Introduction to rational and irrational numbers

Laten we het hebben over rationale getallen.

Laten we het hebben over rationale getallen.

En de eenvoudigste manier om daarover te denken is dat elk getal

dat kan worden weergegeven als de verhouding van twee hele getallen

is een rationaal getal.

Bijvoorbeeld, elk heel getal is een rationaal getal.

1 kan worden weergegeven als 1/1 of als -2/-2

of als 10.000/10.000

In al deze gevallen zijn er verschillende representaties

van het getal 1, de ratio van twee hele getallen.

Uiteraard heb ik een oneindig aantal

van representaties van 1 op deze manier.

Hetzelfde getal gedeeld door hetzelfde getal.

Het getal -7 kan worden weergegeven als -7/1,

of 7/-1, of -14/2.

Ik kan zo blijven doorgaan.

Dus -7 is zeker een rationaal getal.

Het kan worden gerepresenteerd als
de ratio van twee hele getallen.

Maar hoe zit het met dingen die geen hele getallen zijn?

Neem bijvoorbeeld 3,75.

Hoe kunnen we dat weergeven
als de ratio van twee hele getallen?

Nou, 3,75 kunnen we omschrijven

als 375/100, wat hetzelfde is als 750/200.

Of ik kan zeggen, 3,75 is hetzelfde als 3

en 3/4

wat hetzelfde is als 15/4.

4 keer 3 is 12, plus 3 is 15.

Dit is hetzelfde als 15/4.

Of we kunnen dit schrijven als -30/-8.

Ik heb alleen maar de teller en de noemer

met -2 vermenigvuldigd.

Voor de duidelijkheid, dit is rationaal.

Ik heb je meerdere voorbeelden gegeven hoe

dit kan worden weergegeven
als de ratio van twee hele getallen.

En hoe zit het met repeterende decimalen?

Laten we het meest beroemde geval

nemen van repeterende decimalen.

Zeg je hebt 0,333... dat voor altijd doorgaat,

wat we kunnen aangeven door
een klein streepje aan de bovenkant

van de 3.

Dit is 0,3 repeterend.

We zullen later zien

hoe je een repeterende decimaal kan omzetten

naar de ratio van twee hele getallen--
dit is natuurlijk 1/3.

Misschien heb je iets gezien als 0,6 repeterend, dat is 2/3.

En er zijn vele, vele, vele andere voorbeeld hiervan.

We zullen zien dat elk repeterende decimaal-- niet alleen

één repeterend cijfer.

Zelfs als het een miljoen repeterende cijfers heeft,

zolang het patroon zichzelf maar begint te herhalen

elke keer maar weer,

kan je het altijd weergeven als de ratio
van twee hele getallen.

En ik weet wat je waarschijnlijk denkt.

Hey, Sal, je hebt wel heel veel inbegrepen.

Je hebt alle hele getallen inbegrepen.

Je hebt alle eindige niet-repeterende decimalen inbegrepen,

en je hebt ook alle repeterende decimalen inbegrepen.

Is er nog iets over?

Zijn er getallen die niet rationaal zijn?

En je hebt waarschijnlijk al geraden dat die er zijn,

anders zouden mensen niet de moeite nemen

om deze dingen als rationaal te labelen.

En het blijkt dat sommige

van de meest bekende getallen in de wiskunde

niet rationaal zijn.

En we noemen ze irrationale getallen.

Irrationale getallen.

En ik heb een lijst met enkele van de meest

noemenswaardige voorbeelden.

Pi-- de verhouding tussen de omtrek

en de diameter van een cirkel-- is een irrationaal getal.

Het stopt nooit.

Het gaat voor altijd door en door, en het repeteert nooit.

e, hetzelfde-- stopt nooit, repeteert nooit.

Het komt voort uit
doorwerking van samengestelde rente.

Het komt voort uit complexe analyse.

e verschijnt overal.

Wortel 2, irrationaal getal.

Phi, de gulden snede, irrationaal getal.

Deze dingen die spontaan opdoemen uit

de natuur, meerdere van deze getallen zijn irrationaal.

Nu kan je zeggen, "OK, zijn deze irrationaal?

"Dit zijn gewoon een speciaal soort getallen.

"Maar misschien zijn de meeste getallen rationaal,

"en heeft Sal gewoon een paar
bijzondere gevallen uitgekozen."

Maar het is belangrijk om te realiseren dat ze er exotisch uit zien,

en ze zijn ook exotisch op hun manier.

Maar ze zijn niet ongewoon.

Het blijkt dat er altijd

een irrationeel getal bestaat
tussen elke twee rationale getallen.

Er is eigenlijk een oneindig aantal.

Maar er is er tenminste één, dus dat geeft

je een indruk dat je niet kan zeggen dat er

minder irrationale getallen zijn dan rationale getallen.

In een toekomstige video bewijzen we

dat als je me twee rationale getallen geeft-- rationaal 1,

rationeel 2-- er is tenminste één irrationaal getal

tussen deze twee, wat een knap resultaat is,

want irrationele getallen schijnen exotisch te zijn.

Op een andere manier-- Ik nam de wortel van 2,

maar als je de wortel neemt van
elk imperfect vierkant,

dan hou je een irrationaal getal over.

Als je de som neemt van een irrationaal getal

en een rationaal getal-- en dat zullen we later zien.

We zullen het onszelf gaan bewijzen.

De som van een irrationaal en een rationaal

is een irrationaal.

Het product van een irrationaal en een rationaal

is een irrationaal.

Dus er zijn vele, vele, vele irrationale getallen

in het wild.