Биномна теорема (част 1)

Въведение към повдигането на (a+b)^n

.

Сега ще научим приложението на комбинации, които

вероятно няма да намерите за интуитивни отначало.

Но колкото повече мислите за това, то ще има все повече смисъл

и се надявам, че ще ви накара да оцените, още веднъж,

красотата на математиката.

И тогава също ще разберете защо - когато казваме n над k в

комбинации - защо, това се нарича също биномен коефициент.

Защото ще обхванем биномната теорема.

Така че, преди да ви дам биномната теорема, нека

разберем обосновката защо тя е дори интересна.

Нека да изтрия това.

Ще сменя цветовете.

Ако трябваше просто да умножим - не знам.

Нека просто взема различни стойности на бинома.

Бинома е просто полином с два члена, нали?

Така че "а" плюс "b" на степен 0, това

е равно на 1, нали?

Всичко на нулева степен е равно на 1.

"а" плюс "b" на степен 1 - това е равно на "а" плюс "b".

"а" плюс "b" на квадрат е равно - и ако нямате много

практика в това, може да се изкушите да кажете

"а" на квадрат плюс "b" на квадрат.

Но трябва да се поправите бързо сами и да се ударите по

ръката или главата или някъде другаде, ако сте направили това.

Защото това е "а" плюс "b", умножено по "а" плюс "b".

И тогава бихме могли да използваме метода на разлагането или

ако сте го научили по този начин в Алгебра I, бихте могли да

използвате метода FOIL.

Това е равно на "а", умножено по "а" плюс "b", нали?

Плюс "b", умножено по "а" плюс "b".

Което е равно на "а" на квадрат плюс "ab" плюс "ba" плюс "b" на квадрат.

Което е равно на "а" на квадрат плюс "2аb" плюс "b" на квадрат.

Това трябва да бъде малък преговор за вас.

И сега става малко по-интересно.

Колко е - нека очертая това, за да го запомним.

Това е "а" плюс "b" на квадрат.

Колко е "а" плюс "b" на трета?

"а" плюс "b" на трета.

И сега започва да става сложно.

Това е равно на "а" плюс "b", умножено по "а" плюс "b", умножено по "а" плюс "b".

Или друг начин да го видите - това е "а" плюс "b" на квадрат,

умножено по "а" плюс "b" нали?

Това e на трета степен.

Това беше "а" плюс "b" на квадрат.

Така че, ако го умножим по "а" плюс "b", ще получим

"а" плюс "b" на трета.

Нека го направим.

Нека да умножим това по "а" плюс "b".

И така, "а" плюс "b".

Първо нека да умножим всичко по "b".

Това е "b" - ще го напиша с друг цвят.

"а" на квадрат "b", нали?

Това е "а" на квадрат, умножено по "b".

Сега нека да направим "2аb" по " b".

Плюс "2аb" на квадрат, нали?

"2аb" по "b".

И след това плюс "b" на трета.

След това имаме "а", умножено по "а".

Това е "а" на трета, нали?

Нито едно от тези не съвпада с това, така че ще го сложа отделно.

"а" по "2аb".

Това е "2а" на квадрат "b".

"2а" на квадрат "b".

Ще сложа това тук: "2а квадрат b".

И след това "а" по "b" на квадрат.

Това е плюс "ab" на квадрат, нали?

И сега просто ще добавим всички членове.

Всичко, което правим е отново метода на разлагането, нали?

Умножаваме "а" по всички тези членове и след това го прибавяме

към "b", умножено по всичките членове.

Ако ги прибавим всичките - ще се опитам да ги подредя.

Да видим.

Нека да сложим първо "а" на трета.

Това е "а" на трета.

И след това - Всъщност това вече го имаме.

Това "2а" на квадрат "b", можех да го напиша тук.

"2а на квадрат b", защото имам "а" на квадрат "b" също тук.

Просто написах отново "2a на квадрат b" тук.

Така че, полумаваме "а" на трета плюс "2а на квадрат b" плюс "а" на квадрат "b".

Това е "3а" на квадрат "b".

И след това "2аb" на квадрат плюс "ab" на квадрат.

Това е 3аb на квадрат.

И след това плюс "b" на трета.

Както може да видите се усложнява много, само за да повдигнем нещо

на трета степен.

Бихме могли да - ако имахме време, можехме да намерим колко е

"a" плюс "b" на четвърта степен или колко е "а" плюс "b"

на десета степен.

Но както можете да си представите, това ще ви отнеме цял ден.

Нямаше ли да бъде по-подредено , ако имаше лесен начин да изчислите

колко е бинома на произволна степен?

И това е мястото, където биномната теорема влиза в игра.

В това видео ще ви покажа каква

е биномната теорема.

Ще ви покажа как да я прилагате.

Ще ви покажа един трик или техника, която ще ви направи

да изглеждате като гений.

И след това в следващото видео се надявам да ви дам

някаква представа, защо биномната теорема действително

включва комбинации.

Защо всъщност тя изобщо включва биномен коефициент.

Каква е биномната теорема?

Нека да изтрия всичко това.

Можете да се уверите, че биномната теорема работи за

тези, които направихме и за над "а" плюс "b" на трета.

Можете да намерите "а" плюс "b" на четвърта, ако

искате да се наказвате.

Нека да видим.

Чист екран.

Смяна на цветовете.

Биномната теорема ни казва, че "а" плюс "b" на "n"-та степен

е равно на - знам, че ще изглежда сложно

отначалото, но ще направим няколко примера и ще видите,

че това не е толкова смущаващо.

Равно е на сумата от "k" равно от 0 до n, нали?

Това "n" е същото като това "n".

Всеки член е "n" над "k", нали?

Ще продължаваме да увеличаваме "k" нагоре от 0 до

"n" - от "х" на "n"-та степен минус "k", по "y" на степен "k".

Знам, че това изглежда сложно, но ако направим няколко

конкретни примера, мисля би трябвало да има

разумен смисъл.

Така че, дадено е - О, съжалявам.

Това не е - копирах това отдолу.

Това трябва да бъде "а" на степен "n" минус "k", а това трябва да бъде "b".

Това, което бях написал преди, ще бъде

"x" плюс "y" на степен "n".

Ако имаме "а" плюс "b" на степен "n", "n" над "k" за всеки член.

"а" на степен "n" минус "k" по "b" на степен "к".

Нека да приложим това в няколко конкретни примера.

Дори можем да използваме различни букви на променливите, ако искаме,

просто за да ви покажа, че не е необходимо да бъдат "а" и "b".

Те могат да бъдат всичко.

Така че, колко е "а" плюс "b" - нека да направим едно, което в друг случай бихме

намерили за доста трудно - "а" плюс "b" на четвърта степен.

Биномната теорема ни казва, че

първият член ще бъде - добре колко е "n" на първо място?

"n" е 4 в този случай.

Равно е на - нека да попълня всички числа всъщност.

От "к" равно на 0 до 4 от 4 над "k", нали?

Тъй като "k" е това, което увеличаваме.

"а" на четвърта минус "k".

"b" на степен "k", нали?

Аз просто замених "n", според

дефиницията на биномната теоремата.

И на какво е равно това?

Първият член е "k" е равно на 0.

Така че, това е 4 над 0.

От 4 неща, аз ще избера 0.

И ще ви покажа в следващото видео, защо това работи.

От "а" на степен 4 минус "k".

Първият член "k" е 0.

Така че, това е "а" на четвърта, "b" на нулева, нали?

Така че "b", това е само 1, можем просто да го игнорираме.

Какъв е следващия член?

Ще бъде 4 над 1.

И сега "к" е 1.

4 минус 1 е 3.

"а" на трета степен.

И сега "k" е 1.

Намираме се в - това е нулевият член.

Това е първият член.

Така че "b" на първа плюс - както можете да видите, всеки един член, който взимаме:

членът "а", първият член, който и да е той, се намалява.

Започва от степен "n" или от четвърта степен.

И след това всеки следващ член слиза надолу с 1.

И след това вторият член "b" започва

от нулева степен.

Всъщност започва от 1.

Ето защо не го виждате там.

И след това всеки следващ член постепенно се увеличава.

И така следващият -мисля, че виждате образеца.

Ще бъде 4 над 2, "а" на квадрат "b" на квадрат плюс 4 над

3ab на трета плюс 4 над 4.

Сега ще имате "а" на нулева, което е просто

1, "b" на четвърта.

Готови сме, само ако разберем какви са тези биномни

коефициенти.

И тук е мястото, от където идват,

от биномната теорема.

Но ние помним, как да изчислим това, нали?

Като цяло - и се надявам, че имате представа за това.

Вие не просто трябва да го запомните.

"n" над "k" от нашата комбинаторика е равно на "n"

факториел върху "k" факториел, разделено на "n" минус "k" факториела.

"n" минус "k" факториела.

В този случай, колко е 4 над 0?

Това е равно на - знам, че изглежда отнемащо много време сега.

Въпреки че, отнема по-малко време, отколкото действително

да го умножаваме.

Но ще ви покажа един трик след секунда, който ще ви удиви.

Това е равно на 4 факториел върху 0 факториел, умножено по 4

факториел, нали - 4 минус 0 е 4 - "а" на четвърта плюс 4

факториел върху 1 факториел, умножено по 3 факториел, нали?

4 минус 1 е 3 факториел.

"а" на трета "b" плюс - знам, че става малко

досадно, но мисля, че е добре напълно да минем през

една цяла задача - плюс 4 над 2.

Това е 4 факториел върху 2 факториел, умножено по 2

факториел, нали?

4 минус 2 е 2.

"а" квадрат "b" квадрат плюс 4 над 3.

Това е 4 факториел върху 3 факториел.

4 минус 3 е 1 факториел.

1 факториел

"аb" на трета.

И след това 4 над 4.

Това е плюс 4 факториел върху 4 факториел по 0

факториел "b" на четвърта.

И забележете: този коефициент е същият като този.

Този коефициент е същият като този коефициент и след това

този в средата.

Нека да ги изчислим.

Ще сменя цветовете.

И така, 0 факториел, в случай че не го знаете,

всъщност е определено да бъде 1.

Което е малко по-неинтуитивно, защото 1

факториел също е 1.

Но това е просто нещо, което би трябвало да знаете.

4 факториел, разделено на 0 факториел по 4 факториел.

Това всъщност е равно на 1.

Така че, първият член е просто "а" на четвърта плюс 4 факториел -

Това е 4 по 3 по 2 по 1 - разделени на 3 по 2 по 1.

Така че, това е равно на 4.

"4а" на трета "b" плюс 4 факториел.

Това е 4 по 3 по 2 по 1.

Така че, е 24, нали?

И накрая - колко е 2 факториел?

Това е само 2.

2 по 2 е 4.

24, разделено на 4 е 6.

"6а" на квадрат "b" на квадрат плюс 4 - този член е

същият като този член, нали?

Само 1 факториел и 3 факториел

са разменени.

Може да искате да помислите върху това за няколко

секунди, защо е така.

Може да ви стане малко ясно.

Но това е - това ще бъде "4аb" на трета.

И има смисъл, нали?

Тъй като, това би могло да бъде само "b" плюс "а".

"а" плюс "b" и "b" плюс "а" са едно и също нещо, така че има смисъл

това, че има симетрия, нали?

Че имаме "4аb" на трета и също имаме "4а" на трета "b".

Игнорирайте ме, ако намирате това за объркващо.

Ако го намирате за полезно, още по-добре.

И след това последния член.

4 факториел.

Този член е същият като този.

И ние вече немерихме, че е равен на 1.

Така че, плюс "b" на четвърта.

Имах малка симетрия.

Коефициентите са 1, 4, 6, 4, 1.

Ще ви покажа в едно бъдещо видео, че това са действително

членове от триъгълника на Паскал, който е друго средство

да навлезем в математиката.

Както и да е, това беше приложение на

биномната теорема.

И осъзнавам, че съм направил 12 минути досега.

Така че, ще направя повече примери в следващото видео.

До скоро виждане.

До скоро виждане.