Introduction to rational and irrational numbers

Řekněme si nyní něco o racionálních číslech.

Racionální číslo je jednoduše
jakékoliv číslo,

které může být vyjádřeno

jako podíl dvou celých čísel.

Například jakékoliv celé číslo
je racionální číslo.

Číslo 1 můžeme vyjádřit jako 1/1 nebo
-2 lomeno -2

nebo jako 10 000/10 000.

Všechny tyto příklady
představují různé způsoby

jak vyjádřit číslo 1,
jako podíl dvou celých čísel.

Takovým způsobem mohu
samozřejmě získat

nekonečné množství
reprezentací čísla 1,

jakékoliv číslo lomeno to stejné číslo.

Číslo -7 můžeme vyjádřit jako -(7/1),

nebo 7 lomeno -1
nebo -14 lomeno 2.

A tak bychom mohli pokračovat dál.

Číslo -7 je tedy zcela jistě racionální.

Můžeme ho vyjádřit
jako podíl dvou celých čísel.

Co ale s čísly, která nejsou celá?

Vezměme si například 3,75.

Jak můžeme toto číslo vyjádřit
jako poměr dvou celých čísel?

Číslo 3,75 můžete zapsat také jako

375/100 nebo jako 750/200.

Mohli byste také říct,
že 3,75

se rovná 3 a 3/4

nebo také 15/4.

4 krát 3 je 12, plus 3 je 15.

Je to tedy 15/4.

Mohli bychom to také zapsat jako
-30 lomeno -8.

Jen jsem vynásobil čitatele i jmenovatele

-2

Je to tedy určitě racionální číslo.

Dal jsem vám spoustu příkladů,

jak jej můžeme vyjádřit
jako podíl dvou celých čísel.

A co třeba periodická čísla?

Vezměme si třeba nejznámější

periodické číslo 0,333.

Máme tedy číslo 0,333,
které pokračuje donekonečna,

což můžeme zapsat
s pomocí malé čárky

nad číslicí 3.

Je to 0,3 periodicky.

Později si ukážeme,

jak se dá převést jakékoliv
periodické číslo

na podíl dvou celých čísel.
Toto je zcela jasně 1/3.

Možná jste viděli číslo
0,6 periodicky, což jsou 2/3.

Existuje spousta dalších příkladů.

Platí to pro všechna periodická čísla,

nejen tam, kde se opakuje jedna číslice.

Dokonce i u těch, která mají
milion číslic periodicky.

Pokud se část opakuje

stále dál a dál,

můžete takové číslo vždy vyjádřit
jako podíl dvou celých čísel.

Vím, co si asi říkáte:

"Hele, Sale, to ale platí pro hodně čísel.

Podle tebe jsou racionální
všechna celá čísla,

všechna konečná neperiodická čísla

a také všechna periodická čísla.

Která tedy zbývají?

Existují nějaká neracionální čísla?"

Uhádli jste, ano, jsou,

jinak by si lidé nedávali

tu práci a neoznačili by
ta první jako racionální.

Dokonce se ukázalo,

že většina čísel
známých v matematice

není racionální.

Říkáme jim iracionální čísla.

Já jsem tu vytvořil seznam jen

několika příkladů,
které stojí za zmínku.

Číslo Pí, poměr obvodu kruhu

k jeho průměru,
je iracionální číslo.

Nikdy nekončí.

Pokračuje stále dál a dál donekonečna
a nikdy se neopakuje.

Eulerovo číslo e, to samé,
nikdy nekončí, nikdy se neopakuje.

Objevuje se v nepřetržitém
složeném úročení.

Objevuje se v komplexní analýze.

Eulerovo číslo je prostě všude.

Odmocnina ze 2,
iracionální číslo.

Fí, zlatý řez,
iracionální číslo.

Zkrátka všechny tyto věci,
které se přirozeně objevují,

mnoho takových čísel
je iracionálních.

Mohli byste říci: "Dobře, jsou iracionální.

To budou asi jen nějaké výjimky.

Většina čísel jsou ale
asi racionální čísla

a Sal si tu prostě jen vybral
nějaké výjimečné příklady."

Musíme si ale uvědomit,
že se zdají být výjimečná

a jistým způsobem jsou výjimečná.

Nejsou ale neobvyklá.

Vlastně se ukazuje,
že mezi dvěma racionálními čísly

je vždy nějaké iracionální číslo.

Mohli bychom s výčtem
pokračovat dál.

Je jich nekonečné množství.

Nemůžete jen tak říci,

že existuje méně iracionálních

než racionálních čísel.

V některém z následujících videí dokážeme,

že pokud budeme mít
dvě racionální čísla,

racionální 1 a 2, bude mezi nimi
alespoň jedno iracionální číslo,

a to je přesný výsledek,

protože iracionální čísla
se zdají být výjimečná.

Můžeme to chápat i jinak.
Já jsem pracoval s odmocninou ze 2,

vy ale vezmete odmocninu
jakéhokoliv nedokonalého čtverce

a výsledkem bude iracionální číslo.

Vezměte si součet iracionálního

a racionálního čísla…
podíváme se na to později.

Dokážeme si to.

Součet iracionálního
a racionálního čísla

bude iracionální.

Součin iracionálního
a racionálního čísla

bude iracionální číslo.

Existuje tedy velké množství

iracionálních čísel.