。

你可能会说，这些都是无理数吗？

都是一些特别的数。

所以，也许大部分数都是有理数，

我只是挑了一些特别的数放在这里。

但是注意，这些数确实特别，

因为它们各自的意义。

但无理数并不少见。

事实上，

两个有理数之间，总是存在一个无理数。

我们可以不断推演。

实际上有无穷多个无理数。

但至少有一个。这告诉你

并不能说

无理数比有理数少。

在接下来的视频中，

我们将证明，给定两个有理数，有理数1和有理数2，

他们之间至少存在一个无理数。

这是个很漂亮的结论，

因为无理数似乎看上去特别而少见。

还有一种思考的方法：我举了根号2的例子。

实际上，任何一个非完全平方数，

开根号之后都是无理数。

有理数与无理数之和

将来我们会学到，

我们会自己去证明，

有理数与无理数之和

是无理数。

有理数与无理数之积

也是无理数。

所以，无理数有很多很多。