Binomial Theorem (part 1)

Introduction to raising (a+b)^n

Ahora vamos a aprender una aplicación de combinaciones que tal vez no encuentres intuitiva de manera inicial,

pero, mientras más lo pienses, más sentido tendrá.

Y, con suerte, podrás apreciar nuevamente la belleza de las matemáticas.

Vas a ver por qué cuando decimos "n en k", eso se llama el coeficiente binomial,

porque aquí vamos a cubrir precisamente eso, el teorema del binomio.

Antes de comenzar formalmente, vamos a ver primero por qué esto es útil.

Déjame borrar esto...

Invertir colores...

Así que digamos que vamos a usar exponentes de un binomio.

Un binomio es sencillamente un polinomio con dos términos, ¿verdad?

Así que... (a+b). Bueno, (a+b) elevado a cero es uno, ¿verdad?

Porque cualquier número elevado a cero es uno.

(a+b) elevado a uno es igual a (a+b).

(a+b) al cuadrado es igual... y si no has practicado esto mucho, puedes estar tentado a decir que esto es igual a (a^2+b^2).

Pero si este es el caso, debes corregir rápidamente, porque esta operación se puede escribir como (a+b)(a+b),

Y usando la propiedad distributiva, o si lo aprendiste con la mnemotecnia de FOIL, esto es igual a a(a+b)+b(a+b), que es igual a a^2+ab+ba+b^2.

Esto a su vez es igual a a^2+2ab+b^2.

Esto debió haber servido como repaso rápido. Y ahora, esto se pone un poco más interesante.

Déjame poner esto en un círculo con tal de que no se nos olvide. Esto es (a+b)^2.

Ahora, ¿cuánto es (a+b) al cubo?

Verás que esto se empieza a poner más complicado. Esto es igual a (a+b)(a+b)(a+b).

O, se puede ver como (a+b)^2 multiplicado por (a+b), dado que esto es (a+b)^3.

Ya tenemos (a+b) al cuadrado aquí, así que si lo multiplicamos por (a+b), nos dará el resultado que queremos.

Hagamos eso, multipliquemos esto por (a+b).

Multiplicamos (a+b) por b... déjame hacer esto en otro color.

Haciendo esto, nos da a^2b +2ab^2 +b^3.

Ahora multiplicamos por a. Tenemos inicialmente a^3, ¿verdad?

Permíteme poner esto en columnas para que sea más fácil visualizarlo...

Ahora multiplicamos 2ab por a, lo cual nos da 2a^2b.

Voy a poner esto aquí a la izquierda.

Ahora, b^2 multiplicado por a, que es ab^2.

Ahora es cuestión de sumar todo esto. Lo único que hemos hecho es usar la propiedad distributiva nuevamente, ¿no?

Multiplicamos a por todos estos términos, y lo sumamos a b multiplicado por todos estos términos.

Ahora vamos a sumarlos, y lo voy a hacer en orden.

Veamos, voy a poner el a^3 primero.

Ahora que veo, el 2a^b se debió haber escrito en esta columna, porque ya está ese factor aquí.

Nada, acabo de escribir el 2a^b aquí hacia la derecha.

Así que tenemos 2a^2b + a^2b, que es 3a^2b, y luego 2ab^2 + ab^2, que es 3ab^2, sumado a b^3.

Como notarás, esto dio bastante trabajo, y nada más elevamos algo al cubo.

Si tuviésemos el tiempo, podríamos averiguar cuanto es (a+b) elevado a la cuatro, o (a+b) a la décima potencia, pero te puedes imaginar que nos tardaríamos todo el día.

¿No sería útil si hubiese una forma más fácil de calcular un binomio elevado a cualquier exponente?

Ahí es precisamente donde resulta útil el teorema del binomio.

Durante este vídeo, te mostraré qué es el teorema del binomio, cómo se usa, y un truco que lo hará parecer un genio.

Entonces, en el próximo vídeo, le intentaré dar un poco de intuición sobre por qué el teorema del binomio involucra combinaciones, y por qué incluye lo que llamamos el coeficiente binomial.

Así que, ¿qué es el teorema del binomio? Permítame borrar todo esto...

Bueno, puede corroborar luego que el teorema del binomio funciona para estas operaciones que acabamos de hacer.

Puedes hacer (a+b)^4 sin el teorema si te gusta sufrir...

Veamos... despejar imagen, invertir colores.

El teorema del binomio nos dice que (a+b) elevado a cualquier término n es igual a (y sé que esto sonará complicado inicialmente, pero notarás que no es tan intimidante luego de unos ejemplos) la suma...

De K=0 a n (esta n es la misma que tenemos en el otro lado) de "n en k" (iremos incrementando k partiendo desde cero), de x elevado a n-k, y multiplicado por y^k.

Eso que esto se ve muy complicado, pero después de unos ejemplos vas a ver que de hecho tiene sentido.

Ahora... ah, disculpe, esto debe ser a^n-k, no x^n-k, y esto debe ser b^k en lugar de y^k. Lo que había escrito correspondería si la operación original fuese (x+y)^n.

Ahora sí tenemos la expresión binomial.

Vamos a hacer algunos ejemplos. Si quiere podemos cambiar las variables para que note que no tiene que ser a y b, puede ser cualquier cosa.

¿Cuánto es (a+b)^4? Esto hubiese sido bastante difícil sin el teorema...

El teorema nos dice que el primer término es... bueno, n es cuatro, así que podemos sustituir esto en toda la expresión.

La suma desde K=0 a 4 de "4 en K" (K siendo el valor que estamos incrementando), a^4-k multiplicado por b^k.

Lo único que he hecho es sustituir la n en la definición del teorema del binomio.

Ahora, ¿cuánto es esto?

Bueno, el primer término es K=0, que nos dará "4 en 0" (esto lo que significa es que de 4 cosas, escogeré 0, y veremos en el próximo vídeo por qué es que esto funciona)...

De a^4-0, porque el primer término de K es 0, así que es a^4. Aquí, tenemos b^0, ¿verdad? Eso es igual a uno, así que lo podemos ignorar.

¿Cuál es el próximo término? Será "4 en 1", dado que K ahora es 1. Sustituyendo la K en estas otras partes por 1, tenemos a^4-1, que es a^3, y b^1. El término que ya hicimos es el 0, ahora estamos haciendo el 1.

Puedes ver que según incrementamos los términos, el exponente de la primera variable comienza a decrecer, mientras que el exponente de la seguna variable comienza en 0 y gradualmente va incrementando.

Ya debes estar empezando a ver el patrón.

El próximo término es "4 en 2" a^2b^2 + "4 en 3"a^b^3 + "4 en 4"b^4 (en este último término se elevó la primera variable a cero, que da a uno, y por eso no aparece en la ecuación).

Ahora sólo nos falta averiguar a qué se refieren estos coeficientes. Recordamos cómo calcular esto, ¿verdad?

Como regla general, y con suerte esto lo sabe más por intuición que por memoria, "n en k", de nuestra combinatoria, es igual a n!/k!(n-k)! (el signo de exclamación significa factorial).

En este caso, ¿cuánto es "4 en 0"?

Sé que ahora mismo esto nos está tomando mucho tiempo, pero de hecho es menos que multiplicarlo término por término, y pronto verá un truco que lo sorprenderá.

Así que "4 en 0" es igual a 4!/0!4! a^4 + 4!/1!3) (ya que 4-1=3) a^3b... sé que esto se está poniendo tedioso pero es mejor ver cada problema en su totalidad.

Ahora sumamos "4 en 2", que es 4!/2!2! (ya que 4-2=2) a^2 b^2 + "4 en 3", que es 4!/3!1! (ya que 4-3=1) ab^3.

Y finalmente sumamos "4 en 4", que es 4!/4!0! b^4.

Y fíjate, este primer coeficiente es igual al último, el segundo es igual al penúltimo, y el tercero está justo en el centro.

Evaluemos esto... voy a cambiar de color.

Ahora, 0!, por si no lo sabía, es igual a 1. Esto es algo contra-intuitivo porque 1! también es 1, pero esto es importante saberlo.

Así que 4!/0!4! va a dar a 1, así que el primer término se queda como a^4. Ahora sumamos 4!, que es 4 por 3 por dos por 1 (por la definición de factorial), divido entre 3 por 2 por 1, que es igual a 4.

Tenemos 4a^2b aquí... y sumamos 4!, que es 4 por 3 por 2 por 1 que es 24, entre 2!, que es 2 por 1 que es 1. Entonces, 2 por dos es cuatro, así que a fin de cuentas nos da 24/4 que es 6.

Ahora tenemos 6a^2b^2 + este penúltimo término, que como vimos es igual al segundo término así que ni siquiera hay que hacerlo.

Te sugiero que pienses por un momento en por qué este es el caso, verás que tiene sentido. Esto da a 4ab^2, lo cual tiene sentido, ¿verdad?

Esto podía haber sido (b+a) por la propiedad conmutativa, así que tiene sentido que haya una simetría, y que un término nos dé 4a^3b y otro 4ab^3.

Nada, ignórame si esto te confundió. Si lo entendiste sin problemas, mejor.

Ahora, el último término, que como vimos es igual al primero. Así que sumamos b^4. Esto tiene simetría, los coeficientes son 1, 4, 6, 4, 1.

Pronto verás que estos son los términos de lo que se llama el triángulo de Pascal, que es otra herramienta de las matemáticas.

Pero nada, esto fue una aplicación del teorema del binomio, y veo que me tardé más de 12 minutos, así que haré más ejemplos en el próximo vídeo. Nos vemos pronto.