-
Máme rovnici, kde y na druhou
minus x na druhou je rovno 4.
-
Chceme najít druhou derivaci y podle x
a máme ji vyjádřit pomocí x a y.
-
Pozastavte si video
a zkuste si to sami.
-
Nyní to uděláme společně.
-
Někteří to možná mohli řešit pro y
a potom použít nějaké tradiční postupy.
-
Jenomže my zde máme y na druhou,
takže budeme muset pracovat s odmocninou.
-
Někteří jste si možná řekli, že můžeme
udělat trochu implicitní diferenciace,
-
což je ve skutečnosti jen
použití pravidla o složené funkci.
-
Pojďme to tedy udělat.
-
Nejdřív najdeme první
derivaci y podle x.
-
Abychom to provedli, udělám
derivaci podle x obou stran rovnice.
-
Co nám vyjde?
-
Pomůžeme si využitím
pravidla o složené funkci.
-
Nejdříve vezmeme derivaci y na druhou
podle y, což se bude rovnat 2y.
-
Potom to vynásobíme
derivací y podle x.
-
Toto vychází z pravidla
o složené funkci.
-
Potom vyjádříme derivaci
x na druhou podle x.
-
To se rovná 2x.
-
A nakonec čemu se rovná
derivace konstanty podle x?
-
Nezmění se,
proto bude rovna 0.
-
Nyní můžeme najít
první derivaci y podle x.
-
Pojďme na to.
-
Na obou stranách
můžeme přičíst 2x.
-
Získáme 2y krát derivace y
podle x se rovná 2x.
-
Nyní obě strany vydělíme 2y a vyjde nám,
že derivace y podle x se rovná x lomeno y.
-
Dalším krokem je zderivovat
obě strany podle x.
-
Tím doufejme najdeme
druhou derivaci y podle x.
-
Pro přehlednost to přepíšu.
-
Vždycky zapomenu podílové pravidlo,
které se nám třeba může hodit.
-
Ale můžeme to také
přepsat jako součin.
-
Přepíšu to tedy tak, že derivace y
podle x se rovná x krát y na −1.
-
Pokud chceme najít druhou derivaci,
dáme na obě strany diferenciální operátor.
-
Na levé straně máme to, co jsme chtěli
získat, tedy druhou derivaci y podle x.
-
Co jsme získali
na pravé straně?
-
Zde můžeme použít
vzorec na derivaci součinu.
-
Nejdříve máme derivaci x podle x,
což je jedna krát druhá část výrazu,
-
tedy krát y na −1.
-
Následuje plus x
krát derivace y na −1.
-
Čemu se rovná
derivace y na −1?
-
Nejdříve můžeme najít
derivaci y na −1 podle y.
-
To tedy bude
−1 krát y na −2.
-
To vynásobíme
derivací y podle x.
-
Vzpomeňte si, že už víme,
čemu se tato derivace rovná.
-
To už jsme vyřešili.
-
Je to x lomeno y.
-
Toto tedy bude
x lomeno y.
-
Nyní tento výraz musíme
pouze zjednodušit.
-
Zkusím to udělat
postupně po částech.
-
Tato část bude
pouze 1 lomeno y.
-
Nyní tato část,
zkusíme ji zjednodušit.
-
Toto minus můžeme vytknout,
čili minus a následuje x krát x.
-
To celé bude děleno y na druhou
a poté děleno dalším y.
-
Výsledek tedy bude minus
x na druhou lomeno y na třetí.
-
Nebo to můžeme také přepsat
jako x na druhou krát y na −3.
-
A máme hotovo.
-
Právě jsme našli
druhou derivaci y podle x.
