-
Нека поговорим за рационални числа.
-
Рационални числа.
-
И най-простият начин да го обясним е,
-
че всяко число, което може да се представи
като частно на две цели числа,
-
е рационално число.
-
Например всяко цяло число е рационално.
-
1 може да бъде представено
като 1 върху 1,
-
или като –2 върху –2,
-
или 10 000/10 000.
-
Във всички тези случаи това са числа, които
представляват частно на две цели числа.
-
Очевидно те са равни, защото имаме
едно число, разделено на себе си.
-
Числото –7 може да бъде представено
като –7/1 или 7/–1,
-
или –14/2 и това може да продължи още.
-
Така че –7 е със сигурност рационално число.
-
То е представено като частно
на две цели числа.
-
А сега нека да си представим 3,75.
-
Как можем да представим това число като
частно на две цели числа?
-
3,75 е равно на 375/100.
-
Което е същото като 750/200.
-
Това може да бъде също 3 цяло и 3/4.
-
Което е равно на 15/4.
-
4 по 3 е 12, плюс 3 е 15.
-
Можем да запишем това като 15/4.
-
Или –30/–8,
-
просто умножаваме числителя и
знаменателя по –2.
-
Но това очевидно е рационално число,
-
тук дадохме множество примери как
-
може да се получи като частно
на две цели числа.
-
А какво става като вземем
периодична десетична дроб?
-
Нека вземем най-известното - 0,3333(3)
-
и можем да сложим тире върху тройката,
за да означим, че е в период.
-
Скоро ще видим как можем
да представим всяка периодична дроб
-
като рационално число
-
или като отношение на две цели числа.
-
Това е равно на 1/3.
-
Или можеш да видиш 0,6(6),
което е 2/3.
-
Има и още много други примери.
-
Ние ще видим, че можем да имаме и
много цифри в период, не само 1.
-
Докато тези числа се повтарят отново и отново,
ние винаги можем да представим числото като
-
отношение на цели числа.
-
Знам какво си мислиш,
-
Сал, ти включи доста числа като рационални..
-
Включи всички периодични дроби
с повтарящи се цифри,
-
или десетични дроби без повтарящи се цифри.
-
Има ли числа, които не се
включват в рационалните?
-
И сигурно предполагаш, че има.
-
Иначе хората не биха нарекли
тези рационални.
-
И излиза, че някои от най-известните числа
-
са всъщност ирационални.
-
Всички тези числа са ирационални.
-
Тук съм написал само някои от
най-известните примери.
-
Пи, отношението на дължината на
окръжността към диаметъра,
-
е ирационално число.
-
То никога не свършва, цифрите му не свършват никога,
-
и никога не се повтарят.
-
е (неперовото число) има същото свойство.
-
То е безкрайна дроб и цифрите му
никога не се повтарят.
-
То се ползва в математическия анализ.
-
Дори корен квадратен от 2 е
-
ирационално число.
-
Фи, златното сечение, също
е ирационално число.
-
Всички тези числа са от природата.
-
И те са ирационални.
-
Но наистина ли има много ирационални числа?
Може би си мислиш,
-
че съм взел случаи, които
са изключения.
-
Може би повечето числа
са рационални.
-
Важно е да разбереш, че тези числа
-
наистина изглеждат
по-различно от останалите,
-
но не са по-малко
разпространени.
-
Факт е, че има ирационално число
между всеки две рационални.
-
Винаги има поне едно.
-
Това означава, че не можем да кажем, че
има по-малко ирационални числа
-
отколкото рационални.
-
Ако ми дадеш 2 рационални числа,
-
едното от които е по-голямо,
-
това означава, че между тях има
поне 1 ирационално число.
-
И това изглежда малко изненадващо,
-
защото на пръв поглед
те изглеждат по-екзотични
-
и специални.
-
Друг начин да го обясним е,
-
че ако вземем корен квадратен
от не-точен квадрат,
-
ще получим ирационално число.
-
Ако вземем сбора на рационално
и ирационално число,
-
ще получим също ирационално число.
-
Когато умножим рационално и ирационално,
получаваме ирационално.
-
Така че има много, много ирационални числа.