Binomial Theorem (part 1)

Introduction to raising (a+b)^n

Wir lernen nun eine Anwendung der Kombinationen, die Sie

vermutlich am Anfang nicht intuitiv finden.

Aber je mehr Sie darüber nachdenke, es sehr viel Sinn machen wird

und hoffentlich werden es schätzen, noch einmal, Sie machen die

Schönheit der Mathematik.

Und dann werden Sie auch wissen warum--wenn wir sagen n wählen Sie k in

Kombinationen--warum, die ebenfalls ein Binomialkoeffizient aufgerufen hat.

Denn wir sind das binomiale Theorem zu decken.

Also, bevor ich gebe Ihnen das binomiale Theorem, lassen Sie uns

verstehen Sie, warum es noch interessant ist die Motivation.

Lassen Sie mich, die zu löschen.

Invertieren Sie Farben.

Wenn wir einfach multiplizieren mussten--ich weiß.

Gut lassen Sie uns nur unterschiedliche Potenzen von einem Binom.

Ist ein Binom nur ein Polynom mit zwei Begriffen, richtig?

So ein plus b--a plus b auf die 0, gut, das

gleich 1, richtig?

Alles zum 0 ist gleich 1.

a plus b 1, nun, das entspricht einem plus b.

a plus b kariert, dass gleich-- und wenn Sie nicht viel haben

Praxis, Sie versucht sein könnte zu sagen, auf diese Weise eine

Quadrat plus b Quadrat.

Aber Sie sollten sich schnell korrigieren und schlagen Sie sich auf

das Handgelenk oder das Gehirn oder irgendwo, wenn Sie das täten.

Denn das a plus b Mal a plus b.

Und dann könnten wir das Distributivgesetz verwenden oder,

Wenn Sie es, diese Vorgehensweise in Algebra gelernt, ich könnte Sie

Verwenden Sie die Eigenschaft die Folie.

Gleich, die ein Mal ein plus b, richtig?

Plus b Mal a plus b.

Das ist gleich ein kariert plus Ab plus Ba plus b Quadrat.

Das ist gleich ein kariert plus 2ab plus b Quadrat.

Das sollte ein bisschen Rezension für Sie.

Und jetzt wird es ein bisschen interessanter.

Was ist--lassen Sie mich die Kreise, die nur damit wir es nicht vergessen.

Das ist ein Plus b Quadrat.

Was ist a plus b auf die dritte?

Und jetzt beginnt das zu kompliziert wird.

Dies entspricht einem plus b Mal a plus b Mal a plus b.

Oder eine andere Möglichkeit, es, es ist ein plus b Quadrat anzeigen

Mal a plus b richtig?

Dies ist eine hoch drei.

So war dies ein Plus b Quadrat.

So dass wenn wir es mit einem plus b multiplizieren, wir bekommen eine

Außerdem b zur dritten.

Also lassen Sie uns tun.

Wir mal multiplizieren dies a plus b.

Also zuerst lassen Sie uns mal alles multiplizieren b.

Damit ist b--lassen Sie mich dazu in einer anderen Farbe.

Quadrat b, richtig?

Das ist ein kariert Mal b.

Jetzt machen wir mal b 2ab.

Also zzgl. 2ab Quadrat, nicht wahr?

2ab Mal b.

Und dann plus b in Würfel geschnitten.

Und dann haben wir ein Mal ein.

Ist gut, die gewürfelten, in Ordnung?

Keines dieser übereinstimmen, so dass ich es in einer anderen Spalte.

ein Mal 2ab.

Nun ist kariert 2a b.

Werde ich hier: 2a kariert b.

Dann mal kariert b.

Nun, das plus Ab ist Quadrat, nicht wahr?

Und wir werden jetzt gerade alle Begriffe hinzuzufügen.

Ist alles, was wir tun, das Distributivgesetz wieder, nicht wahr?

Wir ein Mal alle diese Begriffe multipliziert und anschließend addiert, die

b Zeiten allen Bedingungen.

Wenn wir es alle auf--hinzufügen werde ich versuchen, es in Ordnung zu tun

--Mal sehen.

Lasst uns die gewürfelten erste.

Und dann--Naja, eigentlich hatten wir schon diese Sache.

Diese 2a kariert b, ich hätte es hier schreiben.

2a b, kariert, denn ich hatte ein ein kariert b hier also.

Ich schrieb gerade die 2a kariert b hier.

Also wir haben einen gewürfelten plus 2a kariert b sowie ein Quadrat b.

Das ist b 3a kariert.

Und dann 2ab kariert plus kariert Ab.

Das ist 2ab kariert.

Und dann plus b in Würfel geschnitten.

Wie Sie sehen können, beteiligt, die viele nur, etwas zu nehmen

in der dritten Potenz.

Also wir könnten, hätten wir die Zeit--konnten wir herausfinden, was

a plus b in der vierten Potenz ist oder welche a plus b auf

die zehnte macht ist.

Aber wie Sie sich vorstellen könnten, würde dies nehmen Sie den ganzen Tag.

Also wäre es nicht nett, gäbe es eine einfache Möglichkeit zum Berechnen

was ein Binom ist eine willkürliche Machtausübung?

Und das ist, wo das binomiale Theorem ins Spiel kommt.

Und in diesem Video werde ich Ihnen zeigen, was die

binomiale Theorem ist.

Ich zeigen Ihnen, wie Sie es anwenden.

Ich zeige Ihnen einen Trick oder eine Technik, die machen

Du scheinst ein Genie.

Und dann im nächsten Video werde ich hoffentlich Ihnen

Einige Intuition für warum das binomiale Theorem tatsächlich

beinhaltet Kombinationen.

Warum geht es eigentlich der Binomialkoeffizient überhaupt.

Was ist das binomiale Theorem?

Lassen Sie mich dies alles löschen.

Und Sie können bestätigen, dass das binomiale Theorem für arbeitet die

diejenigen, die wir bis auf a plus b zur dritten ausgearbeitet habe.

Sie konnte a plus b auf der vierten If Sie erarbeiten

wie sich selbst zu bestrafen.

Mal sehen.

Klares Bild.

Invertieren Sie Farben.

Also das binomiale Theorem uns, dass sagt a plus b auf den n-ten

ist gleich-- und ich weiß, dass es kompliziert aussehen wird

auf den ersten aber wir machen ein paar Beispiele und Sie werden sehen

Es ist nicht so einschüchternd.

Entspricht es der Summe von k gleich 0 bis n, richtig?

Diese n ist das gleiche wie mit n.

--Wählen jeder Begriff ist n k, richtig?

Wir k, von 0 bis erhöht zu halten

n--die n abzüglich k x mal y k.

Ich weiß, dass aussieht kompliziert, aber wenn wir ein paar tun

konkrete Beispiele, denke ich, es sollte einen angemessenen

Höhe der Sinne.

So gegeben--Oh tut mir leid.

Das ist--dies ist nicht - ich war dies nach unten kopieren.

Sollte dies ein zu den n Minus k und dies sollte b.

Was ich aufgeschrieben hatte vor, das wäre

X + y, um die n.

Haben wir a plus b auf die n, n wählen k jeden Begriff. eine auf die

n abzüglich k b k-mal.

Also lassen Sie uns hierzu ein paar konkrete Beispiele gelten.

Wir konnten sogar rund um die Variablennamen wechseln, wenn wir nur wollen

um Ihnen zu zeigen, dass sie nicht zu a's und b

Sie können alles sein.

Was ist also ein plus b-lassen Sie uns tun, eine, die wir sonst

ziemlich schwer--a plus b auf die vierte Gewalt.

Nun, das das binomiale Theorem sagt uns, dass Sie mal sehen, die

erster Amtszeit wird--gut, was ist n, der erste

Alle? in diesem Fall ist n 4.

Es ist gleich--lassen Sie mich eigentlich alle Zahlen ausfüllen.

Wählen Sie aus k k, rechts ist gleich 0 bis 4 von 4?

Da k ist das, was wir sind inkrementieren.

eine der 4 abzüglich k.

b bis k, richtig?

Ich ersetzt nur das n in der Binomialverteilung

Satz von Definition.

Und was ist das gleich?

Nun ist der erste Begriff, dass k gleich 0 ist.

Damit die 4 Wählen Sie 0.

Also aus 4 Sachen ich werde 0 wählen.

Und ich zeige Ihnen im nächsten video warum das funktioniert.

Von einem 4 abzüglich k.

Nun ist die erste Begriff k 0.

So ist es ein bis zur vierten, b auf die 0, rechts?

Damit ist die b, nur 1, so dass wir es einfach ignorieren kann.

Was ist der nächste Begriff?

Nun, es geht um 4 1 wählen.

Und jetzt ist k 1.

4 Minus 1 ist also 3.

ein zur dritten.

Und k ist jetzt 1.

Wir sind in der--dies ist der nullte.

Dies ist der erste Term.

Also b erste Plus--So wie man sehen können, jeden Begriff wir gehen,

der Begriff, der erste Term, je nachdem, was es ist, es verringert.

Es beginnt im n macht oder in die vierte Gewalt.

Und dann jeden Begriff, es sinkt um 1.

Dann die zweite Amtszeit, startet der Begriff b er

bei der nullte macht.

So dass es bei 1 beginnt.

Das ist, warum Sie sehen es nicht gibt.

Und dann jeden Begriff oben inkrementiert.

Also, die nächste eins--so dass ich glaube, Sie sehen das Muster.

Es geht um 4 Wählen Sie 2, ein Quadrat b kariert plus 4 Wählen Sie

3 Ab dem dritten sowie 4 Wählen Sie 4.

Jetzt werde es eine auf die NULL, also das ist nur

die vierte 1, b.

Also sind wir fertig, wenn wir nur, was diese binomiale herausfinden

Koeffizienten sind.

Und das ist, wo sie herkommen, aus der

binomiale Theorem.

Aber wir erinnern uns, die direkt berechnen?

Im allgemeinen-- und hoffentlich haben Sie die Intuition dazu.

Sie sollten nicht nur merken.

n wählen Sie k aus unserer Kombinatorik ist gleich n

Fakultät über k Fakultät geteilt durch n abzüglich k Fakultät.

Also was ist 4 Wählen in diesem Fall 0?

Dass gleich--ich, es weiß scheint im Augenblick sehr zeitaufwändig.

Obwohl es weniger zeitaufwendig, als tatsächlich ist

multiplizieren ihn heraus.

Aber ich werde zeigen, dass Sie in einem zweiten trick, die Sie begeistern wird.

Das ist also gleich 4 Fakultät über 0 Fakultät Zeiten 4

faktoriellen, rechts--4 minus 0 ist 4--ein viertes Plus 4

Mal faktoriellen über 1 Fakultät 3 Fakultät, richtig?

4 minus 1 ist 3-Fakultät.

eine dritte b plus--ich weiß, das ist immer ein wenig

langweilig, aber ich denke, es ist gut, vollständig durcharbeiten

ein Problem der gesamten-- plus 4 Wählen Sie 2.

Das ist 4 faktoriellen über 2 Fakultät Zeiten 2

Fakultät, richtig?

4 minus 2 ist 2.

ein Quadrat b kariert plus 4 Wählen Sie 3.

4 Fakultät Fakultät mehr als 3 ist.

4 minus 3 ist 1 Fakultät.

Ab, in Würfel geschnitten.

Und dann 4 4.

Das ist plus 4 faktoriellen über 4 Fakultät Zeiten 0

b die vierte Fakultät.

Und beachten Sie: dieser Koeffizient ist dieser Koeffizient identisch.

Diese Coeffieicnt ist das gleiche wie dieses Koeffizienten und dann

This one's in der Mitte.

Also lasst uns zu bewerten.

Und ich werde die Farben wechseln.

Also 0 faktoriellen, im Fall Sie weiß es nicht, es hat

tatsächlich definiert 1.

Das ist ein wenig nicht-intuitive weil 1

Fakultät ist auch 1.

Aber das ist nur etwas, was Sie wissen sollten.

Also 4 geteilt durch 0 Fakultät Fakultät mal 4 Fakultät.

Dies ist eigentlich gleich 1.

Also der erste Begriff nur ist ein auf die vierte plus 4 Fakultät--

Es ist 4 mal 3 mal 2 mal 1--geteilt durch 3 mal 2 mal 1.

Also, die 4 entspricht.

4a in Würfel geschnitten, b sowie 4 Fakultät.

Das ist 4 mal 3 mal 2 mal 1.

Das also ist 24, richtig?

Über--was ist 2 Fakultät?

Das ist nur 2.

Also ist 2 mal 2 4.

24 Geteilt durch 4 ist also 6.

Also 6a b Lux gut 4--kariert kariert, dieser Begriff ist die

gleiche wie dieser Begriff, richtig?

Nur die 1-Fakultät und die Fakultät 3

um gewechselt habe.

Und Sie sollten darüber nachdenken, für ein paar

Sekunden, warum das so ist.

Es sollte Ihnen ein wenig Sinn machen.

Aber das heißt--also es geht um 4ab in Würfel geschnitten werden.

Und es macht Sinn, richtig?

Da dies nur b hätte plus ein.

A und b und b plus a sind die gleiche Sache, so es Sinn macht

das dort ist eine Symmetrie, richtig?

Dass wir 4ab in Würfel geschnitten und wir auch 4a haben in Würfel geschnitten b.

Ignorieren Sie mich, wenn Sie das verwirrend finden.

Wenn Sie es aufschlussreiche, umso besser finden.

Und dann der letzte Begriff.

4 Fakultät.

Dieser Begriff ist das gleiche wie dieser Begriff.

Und wir haben bereits herausgefunden, dass gleich 1.

Also zzgl. b auf die vierte.

So ich ein wenig Symmetrie hatte.

Die Koeffizienten sind 1, 4, 6, 4, 1.

Und ich werde Ihnen zeigen, in einem zukünftigen Video, die dies tatsächlich sind

die Bedingungen eines Pascal-Dreiecks, die eine andere Möglichkeit ist

in der Mathematik zu gehen.

Aber wie auch immer, das war ein Antrag der

binomiale Theorem.

Und ich merke, dass ich 12 Minuten bisher aufgenommen haben.

Also werde ich weitere Beispiele im nächsten Video tun.

Bis bald.