Teorema Binomial (parte 1)

Introdução à potenciação (a+b)^n

.

Agora nós iremos aprender uma aplicação de combinações que você

provavelmente não achará logo de cara intuitiva.

Mas quanto mais você pensar sobre ela, mais ela fará sentido

e na esperança que você aprecie, uma vez mais a

beleza da matemática.

E então você também irá saber o porquê... quando nós dizemos n seleciona k em

combinações... o porquê isso é chamado de um coeficiente binomial.

Porquê nós iremos cobrir o Teorema Binomial.

Então, antes de eu lhe passar o Teorema Binomial, vamos

entender a motivação disso ser tão interessante.

Então, deixe-me apagar isso.

Inverter cores.

Então, se nós tivemos apenas que multiplicar... eu não sei.

Bem, vamos apenas pegar potências diferentes de um binômio.

Um binômio é apenas um polinômio com dois termos, certo?

Então um +b... bem, um +b elevado a zero, o que

é igual a 1, certo?

Qualquer coisa elevado a zero será 1.

Um +b elevado a 1... bem isso é igual a +b.

Um +b ao quadrado, isso é igual... e se você não tiver um bocado de

prática em fazer isso, você pode se sentir tentado a dizer um

a ao quadrado mais b ao quadrado.

Mas você deve se corrigir rapidamente e se estapear

no punho ou na testa ou em outro lugar se você fez isso.

Porquê isso é a mais b vezes a mais b.

E então nós podemos usar a propriedade distributiva, ou,

se você aprendeu desta maneira em Álgebra, você deveria

usar a propriedade DISTRIBUTIVA.

Isso é igual a a vezes a mais b, correto?

Mais b vezes a mais b.

O que é igual a um ab ao quadrado mais ba mais b ao quadrado.

Que é igual a um mais 2ab ao quadrado mais b ao quadrado.

Isso pode servir de revisão para você.

E agora isso se torna um pouco mais interessante.

O que é... Deixe-me circular isso apenas para nós nos lembrarmos.

Isso é a mais b ao quadrado.

O que é a mais b ao cubo?

.

E agora isso começa a se tornar complicado.

Isso é igual a +b vezes +b vezes a mais b.

Ou outra maneira de ver isso, isso é +b ao quadrado

vezes a mais b, correto?

Isso é uma potência de três.

Então isso era a + b ao quadrado.

Então se nós multiplicamos isso por a + b, nós teremos a

mais b ao cubo.

Vamos fazer isso.

Vamos multiplicar isso vezes a + b.

.

Então vamos multiplicar tudo vezes b.

Então isso é b... deixe-me fazer isso em outra cor.

a ao quadrado b, correto?

Isso é a ao quadrado vezes b.

Agora vamos fazer 2ab vezes b.

Então mais 2ab ao quadrado, certo?

2ab vezes b.

E então +b ao cubo.

E então nós temos a vezes a.

Bem isso ao cubo, correto?

Nenhum desses casa com isso, então eu irei fazer isso em outra coluna...

a vezes 2ab.

Bem, isso é 2a ao quadrado b.

.

Eu vou colocar isso fora: 2a ao quadrado b.

E então a vezes b ao quadrado.

Bem isso é +ab ao quadrado, correto?

E agora nós apenas somamos todos estes termos.

Tudo o que nós fizemos é a propriedade distributiva de novo, correto?

Nós multiplicamos a vezes todos estes temos e então somamos

a b vezes todos estes termos.

Se nós somarmos tudo isso... eu irei tentar fazer isso de maneira

a... vejamos.

Vamos fazer primeiro isso ao cubo.

.

E então... bem, agora nós já temos essa coisa.

Esse 2a ao quadrado b, eu poderia ter escrito ele aqui.

2a ao quadrao b, porquê eu tive um b ao quadrado aqui também...

Eu apenas reescrevi o 2a ao quadrado b aqui.

Então nós temos um 2a ao cubo, um b ao quadrado mais um b ao quadrado...

Isso é 3a ao quadrado b.

E então 2ab ao quadrado mias ab ao quadrado.

Isso é 2a ao quadrado.

E então +b ao cubo.

E como você vê, isso envolveu apenas um bocado de elevar algo

à potência de 3.

Então nós poderíamos... se nós tivéssemos tempo, nós poderíamos calcular o quê

é a mais b à quarta potência ou o quê a mais b à

potência de 10 é.

Mas como você pode imaginar, isso levaria o dia todo.

Então não seria mal se houvesse uma maneira mais fácil de calcular

o que é um binômio elevado a uma potência arbitrária?

E é aqui que o Teorema Binomial entra na jogada.

E neste vídeo eu irei lhe mostrar o que é o

Teorema Binomial.

Eu irei mostrar para você como aplicá-lo.

Eu irei mostrar para você um truque, ou técnica que irá fazer você

se parecer com um gênio.

E então no próximo vídeo, espero lhe dar

alguma intuição por quê o Teorema Binomial deve

envolver combinações.

Porquê ele envolve mesmo o coeficiente binomial...

Então o que é o Teorema Binomial?

Deixe-me apagar tudo isso.

E você pode confirmar que o Teorema Binomial opera nestes

que nós fizemos até o +a mais b elevado ao cubo...

Você pode fazer o a mais b à quarta se você

quer se punir.

Vamos ver...

Limpar a imagem...

Inverter cores...

Então o Teorema Binomial nos diz que a mais b elevado à n-ésima

potência é igual a... E eu sei que isso irá parecer complicado

de início, mas nós iremos fazer um bocado de exemplos e você verá

que isso não é tão intimidador.

Isso é igual à soma de k = 0 a n, correto?

Este n é a mesma coisa que este n

De... cada termo é n escolhe k, correto?

Nós iremos continuar a aumentar k de zero até

n... de x a n menos k vezes y elevado a k.

Eu sei que isso parece complicado, mas se você fizer um bocado

de exemplos concretos, eu penso que isso fará

ter sentido.

Então dado... ah, desculpe-me!

Isso é... iso não é... eu andei copiando isso para baixo...

Isso deve ser a elevado a n menos k, e isso deve ser b...

O que eu escrevi aqui embaixo antes, isso deveria ser

x mais y elevado a n.

Se nós tivermos um +b elevado a n, n escolhe k para cada termo. A elevado a

n menos k vezes b elevado a k.

Então deixe-me aplicar isso, um pouco de exemplos concretos.

Nós deveríamos mesmo trocar os nomes das variáveis se nós queremos

apenas mostrar a você que eles não tem que ser as ou bs...

Eles poderiam ser qualquer coisa!

Então o que é um +b... deixe-me fazer um que de qualquer maneira

seria encontrado com certa dificuldade... a mais b elevado à quarta potência.

Bem e agora, o Teorema Binominal nos quis que... digamos, que

o primeiro termo irá ser... Bem, o que é n, antes de

tudo? n neste caso são 4.

Isso é igual... deixe-me agora preencher todos os números.

De k igual a zero a 4 deste 4 escolhe k, correto?

Porque k é o que nós estamos incrementando.

a elevado a 4 menos k.

b elevado a k, correto?

Eu apenas substituí o n pela definição

do Teorema Binomial.

E o quê isso é igual?

Bem, o primeiro termo é k igual a zero.

Então isso são 4 escolhe zero.

Então de 4 coisas, eu estou indo escolher zero.

E eu irei lhe mostrar no próximo vídeo como isso funciona.

De a elevado a 4 menos k.

Bem, o primeiro termo k é zero.

Então isso é a elevado a quatro, b elevado a zero, correto?

Então o b, isso é apenas 1, e então nós podemos ignorá-lo.

Então qual é o próximo termo?

Bem, isto irá ser 4 escolhe 1.

E agora k é 1.

Então 4 menos 1 são 3.

a elevado ao cubo.

E k agora é 1.

Nós estamos no... este é o termo zero!

Isto é o primeiro termo.

Então b elevado a 1 mais... então como você pode ver, cada termo, nós vamos...

o termo a, o primeiro termo... seja lá o que ele for, isso decresce.

Ele se inicia na potência n, ou na potência de 4.

E então cada termo, isso decresce em 1.

E então o segundo termo, o termo b, isso inicia

na potência de zero.

Então isso se inicia em 1.

E isso é porquê você não o vê aqui.

E então cada termo, isso incrementa...

Então o próximo... então eu penso que você viu o padrão...

Isso irá ser 4 escolhe 2, a ao quadrado b ao quadrado mais 4 escolhe

e ab elevado ao cubo mais 4 escolhe 4.

Agora eu irei ter a elevado a zero, então isso

é apenas 1, b elevado à quarta.

Então nós concluímos se nós apenas calcularmos o que são estes

coeficientes binomiais.

E isso é de onde eles vieram, do Teorema

Binomial.

Mas nós lembramos como calcular isso, correto?

Em geral... e na esperança de que você tenha a intuição nisso...

Você não precisa simplesmente memorizar...

n escolhe k das nossas combinatórias é igual a n

fatorial sobre k fatorial, dividido por n menos k fatorial.

.

Então neste caso, o que são 4 escolhe zero?

Isso é igual... eu sei que isso parece gastar muito tempo...

Entretanto isso gasta muito menos tempo do que

multiplicar tudo isso...

Mais eu irei lhe mostrar em um segundo um truque que o irá impressionar...

Então isso é igual a 4 fatorial sobre zero fatorial vezes 4

fatorial, certo... 4 menos zero são 4... a à quarta mais 4

fatorial sobre 1 fatorial vezes 3 fatorial, correto?

4 menos 1 são 3 fatorial.

a ao cubo b mais... eu sei que isso está ficando um

pouco tedioso, mas eu acho que é bom fazer o serviço completo em

um problema inteiro... mais 4 escolhe 2...

Isso são 4 fatorial sobre 2 fatorial vezes 2

fatorial, correto?

4 menos 2 são 2.

a ao quadrado, b ao quadrado mais 4 escolhe 3.

Isso são 4 fatorial sobre 3 fatorial.

4 menos 3 é 1 fatorial.

.

ab ao cubo.

E então 4 escolhe 4.

Isso são +4 fatorial sobre 4 fatorial vezes zero

fatorial b elevado à quarta.

E observe: este coeficiente é o mesmo que aquele coeficiente!

Este coeficiente é o mesmo que este coeficiente e então

este um é o meio.

Então vamos calculá-los.

E eu irei trocar cores.

Então zero fatorial, no caso de você não saber... isso

é definido como sendo 1!

Que e um pouco não intuitivo, uma vez que

1 fatorial também é 1.

Mas isso são coisas que você deve saber.

Então 4 fatorial dividido por zero fatorial vezes 4 fatorial...

Isso é agora igual a 1.

Então o primeiro termo é apenas a à quarta mais 4 fatorial...

isso são 4 vezes 3 vezes 2 vezes 1... dividido por 3 vezes 2 vezes 1.

Então isso é igual a 4.

4a, b ao cubo, mais 4 fatorial.

Isso são 4 vezes 3 vezes 2 vezes 1.

Então isso são 24, correto?

Sobre... o que são 2 fatorial?

Isso são apenas 2!

Então 2 vezes 2 são 4.

Então 24 dividido por 4 são 6.

Então 6a ao quadrado, b ao quadrado, mais... bem, 4... este termo é

o mesmo termo que este, correto?

Com apenas o 1 fatorial e o 3 fatorial

trocados de ordem.

E você irá querer pensar a respeito por alguns

segundos o porquê disso.

Isso deve fazer algum senso para você.

Mas isso é... isso irá ser 4ab ao cubo.

E isso faz sentido, certo?

Porquê você poderia ter apenas b mais a.

A mais b e b mais a são a mesma coisa, então faze sentido

que exista uma simetria, certo?

Que nós tenhamos 4ab ao cubo e que nós também tenhamos 4a e b ao cubo...

Me ignore se você me achou confuso!

Se você achou isso esclarecedor, tanto melhor!

E o último termo.

4 fatorial

Este termo é a mesma coisa que este termo.

E nós já calculamos isso como sendo igual a 1.

Então +b à quarta.

Então eu tive um pouco de simetria.

Os coeficientes são 1, 4, 6, 4, 1.

E eu irei lhe mostrar em um vídeo futuro que estes são

os termos do Triângulo de Pascal, que é uma outra via

para ingressar na matemática.

Mas de qualquer maneira, isso foi uma aplicação do

Teorema Binomial.

E eu percebi que passamos dos 12 minutos.

Então eu gostaria de fazer mais exemplos no próximo vídeo.

Vejo-o em breve.

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