-
-
-
Bu videoda, kombinasyonların bir uygulamasını öğreneceğiz.
-
Çok kolay kavrayamayabilirsiniz.
-
Üzerinde düşündükçe, daha çok anlayacaksınız.
-
Umuyorum bu konu da, bundan öncekiler gibi, matematiğin
-
güzelliğini takdir etmenizi sağlar.
-
Bu konuyu öğrenince, "n'nin k'li kombinasyonları" tanımının
-
bir diğer adının neden "binom katsayısı" olduğunu da öğreneceğiz.
-
Çünkü binom teoremini işleyeceğiz.
-
Binom teoremine geçmeden önce gelin,
-
bu konunun öneminin ne olduğuna değinelim.
-
Şunu sileyim.
-
Renkleri değiştir.
-
Yapacağımız çarpma işlemi... Ne desem?
-
En iyisi, binomun farklı kuvvetlerini kullanalım.
-
Binom, iki terimli bir polinomdur, değil mi?
-
"a artı b" üssü sıfır,
-
1'e eşittir, değil mi?
-
Herhangi bir sayının sıfırıncı kuvveti, 1'dir.
-
"a artı b" üssü 1. Bu da "a artı b"ye eşittir.
-
"a artı b"nin karesi de... Bu konuda çok örnek çözmediyseniz,
-
bu ifadenin karesinin "a kare" artı "b kare"
-
olduğunu söylersiniz.
-
Ama yeterince örnek çözdüyseniz hatanızı hemen düzeltip
-
elinize, başınıza ya da başka bir yerinize bir şaplak atarsınız.
-
Çünkü bu eşittir; "a artı b" çarpı "a artı b"dir.
-
Burada dağılma özelliğini kullanabilirsiniz ya da
-
"Cebir 1"de öğrendiyseniz "ilk terimler, son terimler, içtekiler, dıştakiler"
-
kuralını uygulayabilirsiniz.
-
Eşittir; "a" çarpı "a artı b"
-
artı, "b" çarpı "a artı b".
-
Eşittir; "a kare" artı "ab" artı "ba" artı "b kare".
-
Eşittir; "a kare" artı "2 ab" artı "b kare".
-
Sizin için bir hatırlatma olmuştur.
-
İşler şimdi ilginçleşiyor.
-
Bunu işaretleyeyim de unutmayalım.
-
Bu, "a artı b"nin karesinin eşiti.
-
"a artı b"nin küpü neye eşittir?
-
"a artı b"nin küpü.
-
İşler karışmaya başladı.
-
Eşittir; "a artı b" çarpı "a artı b" çarpı "a artı b".
-
Ya da bir diğer deyişle, "a artı b"nin karesi,
-
çarpı "a artı b"dir.
-
Bunun üssü 3.
-
Bu işaretlediğim "a artı b"nin karesiydi.
-
Onu, "a artı b" ile çarparsak,
-
"a artı b"nin küpünü elde ederiz.
-
Yapalım.
-
Bu ifadeyi, "a artı b" ile çarpalım.
-
"a artı b"...
-
İlk önce hepsini "b" ile çarpalım.
-
Sonra da... Başka bir renk seçeyim.
-
"a kare b".
-
Bu, "a kare" çarpı "b"dir.
-
Şimdi de, "2 ab" çarpı "b"yi yazalım.
-
Artı; "2 a" "b kare".
-
"2 ab" çarpı "b" demek.
-
Artı; "b küp".
-
"a" çarpı "a kare".
-
Bu, "a küp"tür.
-
Hiç "a küp" olmadığı için, ayrı bir yere yazıyorum.
-
"a" çarpı "2 ab".
-
Bu da, 2 "a kare" "b".
-
2 "a kare" "b".
-
Bunları çarpınca çıkan sonuç bu: 2 "a kare" "b".
-
Sonra; "a" çarpı "b kare".
-
Artı; "a" "b kare".
-
Şimdi hepsini toplayalım.
-
Tek yaptığımız, dağılma özelliğini uygulamak oldu.
-
Tüm terimleri önce "a" ile çarptık, sonra
-
"b" ile çarpıp hepsini topladık.
-
Hepsini topladık. Sonraki soruda sırayla çarparız.
-
Neyse.
-
İlk olarak "a küp"ü yazalım.
-
"a küp".
-
Bunu daha önce yazmıştık.
-
(2 "a kare" "b")yi buraya yazabilirdim.
-
2 "a kare" "b". Çünkü daha önceden "a kare" "b" vardı.
-
2 "a kare" "b"yi silip buraya yazdım.
-
Ne oldu? ("a küp") artı (2 "a kare" "b") artı ("a kare" "b").
-
Bu da, 3 "a kare" "b" eder.
-
("2 a" "b kare") artı ("a" "b kare").
-
Bu da, "3 a" "b kare" eder.
-
Artı; "b küp".
-
Gördüğünüz gibi, çok zahmetli bir iş.
-
Üstelik yalnızca 3. kuvvetini aldık.
-
Yeterli zamanımız varsa, şunu da bulabiliriz:
-
"a artı b"nin 4. kuvvetini ya da "a artı b"nin
-
10. kuvvetini.
-
Ama tahmin edebileceğiniz gibi 10. kuvveti bulmak 1 gün sürer.
-
İşte bu yüzden, bir binomun herhangi bir kuvvetini
-
hesaplamanın kolay bir yolu olsaydı, iyi olmaz mıydı?
-
İşte binom teoremi de burada devreye giriyor.
-
Bu videoda size binom teoremini
-
göstereceğim.
-
Teoremi nasıl uygulayacağınızı
-
ve size bir dâhi gözüyle bakmalarını sağlayacak
-
bir numara göstereceğim.
-
Sonraki videoda da, binom teoreminin
-
kombinasyonlarla olan ilişkisini
-
öğretmeyi umuyorum.
-
Binom katsayısıyla olan ilişkisini öğreteceğim.
-
Peki, binom teoremi nedir?
-
Önce hepsini sileyim.
-
Binom teoreminin, bu tek tek yazarak çözdüklerimiz için
-
doğru sonuç vereceğini görebilirsiniz.
-
Tabii kendinize eziyet çektirmek istiyorsanız "a artı b"nin
-
4. kuvvetini de böyle yazarak bulabilirsiniz.
-
Neyse.
-
Hepsini sil.
-
Rengi değiştir.
-
Binom teoremi der ki: "a artı b"nin ne'inci kuvveti
-
eşittir... İlk başta biraz karmaşık gelecek
-
ama birkaç örnek çözdükten sonra
-
korkulacak bir şey olmadığını göreceksiniz.
-
Eşittir; toplam, "k eşittir sıfır"dan "n"ye kadar.
-
Bu iki "n", aynı "n".
-
Terimler, "n'nin k'li kombinasyonu".
-
k'yi sıfırdan başlayarak n'ye kadar artırıyoruz.
-
iks üssü "n eksi k", çarpı, "y üssü k".
-
Karmaşık göründüğünü biliyorum ama birkaç
-
güzel örnek çözersek, büyük bölümünü
-
anlayacağınızdan eminim.
-
Affedersiniz.
-
Bunlar... Bunlar... Aklım başka yerdeydi galiba.
-
Bu "a", bu da "b" olacak.
-
Daha önce "iks artı y"nin
-
ne'inci kuvvetini yazdım demek ki.
-
"a artı b"nin ne'inci kuvveti için; "n'nin k'li kombinasyonları",
-
"a üssü" "n eksi k", çarpı "b üssü k".
-
Şimdi bunu birkaç örnekte uygulayalım.
-
Değişkenlerin adlarını da değiştiririz.
-
İlla "a" ile "b" olmak zorunda değiller.
-
Her şey olabilirler.
-
"a artı b"nin... Diğer yolla çözersek
-
çok zor olacak birini bulalım. "a artı b"nin 4. kuvveti.
-
Binom teoremi bize şunu söylüyor:
-
İlk terimi yazmak istersek... Öncelikle n'yi belirleyelim.
-
Bu soruda "n", 4'tür.
-
En iyisi, tüm sayıları yerine yazayım.
-
"k eşittir sıfır"dan 4'e. 4'ün k'li kombinasyonları.
-
Burada k'yi artırıyoruz.
-
"a üssü" "4 eksi k".
-
"b üssü k".
-
n'nin değerini, binom teoreminde
-
yerine yazdım.
-
Peki, bu neye eşittir?
-
İlk terim, "k eşittir sıfır" için.
-
4'ün sıfırlı kombinasyonları.
-
Yani, 4 şey içinden sıfır şey seçeceğim.
-
Bir sonraki videoda bu konuyu anlatacağım.
-
"a üssü" "4 eksi k".
-
İlk terimde "k", sıfıra eşit.
-
Yani, "a üssü 4". "b üssü sıfır" olur, değil mi?
-
O da 1'e eşittir. Yazmasak da olur.
-
Sonraki terim nedir?
-
4'ün 1'li kombinasyonları.
-
"k" burada 1'e eşit.
-
"4 eksi 1", 3'e eşittir.
-
"a küp".
-
"k", 1'e eşit.
-
Bu, sıfırıncı terimdi.
-
Bu, birinci terim.
-
Yani, b'nin 1. kuvveti olacak. Gördüğünüz gibi, ilerledikçe,
-
"a"nın yani ilk terimin üssü azalıyor.
-
Üssü "n"den, yani 4'ten başlıyor
-
ve her bir terimde 1 azalıyor.
-
İkinci terim, yani "b",
-
sıfırıncı kuvvetten başlıyor,
-
yani 1'den başlıyor.
-
1 olduğu için yazmadık.
-
Sonra her bir terimde artıyor.
-
Genel kuralı anlamışsınızdır.
-
4'ün 2'li kombinasyonları; ("a kare" "b kare") artı,
-
"4'ün 3'lü kombinasyonları"; ("a" "b küp") artı "4'ün 4'lü kombinasyonları".
-
Burada "a üssü sıfır" var. O da 1'dir.
-
"b üssü 4".
-
Bu binom katsayılarını bulduğumuzda,
-
soruyu çözmüş oluruz.
-
Zaten binom teoreminden geldikleri için
-
onlara binom katsayısı diyoruz.
-
Nasıl bulacağınızı hatırlıyorsunuz, değil mi?
-
Umarım konunun özünü anlamışsınızdır.
-
Ezberlemekle kalmayın.
-
n'nin k'li kombinasyonları neye eşittir?
-
n faktöriyel, bölü, k faktöriyel çarpı "n eksi k" faktöriyel.
-
"n eksi k" faktöriyel.
-
İlk terimde, 4'ün sıfırlı kombinasyonları nedir?
-
Eşittir... Çok zaman alan bir şey olduğunun farkındayım.
-
Aslında tek tek çarpmaktan çok daha az
-
zaman alır.
-
Birazdan sizi çok şaşırtacak bir kısa yol göstereceğim.
-
Eşittir; 4 faktöriyel, bölü, sıfır faktöriyel çarpı 4 faktöriyel.
-
"4 eksi sıfır", 4'e eşittir. "a üssü 4", artı,
-
4 faktöriyel, bölü, 1 faktöriyel çarpı 3 faktöriyel.
-
"4 eksi 1", 3'e eşittir.
-
("a küp" "b"), artı... Can sıkıcı bir hâl aldığını biliyorum
-
ama bir soruyu bu şekilde baştan sona çözmemiz
-
çok önemli. Artı; 4'ün 2'li kombinasyonları.
-
O da; 4 faktöriyel, bölü, 2 faktöriyel çarpı
-
2 faktöriyel.
-
"4 eksi 2", 2'dir.
-
("a kare" "b kare"). Artı; 4'ün 3'lü kombinasyonları.
-
Bu da; 4 faktöriyel, bölü, 3 faktöriyel.
-
"4 eksi 3", eşittir, 1 faktöriyel.
-
1 faktöriyel.
-
"a" "b küp".
-
Artı; 4'ün 4'lü kombinasyonları.
-
Artı; 4 faktöriyel, bölü, 4 faktöriyel çarpı
-
sıfır faktöriyel çarpı "b üssü 4".
-
Dikkat ederseniz, bu katsayı ile bu katsayı aynı.
-
Ayrıca, bu katsayı ile bu katsayı da aynı.
-
Bir de ortadaki katsayı var.
-
Şimdi hepsini bulalım.
-
Renk değiştireyim.
-
Sıfır faktöriyel, bilmeyenler için söyleyeyim,
-
1'e eşittir.
-
Bunu tahmin etmek pek kolay değildir çünkü
-
1 faktöriyel de 1'e eşittir.
-
Bunları bilmeniz gerekiyor.
-
4 faktöriyel, bölü, sıfır faktöriyel çarpı 4 faktöriyel;
-
1'e eşittir.
-
Yani, ilk terim yalnızca "a üssü 4"tür. Artı; 4 faktöriyel,
-
yani, 4 çarpı 3 çarpı 2 çarpı 1; bölü, 3 çarpı 2 çarpı 1.
-
Bu da, 4'e eşittir.
-
4 çarpı "a küp" çarpı "b". Artı; 4 faktöriyel...
-
Yani, 4 çarpı 3 çarpı 2 çarpı 1.
-
Çarparsak 24 eder.
-
Bölü... 2 faktöriyel kaçtır?
-
2'dir.
-
"2 çarpı 2", 4 eder.
-
"24 bölü 4" de 6 eder.
-
6 çarpı "a kare" çarpı "b kare". Artı... Bu terim ile
-
bu terim aynıdır, değil mi?
-
Yalnızca, 1 faktöriyel ile 3 faktöriyelin
-
yerleri değişmiş.
-
Bunun neden böyle olduğunu
-
düşünürseniz,
-
zihninizde bir şeyler yerine oturabilir.
-
O hâlde, bu ne olacak? 4 çarpı "a" çarpı "b küp".
-
Aslında çok mantıklı, değil mi?
-
Düşünsenize, burası "b artı a" olabilirdi.
-
"a artı b" ile "b artı a" aynı şeydir. Burada bir simetri olması
-
aslında çok mantıklı.
-
Görüyorsunuz; (4 "a" "b küp") var; bir de (4 "a küp" "b") var.
-
Bu anlattığım aklınızı karıştırdıysa, boş verin.
-
Ama aydınlatıcı bulduysanız, o zaman iyi.
-
Son terime geldik.
-
4 faktöriyel...
-
Bu terim ile bu terim birbirinin aynıdır.
-
1'e eşit olduğunu bulmuştuk.
-
O hâlde; artı, "b üssü 4".
-
Görüyorsunuz, bir simetri var.
-
Katsayılar 1, 4, 6, 4 ve 1.
-
İlerideki videolardan birinde, bunların,
-
Paskal Üçgeni'nin terimleri olduğunu göstereceğim.
-
Tabii o, matematiğin bambaşka bir sokağı.
-
Bu gördüğünüz, binom teoreminin
-
bir uygulamasıydı.
-
12 dakikayı geçtiğimizi fark ettim.
-
Sonraki videoda başka örnekler çözeceğim.
-
Görüşmek üzere.
-
-
