Introduction to rational and irrational numbers

Sprechen wir ein wenig über rationale Zahlen.

Am einfachsten: Jede Zahl, die als Verhältnis

zwischen zwei ganzen Zahlen dargestellt werden kann,

ist eine rationale Zahl.

Zum Beispiel ist jede ganze Zahl eine rationale Zahl.

1 kann beispielsweise als 1/1 oder als -2/-2 oder

als 10.000/10.000 geschrieben.

Hier überall handelt es sich um unterschiedliche Darstellungen

der Zahl 1 anhand des Verhältnisses zweier ganzer Zahlen.

Ich kann es bei der Darstellung von 1

mit einer beliebigen ganzen Zahl zu tun haben,

wenn die gleiche Zahl über der gleichen Zahl steht.

Die Zahl -7 könnte als -7/1, als

7/-1 oder auch als -14/2 dargestellt werden.

Und da gäbe es noch unzählig weitere Möglichkeiten.

-7 ist also definitiv eine rationale Zahl.

Es kann als Ratio (Verhältnis) von zwei ganzen Zahlen dargestellt werden.

Wie sieht es nun aus, wenn da keine ganzen Zahlen sind?

Nehmen wir zum Beispiel 3,75.

Wie kann ich das im Verhältnis zweier ganzen Zahlen darstellen?

Nun, 3,75 kann man

als 375/100 schreiben, was das Gleiche ist wie 750/200.

Man könnte auch sagen, dass 3,75 das Gleiche ist

wie 3 und 3/4.

Das wiederum ist das Gleiche wie 15/4.

4 mal 3 ist 12, plus 3 ist gleich 15.

Es ist das Gleiche wie 15/4.

Wir könnten es aber auch als -30/-8 schreiben.

Ich habe nun soeben den Zähler und den Nenner

mit -2 multipliziert.

Aber um es klarzustellen: Es handelt sich um eine rationale Zahl.

Wir sprechen hier über mehrere Möglichkeiten,

wie dies anhand des Verhältnisses zweier ganzen Zahlen dargestellt werden kann.

Wie sieht es mit sich wiederholenden Nachkommastellen aus?

Lass es uns anhand des vielleicht bekanntesten

"Wiederholens einer Stelle hinter dem Komma" anschauen.

Wir nehmen 0,333. Das geht nun endlos so weiter hinter dem Komma. Wir können

dies nun mittels dieses kleinen Striches oberhalb

der 3 kennzeichnen.

Dies bedeutet 0,3 (die 3 wiederholt sich).

Wir haben gesehen und werden nochmals sehen,

wie man all diese Zahlen mit sich wiederholenden Nachkommastellen

als Verhältnis zweier ganzen Zahlen darstellen kann. Hier entspricht es dem Bruch 1/3.

Vielleicht hast du auch schon solches wie 0,6 (6 wiederholt sich) gesehen. Dies sind 2/3.

Es gibt aber noch viel, viel mehr Beispiele.

Auch solche, wo sich nicht nur die gleiche Stelle

hinter dem Komma wiederholt.

Das können auch Millionen sich wiederholende Ziffern sein.

Solange sich eine Abfolge der Nachkommastellen

immer wieder wiederholt, kann man es

als Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellen.

Ich weiss, was du vielleicht nun denkst.

Hey, Sal, du hast bereits vieles aufgezeigt.

Du hast gezeigt, wie es sich mit ganzen Zahlen äussert.

Du hast es auch anhand von Zahlen mit nicht unendlich wiederholenden Nachkommastellen gezeigt.

Und du hast uns auch dies mit den sich wiederholenden Kommastellen gezeigt.

Was gibt es darüber hinaus?

Gibt es überhaupt Zahlen, welche nicht rational sind?

Und wie du vielleicht schon ahnst, ist es so.

Ansonsten würde man auch Probleme habe,

hier wiederum von rationalen Zahlen zu sprechen.

Und es ist nun so, dass ein paar

der wohl berühmtesten Zahlen der Mathematik

nicht rational sind.

Und wir nennen diese eben irrationale Zahlen.

Irrationale Zahlen.

Ich habe hier ein paar der wichtigsten

hingeschrieben.

Pi, das Verhältnis des Kreisumfanges

zu dessen Durchmesser. Es handelt sich um eine irrationale Zahl.

Die Nachkommastellen hören nie auf und wiederholen sich nicht.

Es geht da also immer weiter, ohne Wiederholung.

das genau Gleiche. Unbegrenzt, es wiederholt sich nie.

Hat was mit kontinuierlichen Zinseszinsen zu tun.

Hat was mit komplexer Analysis zu tun.

Zeigt sich immer wieder mal.

Die Quadratwurzel von 2. Es handelt sich um eine irrationale Zahl.

Phi, der "goldene Schnitt", ist eine irrationale Zahl.

Gewissermassen sind diese Zahlen natürlich.

Viele von denen sind irrational.

Du denkst dir vielleicht nun: Ok, diese sind halt irrational.

Aber irgendwie einfach eine Ausnahme.

Aber eigentlich sind die meisten Zahlen rational.

Sal hat einfach ein paar Spezialfälle rausgepickt.

Aber es ist wichtig, dass diese zwar exotisch erscheinen

(irgendwie sind sie es auch),

aber sie sind nicht ungewöhnlich.

Es zeigt sich, dass es immer eine

irrationale Zahl zwischen zwei rationalen Zahlen gibt.

Wir können da nun weiter und weiter gehen.

Eigentlich eine unbegrenzte Zahl...

Aber man kann nicht sagen,

dass es weniger

irrationale Zahlen als rationale Zahlen gibt.

Und in einem zukünftigen Video werden wir beweisen,

dass es zwischen zwei rationalen Zahlen, zum Beispiel

hier zwischen "rational 1" und "rational 2" mindestens eine irrationale Zahl.

Hier geht es um die Quadratwurzel von 2. Eigentlich ist aber so, dass

wann immer man eine Quadratwurzel zieht und nicht

eine ganze zahlt erhält, eine irrationale Zahl daraus folgt.

Nehmen wir die Summe einer irrationalen und einer

rationalen Zahl. Hier, und wir werden das noch später sehen...

Die Summe einer irrationalen und einer rationalen Zahl

ist irrational.

Das Produkt (Resultat) einer irrationalen und einer rationalen Zahl

ist also irrational.

Es gibt also jede Menge an irrationalen Zahlen.