L'Hopital's Rule Example 3

Chcemy znaleźć granicę przy x dążącym do 1 z

wyrażenia x przez x minus 1 minus 1 przez

logarytm naturalny z x.

Zobaczmy co się stanie, jeśli po prostu

spróbujemy podstawić 1.

Co, jeśli spróbujemy oszacować to wyrażenie w 1?

Cóż, tutaj dostaniemy 1 przez 1 minus 1.

Czyli coś jakby 1 przez 0 minus 1 przez,

jaki jest logarytm naturalny z 1?

e do jakiej potęgi jest równe 1?

Wszystko podniesione do zerowej potęgi jest równe 1, więc e

do potęgi 0 będzie wynosiło 1, czyli logarytm

naturalny z 1 to 0.

Tak więc dostajemy dziwne 1 przez 0

minus 1 przez 0.

To dość dziwacznie wyglądająca forma nieokreślona.

Ale nie jest to forma nieokreślona jednego z typów, do których

odnosiliśmy regułę de l'Hospitala.

Nie dostajemy tutaj 0 przez 0, ani

nieskończoność przez nieskończoność.

Moglibyście powiedzieć - hej, ok, to nie jest problem, do którego

możemy zastosować regułę de l'Hospitala.

Będziemy musieli znaleźć tę granicę w jakiś inny sposób.

A ja Wam na to powiem - nie poddawajcie się jeszcze!

Być może możemy to jakoś algebraicznie przekształcić tak,

aby dostać postać nieokreśloną o której mówi reguła de l'Hospitala i

wtedy ją zastosować.

Aby to zrobić zobaczmy co się stanie, jeśli

dodamy te dwa wyrażenia.

Jeśli je do siebie dodamy, to wyrażenie, będzie

wynosiło, wspólny mianownik to

x minus 1 razy logarytm naturalny z x.

Po prostu przemnożyłem mianowniki.

Z kolei licznik wyniesie, jeśli po prostu

ten cały wyraz przemnożę przez logarytm naturalny z x, to

będzie x razy logarytm naturalny z x, a ten cały wyraz

przemnożę przez x minus 1.

x minus 1.

Można to rozbić i zauważyć, że to wyrażenie

i to wyrażenie są takie same.

Pozbądźmy się tego.

A to tutaj to to samo, co 1 przez logarytm

naturalny z x, bo x minus 1 się skraca.

Mam nadzieję, że rozumiecie, że póki co tylko

dodałem te dwa wyrażenia.

Zobaczmy teraz co się stanie, gdy wezmę granicę tej rzeczy

przy x dążącym do 1.

Bo to są te same wyrażenia.

Czy dostaniemy coś ciekawszego?

Co my tu mamy?

Mamy 1 razy logarytm naturalny z 1.

Logarytm naturalny z 1 to 0, czyli tutaj dostajemy 0, czyli całość to 0.

Minus 1 minus 0, czyli to będzie kolejne 0 minus 0.

Logarytm naturalny z 1, czyli 0, czyli 0 razy 0, to będzie 0.

Proszę bardzo!

Mamy formę nieokreśloną pasującą do reguły de l'Hospitala.

Zakładając, że jeśli weźmiemy pochodną tego i podzielimy

przez pochodną tego, to taka granica będzie istniała.

Spróbujmy to zrobić.

Tak więc to będzie równe, o ile granica istnieje,

będzie równe granicy przy x dążącym do 1.

Napiszmy pochodną karmazynowym,

wezmę pochodną tego licznika tutaj.

Dla tego pierwszego wyrażenia liczymy pochodną iloczynu.

Pochodna z x to 1, czyli to będzie 1 razy logarytm naturalny z x,

czyli pochodna pierwszego czynnika

razy drugi czynnik.

Teraz musimy dodać pochodną drugiego

czynnika, plus 1 przez x, razy pierwszy czynnik.

Po prostu pochodna iloczynu.

Czyli, 1 przez x razy x, tutaj dostajemy 1,

mamy jeszcze minus pochodną z x minus 1.

Pochodna z x minus 1 to 1, czyli tu

jest minus 1.

I teraz to wszystko przez pochodną tej rzeczy.

Weźmy pochodną tego wyrażenia.

Pochodna pierwszego składnika, czyli x minus 1, to 1.

Przemnożone przez drugi składnik, dostajemy logarytm naturalny z x.

Plus pochodna drugiego składnika, pochodna

z logarytmu naturalnego z x to 1 przez x, razy x minus 1.

Myślę, że możemy to nieco uprościć.

To 1 przez x razy x, to 1.

Odejmiemy od tego 1.

Te rzeczy się skrócą.

I całe wyrażenie może być przepisane jako granica

przy x dążącym do 1, licznik to po prostu logarytm naturalny z x,

zrobię to karmazynowym, a mianownik to logarytm naturalny z x

plus x minus 1 przez x.

Spróbujmy oszacować tę granicę.

Jeśli x dąży do 1, to logarytm naturalny da nam,

cóż, logarytm naturalny z 1 to 0.

A tutaj, mamy logarytm naturalny z 1, czyli 0.

Potem plus 1 minus 1 przez plus 1 minus 1 przez 1,

to będzie kolejne 0.

1 minus 1 to 0.

Czyli tutaj dostaniemy 0 plus 0.

Znów otrzymaliśmy 0 przez 0.

0 przez 0.

Zastosujmy regułę de l'Hospitala raz jeszcze.

Weźmy pochodną tego i podzielmy

przez pochodną tego.

Czyli to, jeśli kiedykolwiek dostaniemy tę granicę, będzie równe

granicy przy x dążącym do 1 z pochodnej

licznika, 1 przez x, pochodna logarytmu naturalnego z x

to 1/x, przez pochodną mianownika.

I co to będzie?

Pochodna logarytmu naturalnego z x to 1 przez x plus

pochodna z x minus 1 przez x.

Można patrzeć na to w ten sposób, że to jest 1 przez x razy x minus 1.

Pochodna z x do potęgi minus 1, weźmiemy

pochodną pierwszej rzeczy przemnożoną przez drugą rzecz,

a potem pochodną drugiej rzeczy razy

pierwsza rzecz.

Pochodna pierwszego składnika, x do potęgi minus 1, to

minus x do minus 2 razy drugi składnik, razy x

minus 1 plus pochodna drugiego składnika, czyli

po prostu 1 razy pierwszy składnik, plus 1 przez x.

Czyli to będzie wynosiło, właśnie coś mi

wyskoczyło na komputerze.

Przepraszam, jeśli słyszeliście ten dźwięk.

Na czym skończyłem?

Uprośćmy to wyrażenie tutaj.

Stosujemy regułę de l'Hospitala.

Czyli to będzie równe, pozwólcie, to będzie

równe, jeśli przyjmiemy x równe 1, to licznik

wyniesie 1 przez 1, czyli 1.

Czyli na pewno nie dostaniemy postaci nieokreślonej,

ani przynajmniej postaci 0/0 po raz kolejny.

A mianownik będzie równy, jeśli weźmiemy wartość blisko 1,

to jest 1 przez 1, czyli 1, plus minus 1 do potęgi minus 2.

Mówimy teraz, 1 do potęgi minus 2, to 1, czyli to

jest minus 1.

Ale teraz mnożymy to przez 1 minus 1, czyli 0,

czyli całe to wyrażenie się uprości.

I mamy plus następne 1 przez 1.

Czyli plus 1. To będzie w takim razie równe 1/2.

Proszę bardzo.

Korzystając z reguły de l'Hospitala w kilku krokach rozwiązaliśmy coś,

co, przynajmniej na początku, nie wyglądało

na wyrażenie postaci 0/0.

Po prostu dodaliśmy te dwa wyrażenia, dostaliśmy 0/0, wzięliśmy pochodne

liczników i mianowników 2 razy z rzędu i

ostatecznie obliczyliśmy naszą granicę.