Binoom teoreem osa 1

Introduction to raising (a+b)^n

Nüüd me õpime ühe kasutusvaldkonna kombinatsioonidel, mis

teie alguses ei tundu intuitiivne.

Aga, mida rohkem te sellele mõtlete, see hakkab tunduma loogiline

ja loodetavasti see paneb teid jälle

matemaatika ilu hindama.

Ja siis te ka teate, miks-- kui me ütleme vali n k-st

kombinatsioonides-- miks toda ka binoom kordajaks kutsutakse.

Kuna me võtame läbi binoom teoreemi.

Enne kui ma annan teile binoom teoreemi,

saame aru, miks see on huvitav.

Las ma kustutan selle.

Vahetan värvi.

Kui me peaks lihtsalt korrutama-- ma ei tea.

Võtame lihtsalt erinevad astmed binoomil.

Binoom on lihtsalt polünoom kahe liikmega, eks?

A pluss b --- noh a pluss b astmes 0, see

on võrdne 1, eks?

Ükskõik mis astmes 0 on võrdne 1.

A pluss b astmes 1, noh, see on võrdne a pluss b.

a pluss b ruudus, see on võrdne --- ja kui teil ei ole palju

kogemusi sellega, te tahaksite öelda, et

a ruudus pluss b ruudus.

Aga te peaksite ennast kiiresti parandama ja

lööma ennast randme peale, või aju peale või kuhugi, kui te seda tegite.

Kuna see on a pluss b korda a pluss b.

Ja siis me võiksime kasutada distributatiivset omadust

või, kui te õppisite seda Algebra I, te võiksite

kasutada FOIL omadust.

See on võrdne a korda a pluss b, eks?

Pluss b korda a pluss b.

Mis on võrdne a ruudus pluss ab pluss ba pluss b ruudus.

Mis on võrdne a ruudus pluss 2ab pluss b ruudus.

See peaks olema natukeseks kokkuvõtteks teile.

Ja nüüd muutub asi natuke huvitavamaks.

Mis on-- las ma tõmban sellele asja ümber.

See on a pluss b ruudus.

Mis on a pluss b astmes kolm?

Ja nüüd hakkab asi muutuma keerukamaks.

See on võrdne a pluss b korda a pluss b korda a pluss b.

Või teine viis, kuidas seda vaadata, see on a pluss b ruudus

korda a pluss b, eks?

See on astmes kolm.

See oli a pluss b ruudus.

Kui me korrutame seda a pluss b-ga, me saame

a pluss b astmes kolm.

Teeme seda siis.

Korrutame selle a pluss b-ga.

Las korrutame selle kõige b-ga.

See on b-- las ma teen seda teise värviga.

a ruudus b, eks?

See on a ruudus korda b.

Nüüd teeme 2ab korda b.

Pluss 2ab ruudus, eks?

2ab korda b.

Ja siis pluss b kuubis.

Ja siis meil on a korda a.

see on a kuubis, eks?

Ükski neist ei kattu tollega, ma panen selle teisse tulpa.

a korda 2ab.

See on 2a ruudus b.

Ma panen selle siia, 2a ruudus b.

Ja siis a korda b ruudus.

Noh, see on ab ruudus, eks?

Ja nüüd me liidame kokku need liikmed.

Ja me peame distributatiivsuse omadust kasutama uuesti, eks?

Me korrutasime a korda kõik need liikmed ja siis lisasime selle

b korda kõik need liikmed.

Kui me liidame kõige selle kokku -- ma proovin seda järjekorras

teha-- vaatame.

Paneme a kuubis enne.

Ja siis-- noh tegelikult meil oli juba see asi.

See on 2a ruudus b, ma oleks võinud selle siia kirjutada.

2a ruudus b, kuna mul oli a ruudus b siin.

Ma lihtsalt kirjutasin 2a ruudus b siia.

Meil on a kuubis pluss 2a ruudus b pluss a ruudus b.

See on 3a ruudus b.

Ja siis 2ab ruudus pluss ab ruudus.

See on 2ab ruudus.

Ja siis pluss b kuubis.

Nagu te näete, see sisaldas palju, et lihtsalt võtta

astmesse kolm.

Kui me võiksime-- Kui meil oleks aega, me võiksime välja mõelda, mis

a pluss b astmes neli on või mis a pluss b

astmes kümme on.

Aga nagu te võite ette kujutada, see võtaks kogu päeva.

Kas ei oleks palju lahedam, kui oleks lihtsam viis, kuidas arvutada

mis binoom on mingis suvalises astmes?

Ja see on, kus binoom teoreem käiku tuleb.

Ja selles videos ma näitan teile, mis

binoom teoreem on.

Ja ma näitan, kuidas seda kasutada.

Ma näitan teile triki või tehnika, mis paneb

teid välja nägema nagu geenius.

Ja siis järgmises videos ma loodetavasti annan teile

mingi arusaama, miks binoom teoreem tegelikult

kaasab kombinatsioone.

Miks see tegelikult üldse binoom kordajat omab.

Mis on binoom teoreem?

Las ma kustutan selle.

Ja te võite kindlaks teha, et binoom teoreem töötab

nende korral, mille me ära tegime, kuni a pluss b astmes kolmeni.

Te võite ära teha a pluss b astmes neli, kui teile

meeldib ennast karistada.

Vaatame.

Puhas pilt

Vahetan värvi.

Binoom teoreem ütleb meile, et a pluss b astmes n

on võrdne-- Ja ma tean, et see näeb keeruline välja

alguses, aga me teeme paar näidet ja te näete, et

see ei ole midagi hirmutavat.

See on võrdne summa k-st on võrdne o astmes n, eks?

See n on sama asi kui too n.

Igast liikmest vali n k-st, eks?

Me hakkame kasvatama k alates 0

kuni n -- x astmes n miinus k korda y astmes k-st.

Ma tean, et see näeb välja keeruline aga kui me teeme paar

kindlat näidet, ma arvan see peaks olema üsna

loogiline.

Arvestades --- vabandust.

See ei ole -- ma kopeerisin seda.

See peaks olema a astmes n miinus k ja see peaks olema b.

Mida ma olin enne kirjutanud, see oleks

x pluss y astmes n.

Kui meil on a pluss b astmes n, vali k n-st igal liikmel. a astmes

n miinus k korda b astmes k.

Kasutame seda, paar kindlat näidet.

Me võiksime ümber tõsta muutujate nimed kui me tahame

näidata, et nad ei pea olema a ja b.

Need võivad ükskõik mis olla.

Mis on a pluss b -- teeme ühe, mis muidu oleks olnud

üsna keeruline -- a pluss b astmes neli.

Binoom teoreem ütleb meile, vaatame

esimene liige oleks -- noh mis on n

esiteks? n on 4 sel juhul.

See on võrdne -- las ma täidan kõik numbrid ära tegelikult.

K on võrdne 0 kuni 4 vali k, eks?

Kuna k on see mida me suurendame.

a astmes 4 miinus k.

b astmes k, eks?

Ma lihtsalt asendasin n binoom

teoreemi definitsiooni.

Ja millega on see võrdne?

Esimene liige on k on võrdne 0.

See on 4 vali 0.

4-st asjast ma valin 0.

Ja ma näitan järgmises videos, miks see töötab.

a astmes 4 miinus k-st.

noh, esimene liige k on 0.

See on a astmes neli, b astmes 0 eks?

b on lihtsalt 1, me võime seda eirata.

Mis on järgmine liige?

See oleks 4 vali 1.

Ja nüüd k on 1.

4 miinus 1 on 3.

a astmes 3.

Ja nüüd k on 1.

See on nullis liige.

See on esimene liige.

b esimeses astmes pluss-- nagu te näete, iga liige millest me mööda läheme,

a liige, esimene liige, milline iganes see oleks, see kahaneb.

See algab astmes n või neljandas astmes.

Ja siis iga liige, see läheb alla kuni 1-ni.

Ja siis teine liige, b liige, see alustab

nullindast astmest.

See algab ühest.

Selle pärast te ei näegi seda siin.

Ja siis iga liige suureneb.

Siis järgmine tehtud-- ma arvan, et te näete mustrit.

See oleks vali 2 4-st, a ruudus b ruudus pluss 4 vali

3 ab astmes kolm pluss 4 vali 4.

Ja nüüd on a astmes 0, see oleks lihtsalt

1, b astmes neli.

Meil saabki valmis, kui me mõtleme välja, mis need binoom

kordajad on.

Ja see ongi, kust nad tulevad,

binoom teoreemist.

Aga me mäletame, kuidas seda arvutada, eks?

Üldiselt-- ja loodetavasti te saate aru sellest.

Te ei peaks seda meelde jätma.

vali k n-st meie kombinatsioonides on võrdne n

faktoriaal jagatud k faktoriaal jagatud n miinusk k faktoriaaliga.

Sellel juhul, mis on vali 0 4-st?

See on võrdne -- ma tean see tundub väga ajamahukas nüüd.

Aga see võtab tegelikult vähem aega kui

selle välja korrutamine.

Aga ma näitan teile trikki sekundi pärast, mis teid imestama paneb.

See on võrdne 4 faktoriaal jagatud 0 faktoriaal korda 4

faktoriaal, eks -- 4 miinus 0 on 4-- a astmes neli pluss 4

faktoriaal jagatud 1 faktoriaal korda 3 faktoriaal, eks?

4 miinus 1 on 3 faktoriaal.

a astmes kolm b pluss -- ma tean see muutub natuke

üksluiseks, aga ma arvan, et on hea läbi töötada

üks ülesanne -- pluss 2 vali 4-st.

See on 4 faktoriaal jagatud 2 faktoriaal korda 2

faktoriaal, eks?

4 miinus 2 on 2.

a ruudus b ruudus pluss vali 3 4-st.

See on 4 faktoriaal jagatud 3 faktoriaal.

4 miinus 4 on 1 faktoriaal.

ab kuubis.

Ja siis vali 4 4-st.

See on 4 faktoriaal jagatud 4 faktoriaal korda 0

faktoriaal b astmes neli.

Ja pange tähele: see kordaja on sama nagu too kordaja.

See kordaja on sama nagu see kordaja ja siis

see siin keskel.

Hindame nad ära.

Ma vahetan värvi.

0 faktoriaal, juhulo kui te ei tea,

on tegelikult defineeritud kui 1.

Mis on natuke ebaloogiline kuna 1

faktoriaal on ka 1.

Aga see on midagi mida te peaks teadma.

4 faktoriaal jagatud 0 faktoriaal korda 4 faktoriaal.

See on tegelikult võrdne 0.

Esimene liige on lihtsalt a astmes 4 pluss 4 faktoriaal--

see on 4 korda 3 korda 2 korda 1 jagatud 3 korda 2 korda 1.

See on võrdne 4.

4a kuubis b pluss 4 faktoriaal.

See on 4 korda 3 korda 2 korda 1.

See on 24 eks?

jagatud-- mis on 2 faktoriaal?

See on lihtsalt 2.

2 korda 2 on 4.

24 jagatud 4 on 6.

6a ruudus b ruudus pluss 4-- see liige on

sama nagu see liige, eks?

1 faktoriaal ja 3 faktoriaal

vahetati ümber.

ja te võite mõelda selle üle

paar sekundit, miks see nii on.

See peaks tunduma loogiline.

Aga see on- see on 4ab kuubis.

Ja see tundub loogiline, eks?

Kuna see oleks võinud olla lihtsalt b pluss a.

a pluss b ja b pluss a on samad asjad, on loogiline, et

on mingi sümeetria, eks?

Et meil on 4ab kuubis ja meil on ka 4a kuubis b.

Eirake mind kui see segadust tekitab.

Kui see tundub valgustavana, palju parem.

Ja siis viimane liige.

4 faktoriaal.

See liige on sama asi nagu see liiige.

Ja me juba saime teada, et see on võrdne 1.

pluss b astmes 4.

Mul oli mingi sümeetria.

kordajad on 1, 4, 6, 4, 1.

Ja tuleviku videos ma näitan, et tegelikult need on

Pascali kolmnurga liikmed, mis on teine

asi matemaatikas.

Aga see oli binoom teoreemi

kasutus.

Ja ma tean, et ma olen võtnud aega 12 minutit siiani.

Ja ma teen paar näidet järgmises videos.

Näeme varsti.