Introduction to rational and irrational numbers

Нека поговорим за рационални числа.

Рационални числа.

И най-простият начин да го обясним е,

че всяко число, което може да се представи
като частно на две цели числа,

е рационално число.

Например всяко цяло число е рационално.

1 може да бъде представено
като 1 върху 1,

или като –2 върху –2,

или 10 000/10 000.

Във всички тези случаи това са числа, които
представляват частно на две цели числа.

Очевидно те са равни, защото имаме
едно число, разделено на себе си.

Числото –7 може да бъде представено
като –7/1 или 7/–1,

или –14/2 и това може да продължи още.

Така че –7 е със сигурност рационално число.

То е представено като частно
на две цели числа.

А сега нека да си представим 3,75.

Как можем да представим това число като
частно на две цели числа?

3,75 е равно на 375/100.

Което е същото като 750/200.

Това може да бъде също 3 цяло и 3/4.

Което е равно на 15/4.

4 по 3 е 12, плюс 3 е 15.

Можем да запишем това като 15/4.

Или –30/–8,

просто умножаваме числителя и
знаменателя по –2.

Но това очевидно е рационално число,

тук дадохме множество примери как

може да се получи като частно
на две цели числа.

А какво става като вземем
периодична десетична дроб?

Нека вземем най-известното - 0,3333(3)

и можем да сложим тире върху тройката,
за да означим, че е в период.

Скоро ще видим как можем
да представим всяка периодична дроб

като рационално число

или като отношение на две цели числа.

Това е равно на 1/3.

Или можеш да видиш 0,6(6),
което е 2/3.

Има и още много други примери.

Ние ще видим, че можем да имаме и
много цифри в период, не само 1.

Докато тези числа се повтарят отново и отново,
ние винаги можем да представим числото като

отношение на цели числа.

Знам какво си мислиш,

Сал, ти включи доста числа като рационални..

Включи всички периодични дроби
с повтарящи се цифри,

или десетични дроби без повтарящи се цифри.

Има ли числа, които не се
включват в рационалните?

И сигурно предполагаш, че има.

Иначе хората не биха нарекли
тези рационални.

И излиза, че някои от най-известните числа

са всъщност ирационални.

Всички тези числа са ирационални.

Тук съм написал само някои от
най-известните примери.

Пи, отношението на дължината на
окръжността към диаметъра,

е ирационално число.

То никога не свършва, цифрите му не свършват никога,

и никога не се повтарят.

е (неперовото число) има същото свойство.

То е безкрайна дроб и цифрите му
никога не се повтарят.

То се ползва в математическия анализ.

Дори корен квадратен от 2 е

ирационално число.

Фи, златното сечение, също
е ирационално число.

Всички тези числа са от природата.

И те са ирационални.

Но наистина ли има много ирационални числа?
Може би си мислиш,

че съм взел случаи, които
са изключения.

Може би повечето числа
са рационални.

Важно е да разбереш, че тези числа

наистина изглеждат
по-различно от останалите,

но не са по-малко
разпространени.

Факт е, че има ирационално число
между всеки две рационални.

Винаги има поне едно.

Това означава, че не можем да кажем, че
има по-малко ирационални числа

отколкото рационални.

Ако ми дадеш 2 рационални числа,

едното от които е по-голямо,

това означава, че между тях има
поне 1 ирационално число.

И това изглежда малко изненадващо,

защото на пръв поглед
те изглеждат по-екзотични

и специални.

Друг начин да го обясним е,

че ако вземем корен квадратен
от не-точен квадрат,

ще получим ирационално число.

Ако вземем сбора на рационално
и ирационално число,

ще получим също ирационално число.

Когато умножим рационално и ирационално,
получаваме ирационално.

Така че има много, много ирационални числа.