-
-
ลองคุยกันเรื่องจำนวนตรรกยะ
สักหน่อยดีกว่า
-
-
วิธีที่เราคิดถึงมันคือว่า
มันคือจำนวนที่
-
ที่แทนได้ด้วยอัตราส่วน
ของจำนวนเต็มสองตัว
-
นั่นคือจำนวนตรรกยะ
-
ตัวอย่างเช่น จำนวนเต็มใดๆ
เป็นจำนวนตรรกยะ
-
1 แทนได้ด้วย 1/1 หรือ
ลบ 2 ส่วนลบ 2
-
หรือ 10,000/10,000
-
ทั้งหมดนี้ นี่คือวิธีการแทนจำนวน 1
-
เป็นอัตราของจำนวนเต็ม
สองตัวแบบต่างๆ
-
และแน่นอนผมแทนจำนวน 1
-
แบบนี้ได้จำนวนนับไม่ถ้วน
-
จำนวนเดิมส่วนจำนวนเดิม
-
จำนวนลบ 7 สามารถ
แทนได้เป็นลบ 7/1
-
หรือ 7 ส่วนลบ 1
หรือลบ 14 ส่วนบวก 2
-
แล้วผมก็ทำไปเรื่อยๆ
เรื่อยๆ เรื่อยๆ ได้
-
ลบ 7 จึงเป็นจำนวนตรรกยะแน่นอน
-
มันสามารถแทนได้ด้วย
อัตราส่วนจำนวนเต็มสองตัว
-
แต่จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็มล่ะ
-
ตัวอย่างเช่น ลองนึกดู
-- ไม่รู้สิ -- 3.75
-
เราจะแทนมันเป็นอัตราส่วน
ของจำนวนเต็มสองตัวอย่างไร?
-
ตรงนี้ 3.75 คุณเขียนมันใหม่
-
เป็น 375/100 ซึ่งก็คือ
750/200
-
หรือคุณบอกว่า เฮ้
3.75 ก็เหมือนกับ 3
-
กับ 3/4 -- ขอผมเขียนตรงนี้นะ --
-
ซึ่งเท่ากับ -- มันคือ 15/4
-
4 คูณ 3 ได้ 12, บวก 3 ได้ 15
คุณก็เขียนแบบนี้ได้
-
มันเท่ากับ 15/4
-
หรือเราเขียนมันเป็น
ลบ 30 ส่วนลบ 8 ได้
-
ผมก็แค่คูณทั้งเศษและส่วน
-
ด้วยลบ 2
-
บอกให้ชัดอีกที
นี่คือจำนวนตรรกยะชัดเจน
-
ผมจะยกตัวอย่างหลายอัน
-
ว่าจำนวนนี้เขียนเป็นอัตรา
ของจำนวนเต็มสองตัวได้อย่างไร
-
ทีนี้ ทศนิยมซ้ำล่ะ?
-
ขอผมเลือกทศนิยมซ้ำ
-
ที่ดังที่สุดแล้วกันนะ
-
สมมุติว่าคุณมี 0.333
ที่ยาวไปตลอด
-
ซึ่งเราเขียนมันโดยใส่ขีด
บนเลข 3
-
-
มันคือ 0.3 ซ้ำ
-
และเราเห็นว่า --
ต่อไปเราจะแสดง
-
ว่าคุณแปลงทศนิยมซ้ำใดๆ
-
เป็นอัตราส่วนของจำนวนเต็ม
สองตัวได้ -- ว่ามันคือ 1/3
-
หรือบางที คุณเห็นของอย่างเช่น
0.6 ซ้ำ ซึ่งก็คือ 2/3
-
และยังมีตัวอย่างอื่นๆ
ต่างๆ มากมายแบบนี้
-
และเราจะเห็น่วาทศนิยมซ้ำใดๆ
-
ไม่ใช่แค่ซ้ำหลักเดียว
-
ถือแม้ว่ามันจะซ้ำล้านหลัก
-
ตราบใดที่รูปแบบเริ่มซ้ำตัวเอง
-
ซ้ำแล้วซ้ำอีกไปเรื่อยๆ
-
คุณจะแทนมันได้ด้วย
อัตราส่วนของจำนวนเต็มสองตัว
-
ผมรู้ว่าคุณน่าจะคิดอะไรอยู่
-
เฮ้ ซาล นายใส่เลขมากมาย
-
นายรวมจำนวนเต็มทุกตัว
-
นายรวมทศนิยมจำกัด
แบบไม่ซ้ำทั้งหมด
-
แล้วยังรวมทศนิยมอีก
-
แล้วจะเหลืออะไร?
-
มีจำนวนอื่นๆ ที่ไม่ใช่
จำนวนตรรกยะหรือไม่?
-
และคุณคงเดาได้ว่า
มีจำนวนอย่างอื่นอีก
-
ไม่อย่างนั้น คนคงไม่มานั่ง
-
พยายามตั้งชื่อว่าตรรกยะหรอก
-
และปรากฎว่า -- คุณ
คงนึกออก -- ว่าที่จริงแล้ว
-
จำนวนที่ดังที่สุดบางส่วน
ในวิชาคณิตศาสตร์ทั้งปวง
-
นั้นไม่ใช่จำนวนตรรกยะ
-
เราเรียกจำนวนเหล่านี้
ว่าจำนวนอตรรกยะ
-
-
และผมได้เขียนตัวอย่าง
-
ที่น่าจดจำมากที่สุดไว้หลายตัว
-
ไพ -- อัตราส่วนของเส้นรอบวง
-
ต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม
-- เป็นจำนวนอตรรกยะ
-
มันไม่รู้จบ
-
มันไปเรื่อยๆ ตลอดไป
ไม่ซ้ำด้วย
-
e เหมือนกัน -- ไม่รู้จบ
ไม่ซ้ำ
-
มันมาจากการคิดดอกเบี้ย
ทบต้นอย่างต่อเนื่อง
-
มันมาจากการวิเคราะห์เชิงซ้อน
-
e ปรากฎไปทั่ว
-
สแควร์รูท 2 เป็น
จำนวนอตรรกยะ
-
ไฟ คืออัตราส่วนทอง
เป็นจำนวนอตรรกยะ
-
สิ่งเหล่านี้โผล่ขึ้นมา
-
จากธรรมชาติ จำนวน
เหล่านี้หลายตัวเป็นอตรรกยะ
-
ทีนี้ คุณอาจบอกว่า โอเค
พวกนี้เป็นจำนวนอตรรกยะไหม?
-
มันเป็นแค่จำนวนพิเศษ
-
แต่บางที จำนวนส่วนใหญ่
อาจเป็นจำนวนตรรกยะ
-
และซาลเลือกมาแต่
กรณีพิเศษตรงนี้
-
แต่สิ่งสำคัญที่ควรตระหนัก
คือว่ามันดูแปลก
-
และมันดูแปลกในบางแง่
-
แต่มันไม่ได้ประหลาดขนาดนั้น
-
ที่จริงแล้ว ปรากฏว่ามันมี
-
จำนวนอตรรกยะระหว่าง
จำนวนตรรกยะสองตัวเสมอ
-
เราทำต่อไปเรื่อยๆ ได้
-
ที่จริงแล้วมีจำนวนนับไม่ถ้วน
-
แต่อย่างน้อยจะมีหนึ่งตัว
ที่พอให้คุณเข้าใจว่า
-
คุณบอกไม่ได้ว่า
-
มีจำนวนอตรรกยะ
น้อยกว่าจำนวนตรรกยะ
-
และในวิดีโอหน้า เราจะพิสูจน์
-
ว่าถ้าคุณให้จำนวนตรรกยะ
สองตัวมา -- ตรรกยะ 1
-
ตรรกยะ 2 -- มันจะมี
จำนวนอตรรกยะอย่างน้อยหนึ่งตัว
-
ระหว่างค่าเหล่านี้
ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่เยี่ยมมาก
-
เพราะจำนวนอตรรกยะ
ดูแปลกมาก
-
วิธีคิดอีกอย่างคือ --
ผมหาสแควร์รูทของ 2
-
แต่คุณหาสแควร์รูทของจำนวน
ที่ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์
-
คุณจะได้จำนวนอตรรกยะ
-
คุณหาผลบวกของ
จำนวนอตรรกยะ
-
กับจำนวนตรรกยะ --
เราจะเห็นต่อไป
-
เราจะพิสูจน์ด้วยตัวเอง
-
ผลบวกของจำนวนอตรรกยะ
กับจำนวนตรรกยะ
-
จะเท่ากับอตรรกยะ
-
ผลคูณของจำนวนอตรรกยะ
กับจำนวนตรรกยะ
-
จะเท่ากับจำนวนอตรรกยะ
-
มันมีจำนวนอตรรกยะ
มากมาย
-
ในนั้น