Binomial Theorem (part 1)

Introduction to raising (a+b)^n

.

سوف نتعلم الآن تطبيقاً للمكونات التي

ربما لن تجدوها بديهية في البداية

لكن كلما تعلمتم المزيد عنها، ستكون منطقية اكثر

واتمنى انها ستجعلكم ممتنين، مرة اخرى

لجمال الرياضيات

ومن ثم ستعرفون ايضاً سبب --عندما نقول ان n اختار k في

المكونات-- لما ان هذا ايضاً يسمى بمعامل ثنائي الحدود

لأننا سنغطي نظرية ثنائي الحدود

اذاً قبل ان اعطيكم نظرية ثنائي الحدود، دعونا

نفهم سبب كونها مثيرة للاهتمام

لذا دعوني امحو ذلك

اعكس الالوان

اذاً قبل ان نضرب --لا اعلم

حسناً دعونا ناخذ قوى مختلفة لثنائي الحدود

ان ثنائي الحدود عبارة عن متعدد حدود يحتوي على عبارتين، اليس كذلك؟

اذاً a + b --حسناً (a + b)^0، هذا

يساوي 1، صحيح؟

اي شيئ يرفع للقوة 0 يساوي 1

(a + b)^1، حسناً هذا يساوي a + b

(a + b)^2، هذا يساوي --واذا كان لديكم بعضاً من

الممارسة للقيام بهذا فلربما اردتم ان تقولون a^2

+ b^2

لكن يتوجب عليكم ان تصححوا انفسكم بسرعة وتصفعوا

معصمكم او دماغكم او اي منطقة اخرى اذا فعلتم ذلك

لأن ذلك يساوي (a + b) (a + b)

ومن ثم يمكننا استخدام خاصية التوزيع او

اذا كنتم قد تعلمتوها بهذه الطريقة في الجبر 1، فيمكنكم

استخدام خاصية FOIL

ذلك يساوي a (a + b)، اليس كذلك؟

+ b (a + b)

وهو ما يساوي a^2 + ab + ba + b^2

ويساوي a^2 + 2ab + b^2

هذه يجب ان تكون بمثابة مراجعة لكم

والآن اصبحت الامور مثيرة للاهتمام

ما هو --دعوني احيط ذلك بدائرة لكي نتذكره

اي (a + b)^2 تلك

كم يساوي (a + b)^3

(a + b)^3

والآن بدأت الامور تتعقد

هذا يساوي (a + b) (a + b) (a + b)

او بطريقة اخرى، يساوي (a + b)^2

× (a + b)، اليس كذلك؟

انه مرفوع للقوة 3

اذاً لقد كان هذا (a + b)^2

فاذا ضربناه بـ a + b، سوف نحصل على (a

+ b)^3

لذا دعونا نقوم بذلك

دعونا نضرب هذا بـ a + b

a + b

اذاً دعونا نضرب اولاً كل شيئ بـ b

هذه b --دعوني افعل هذا بلون آخر--

a^2 b، اليس كذلك؟

هذا يساوي a^2 × b

الآن دعونا نضرب 2ab × b

اذاً + 2ab^2، اليس كذلك؟

2ab × b

ومن ثم + b^3

ومن ثم لدينا a × a

حسناً، هذا يساوي a^3، اليس كذلك؟

لا شيئ من هذه تتوافق معه، لذا سأضعه في عامود آخر

a × 2ab

حسناً، هذا يساوي 2a^2 b

2a^2 b

سأضع ذلك هنا، 2a^2 b

ومن ثم a × b^2

حسناً، ذلك + ab^2، اليس كذلك؟

والآن سوف نجمع كل هذه العبارات

كل ما نفعله هو استخدام خاصية التوزيع مرة اخرى، اليس كذلك؟

لقد ضربنا a بجميع هذه العبارات ومن ثم جمعناها

الى b × جميع هذه العبارات

اذا جمعناهم جميعهم --سوف احاول القيام بذلك من اجل--

دعونا نرى

لنضع a^3 اولاً

a^3

ومن ثم --حسناً، لقد حصلنا في الوافع على هذا الشيئ

اي هذه الـ 2a^2 b، يمكنني كتابتها هنا

2a^2 b، لان لدي a^2 b هنا ايضاً

انني فقط اعيد كتابة الـ 2a^2 b هنا

اذاً لدينا a^3 + 2a^2 b + a^2 b

ذلك يساوي 3a^2 b

ومن ثم 2ab^2 + ab^2

ذلك يساوي 2ab^2

ثم + b^3

وبامكانك ان ترى، ان هذا يتضمن رفع قيمة ما

للقوة 3

اذاً يمكننا --اذا كان لدينا متسع من الوقت، فيمكننا ايجاد ما هو ناتج

(a + b)^4 او ما ناتج

(a + b)^10

لكن كما يمكنك ان تتخيل، ان هذا سيتطلب منك يوماً كاملاً

اذاً أليس من البراعة لو كانت تتواجد طريقة سهلة لحساب

عبارة ثنائية الحدود مرفوعة لقوة ما؟

ومن هنا اتت نظرية ثنائي احدود

وفي هذا العرض سوف اوضح لكم ما

هي نظرية ثنائي الحدود

سوف اوضح لكم كيفية تطبيقها

سوف اوضح لكم خدعة او تقنية ستجعلكم

كعباقرة

ومن ثم في العرض التالي اتمنى ان اعطيكم

بعض البداهة توضح سبب احتواء نظرية ثنائي الحدود

على المكونات

لماذا تحتوي على معامل ثنائي الحدود

اذاً ما هي نظرية ثنائي الحدود؟

دعوني امحو كل هذا

ويمكنكم تأكيد ان نظرية ثنائي الحدود صالحة بالنسبة

لكل ما قمنا بحله، لأعلى من (a + b)^3

يمكنكم ايجاد ناتج (a +b)^4 اذا

اردتم معاقبة انفسكم

دعونا نرى

سأمحو الصورة

واغير اللون

اذا نظرية ثنائي الحدود تخبرنا ان (a + b)^n

= --واعلم انها ستبدو معقدة

في البداية، لكننا سنقوم بحل مجموعة من الامثلة وسترون

انها ليست بهذا القدر من الاخافة--

= المجموع من k = 0 الى n، اليس كذلك؟

n هذه تعادل n تلك

--كل عبارة هي n اختار k، اليس كذلك؟

سنبقى نزيد قيمة k من الصفر الى

n-- لـ (x^n - k) (y^k)

اعلم ان ذلك يبدو معقداً لكن اذا قمنا بحل مجموعة من

الامثلة الواقعية، اعتقد ان هذا يجب ان يجعل

الامور منطقية

اذاً باعطاء --اوه آسف

هذا --هذا ليس-- كنت اقوم بنسخ هذا

ان هذا يجب ان يساوي a^n - k وهذا يجب ان يكون b

ما قد قمت بكتابته سابقاً، انه يساوي

(x + y)^n

اذا كان لدينا (a + b)^n، و nنختار k في كل عبارة، (a^n

- k) (b^k)

اذاً دعونا نطبق هذا، انها مجموعة من الامثلة الواقعية

يمكننا ايضاً ان نغير من اسماء المتغيرات اذا اردنا

ان نوضح لكم انها لا يجب ان تكون a و b

يمكن ان تكون اي شيئ

اذاً ما هو ناتج a + b --دعونا نقوم بحل واحدة تبدو

صعبة بالفعل-- (a + b)^4

حسناً، ان نظرية ثنائي الحدود تخبرنا ذلك، دعونا نرى

اول عبارة ستكون --حسناً، تلك n، اولاً

n = 4 في هذه الحالة

= --دعوني اضع جميع الاعداد

من k = 0 الى 4 من 4 اختار k، صحيح؟

لأن k هو ما تزيد قيمته

a^4 - k

b^k، اليس كذلك؟

انني اقوم بتعويض n في

تعريف نظرية ثنائي الحدود

وكم يساوي هذا؟

حسناً، العبارة الاولى هي k = 0

اذاً تلك 4 اختار 0

من بين 4 اشياء، سوف اختار الـ 0

وسوف اوضح لكم في العرض التالي سبب نجاح هذا

من a^4 - k

حسناً، العبارة الاولى k هو 0

اذاً هي a^4، b^0، اليس كذلك؟

الـ b، عبارة عن 1، اذاً يمكننا ان نتجاهلها

اذاً ما هي العبارة التالية؟

حسناً، ستكون 4 اختار 1

والآن k = 1

اذاً 4 - 1 = 3

a^3

و k الآن تساوي 1

نحن في --هذه عبارة الصفر

هذه هي العبارة الاولى

اذاً b^1 + --كما يمكنك ان ترى، ان كل عبارة نمر بها

عبارة a، العبارة الاولى، مهما كانت، تتناقص

انها تبدأ بالقوة n، او القوة 4

ومن ثم في كل مرة تتناقص بمقدار 1

ثم العبارة الثانية، اي عبارة b، تبدأ

بالقوة 0

اذاً تبدأ على الـ 1

ولهذا السبب لا تراها هناك

ومن ثم تبدأ بالزيادة في كل عبارة

لذا في العبارة التالية --اعتقد انك ترى النمط

سوف تصبح 4 اختار 2، a^2 b^2 + 4 اختار

3 ab^3 + 4 اختار 4

الآن ستحتوي على a^0، وهذا يساوي

1، b^4

سننتهي اذاً اذا اوجدنا ما هي

معاملات ثنائي الحدود هذه

وقد اتت من هنا، اي من

نظرية ثنائي الحدود

لكننا نتذكر كيفية حساب ذلك، اليس كذلك؟

بشكل عام --واتمنى ان لديكم البداهة لهذا

لا يتوجب عليكم حفظه

n اختار k من مكوناتنا مساوية لمضروب n

/ مضروب k ÷ مضروب n - k

مضروب n - k

اذاً في هذه الحالة، ما هو 4 اختار 0؟

هذا يساوي --اعلم انه يبدو مربكاً الآن

بالرغم من انه اقل ارباكاً من

ضربه

لكنني سأوضح لكم بسرعة خدعة ستذهلكم

اذاً هذا يساوي مضروب 4 / مضروب 0 ×

مضروب 4، اليس كذلك --4 - 0 = 0-- a^4 + مضروب 4

/ مضروب 1 × مضروب 3، اليس كذلك؟

4 - 1 = مضروب 3

a^3 b + --اعلم ان هذا يصبح

واضحاً، لكنني اعتقد انه من الجيد ان نحل

مسألة واحدة بشكل كامل-- + 4 اختار 2

ذلك يساوي مضروب 4 / مضروب 2 ×

مضروب 2، اليس كذلك؟

4 - 2 = 2

a^2 b^2 + 4 اختار 3

ذلك يساوي مضروب 4 / مضروب 3

4 - 3 = مضروب 1

مضروب 1

ab^3

ومن ثم 4 اختار 4

ذلك يساوي + مضروب 4 / مضروب 4 ×

مضروب 0 b^4

ولاحظوا ان هذا المعامل يعادل ذلك المعامل

هذا المعامل يعادل هذا المعامل ومن ثم

هذا الـ 1 يقع في المنتصف

لذا دعونا نقيمهم

وسوف اغير الالوان

اذاً مضروب 0، في هذه الحالة انت لا تعلمه، انه

في الحقيقة معرف على ان يكون 1

وهو غير بديهي بعض الشيئ لان

مضروب الـ 1 هو 1 ايضاً

لكن ذلك شيئ يجب ان تعرفوه

اذاً مضروب الـ 4 ÷ مضروب 0 × مضروب 4

هذا يساوي 1

اذاً العبارة الاولى عبارة عن a^4 + مضروب 4

--انه 4 × 3 × 2 × 1-- ÷ 3 × 2 × 1

هذا يساوي 4

4a^3 b + مضروب الـ 4

هذا يساوي 4 × 3 × 2 × 1

هذا يساوي 24، اليس كذلك؟

/ --ما هو مضروب الـ 2؟

انه 2

اذاً 2 × 2 = 4

24 ÷ 4 = 6

6a^2 b^2 + 4 --هذه العبارة

نفس هذه العبارة، اليس كذلك؟

مع تبديل مضروب الـ 1

ومضروب الـ 3

وربما انك تريد ان تفكر في هذا لعدة

ثواني وكيفية حدوثه

يجب ان يكون منطقياً بعض الشيئ بالنسبة لكم

لكن ذلك هو --اذاً يساوي 4ab^3

وهو منطقي، اليس كذلك؟

لأنه يمكن ان يكون b + a

b + a و b + a متعادلان لذا من المنطقي

ان يوجد تماثلاُ هنا، اليس كذلك؟

حيث ان لدينا 4ab^3 ولدينا ايضاً 4a^3 b

تجاهلوني اذا وجدتم ذلك مربكاً

واذا ودتموه منيراً، فإن هذا يعتبر افضل

ثم العبارة الاخيرة

مضروب الـ 4

هذه العبارة تعادل هذه العبارة

وقد اوجدنا بالفعل ان ذلك يساوي 1

اذاً + b^4

لذا لدي بعض التماثل

المعاملات هي 1, 4, 6, 4, 1

وسوف اوضح لكم في عرض مقبل ان هذه في الواقع

عبارات مثلث باسكال، وهو وسيلة اخرى

للمضي في الرياضيات

لكن على اي حال، كان هذا عبارة عن تطبيق

نظرية ثنائي الحدود

وانا ادرك انني استهلكت 12 دقيقة

لذا سأقوم بحل المزيد من الامثلة في العرض التالي

اراكم قريباً

.